自主招生试题及答案-先进工作者主要事迹

最新四校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）


一、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的． < br>1．全集U=R，A={x|x
2
＞4}，B={x|log
3
x＜1 }，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜﹣2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＞3} D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3}
2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（ ）
A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，l∥β，则l⊥α
C．若则m⊥α，n⊥α，m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n
3．设变量x、y满足
A．6 B．4 C．2 D．
则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
4．已知P={x|x＜2}，Q={x|x＜ a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则实数a
的取值范围是（ ）（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
5．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜
则该函数表达式为（ ）
，x∈R）的部分图象如图所示，

A．y=2sin（
C．y=2si n（
6．过双曲线
x+
x﹣
﹣
）+1 B．y=2sin（
）+1
x﹣）
x+）+1
的
D．y=2s in（
=1（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x
2
+y< br>2
=
=（+切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若
（ ）
A． B． C． D．
），则双曲线的离心率为
7．已知x∈R，符号[x]表示 不超过x的最大整数，若函数f（x）=
有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[，]∪[，] B．（，]∪[，）
∪[，]
﹣a（x≠0）有且仅
C．（，]∪[，） D．[，]
8．将一个棱长为a的正方体 嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙
内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．已知α，β为锐角，，则cos2β= ，α+2β= ．
10．已知一个正三棱柱 的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）
视图的面积为 ．表面积为 ．体积为 ．

11．若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）= ；不等式f（x）+f（﹣x）＜
的解集为 ．
12．已知
S
2015
= ．
13．已知正实数x，y满足ln x+lny=0，且k（x+2y）≤x
2
+4y
2
恒成立，则k的最大值是 ．
14．已知△ABC中，，则= ．
= ，
15．已知点M（4，0），点 P在曲线y
2
=8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）
2
+y
2
=1上运动，
则取到最小值时P的横坐标为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，，求b+c的值．
17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=D C=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平
面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a， 点M在线段EF上．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

18．已知函数f（x）=
．
（I）求f（x）的解析式；
（a＞0，b ＞1），满足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值

（Ⅱ）当x∈[1，2]时， 不等式f（x）≤
19．已知椭圆C： +
恒成立，求实数m的取值范围．
．以原= 1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为
点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A， B两点，P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点）．当|AB|=
20．数列{a
n
}满足a
1
=2，
时，求实数t的值．
．
+=t
（1）设
（2）设

，求数列{b
n
}的通项公式；
，数列{c
n
}的前n项 和为S
n
，求出S
n
并由此证明：．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项 符合题目要求的．
1．全集U=R，A={x|x
2
＞4}，B={x|log3
x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜﹣2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＞3} D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】求出集合A、集合B，然后求出两个集合的交集即可．
【解答】解：A={x|x
2
＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，
B={x|log
3
x＜1}={x|0＜x＜3}，
所以A∩B={x|x＞2或x＜﹣2}∩{x|0＜x＜3}={x|2＜x＜3}，
故选B
【点评】本题考查集合间的交集的运算，注意不等式的解集，借助数轴解答或者韦恩图 ，是
解答集合问题的常用方法，本题是基础题．

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（ ）
A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，l∥β，则l⊥α
C．若则m⊥α，n⊥α，m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选
择．
【解答】解：对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误；
对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B 错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根 据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断
m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误；
故选C． 【点评】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟记定
理是关键 ．

3．设变量x、y满足
A．6 B．4 C．2 D．
则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）

参考答案与试题解析

【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合．
【分析】先根据条件画出可行域，设 z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y
轴上的截距最小，只需求出直线z=2x+y 在y轴上截距的 最小值，从而得到z最小值即可．
【解答】解：在坐标系中画出可行域
由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小
平移直线2x+y=0经过点B时，z=2x+y最小

由可得B（2，0）
则目标函数z=2x+y的最小值为z=2
故选：C

【点评】.借助于 平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思
想．线性规划中的最优解，通常 是利用平移直线法确定．

4．已知P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈ P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则实数a
的取值范围是（ ）（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即
可．
【解答】解：P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件 ，
则a＜2，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根 据定义建立不等式关系是解决本题的
关键．

5．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜
则该函数表达式为（ ）
，x∈R）的部分图象如图所示，

A．y=2sin（
C．y=2sin（
x+
x﹣
）+1 B．y=2sin（
）+1
x﹣）
x+）+1 D．y=2sin（
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最大、最小值求出k和A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可
得函数的解析式．
【解答】解：由函数的图象可得k=
∴ω==．
×2+φ=
）+1．
，求得φ=﹣，
=1，A=3﹣k=2，T==（﹣2）=6，
再根据五点法作图可得
∴f（x）=2sin（x﹣
故选：C．
【点评】本 题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最大、最小
值求出k和A， 由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．

6．过双曲线﹣=1（b＞0， a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x
2
+y
2
=
= （+
的
切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若
（ ）
A． B． C． D．
），则双曲线的离心率为
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】由=（+），知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，
则PF′=2OE=a，能推导出在Rt△PFF′中，PF
2
+P F′
2
=FF′
2
，由此能求出离心率．
【解答】解：∵若=（+），
∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，
则PF′=2OE=a，
∵E为切点，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF﹣PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中，PF< br>2
+PF′
2
=FF′
2

即9a
2
+a
2
=4c
2

∴离心率e==
故选：A．
．

【点评】本题考 查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设
中的隐含条件．

7．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=
有3个零点，则a的 取值范围是（ ）
A．[，]∪[，] B．（，]∪[，）
∪[，]
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（x）=
从而得到答案．
【解答】解：因为f（x）=﹣a=0，故=a；
﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0，
C．（，]∪[，） D．[，]
﹣a（x≠0）有且仅
分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．
若x＞0，此时[x]≥0；
若[x]=0，则=0；
＜≤1，即＜a≤1． 若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故
且随着[x]的增大而增大．
若x＜0，此时[x]＜0；
若﹣1≤x＜0，则≥1；
＜，即1≤a＜， 若x＜﹣1，因为[x]≤x＜﹣1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤
且随着[x]的减小而增大．
又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．
所以为使函数f（x）=
﹣3． < br>﹣a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=﹣1，﹣2，

若 [x]=1，有＜a≤1；
若[x]=2，有＜a≤1；
若[x]=3，有＜a≤1；
若[x]=4，有＜a≤1；
若[x]=﹣1，有a＞1；
若[x]=﹣2，有1≤a＜2；
若[x]=﹣3，有1≤a＜；
若[x]=﹣4，有1≤a＜
综上所述，＜a≤或≤a＜，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了分类讨论思想，考查了新定义问题，是一道中
档题．

8．将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙
内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；转化思想；转化法；球．
【分析】 若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球
都相切的小球，可先求出 该球的半径，若将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且
两两相切的实心小球所形成的球间空隙内 ，使得正方体能够任意自由地转动，则=2r，
进而可得答案．
【解答】解：若在四个半径为 1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其
它球都相切的小球，
设该小球的半径为r，
则r+1+
解得：r=，
=，
若将一个 棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙
内，使得正方体能够任意 自由地转动，
则=2r，
解得：a=，
故选：D．
【点评】本题考查 的知识点是空间球与球之间的位置关系，正三棱锥的高与棱长的关系，难
度较大．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．已知α，β为锐角，，则cos2β= ，α+2β= ．

【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．
【分析】由已知利用同角三角函数基 本关系式可求cosα，cosβ的值，利用二倍角公式可求
cos2β，sin2β的值，利用两角和 的余弦函数公式可求sin（α+2β）的值，结合α+2β的范围，
由余弦函数的性质即可得解．
【解答】解：∵α，β为锐角，
cosβ==，
）
2
=，sin2β=2sinβcosβ=2×
×﹣×=，
×=，
，可得：cosα==，
∴cos2β=1﹣2sin
2
β =1﹣2×（
∵cos（α+2β）=cosαcos2β﹣sinαsin2β=
∵α+2β ∈（0，
∴α+2β=．
．
），
故答案为：，
【点评】本题主 要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式，
余弦函数的性质在三角函数化 简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

10．已知一个正三棱柱的 所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）
视图的面积为 ．表面积为 +12 ．体积为 ．

【考点】棱柱的结构特征．
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知可得正三棱柱的所有棱长 均为2，进而可得三视图中正视图的面积，及棱柱
的表面积和体积．
【解答】解：由已知可得正三棱柱的所有棱长均为2，
则此三棱柱的正视图为矩形，长2，宽，面积，
表面积为：2×
体积为：×
故答案为：，
+6×2=
×2=
，
，
+12，
【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，由三视图求几何体的体积和表面积，难度中
档．

11．若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）=
＜的解集为 （﹣1，1） ．
；不等式f（x）+f（﹣x）
【考点】指数函数的图象与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】设出指数函数解析式，将点的坐标代入，求参数a，然 后将不等式具体化，换元得
到一元二次不等式解之，然后还原求解集．
【解答】解：设指数函 数解析式为y=a
x
，因为指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），所以
4=a< br>﹣2
，解得a=，所以指数函数解析式为y=
不等式f（x）+f（﹣x）＜为
，所以f（3）=；
，所以2t
2
，设2
x
=t，不等式化为﹣5t+2＜0解得＜t＜2，即＜2
x
＜2，所以﹣1＜x＜1，所以不等式的解集为（ ﹣1，1）．
故答案为：；（﹣1，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求指数函数解析式以及解指数不等式；采用了换元的方法．

12．已知= 5 ，
S
2015
= 15 ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；归纳法；等差数列与等比数列．
【分析】 根据题意推知数列{a
n
}（n≥7）是周期为3的周期数列，由此进行解答．
【解 答】解：∵
a
1
=1，a
2
=2，a
3
=3，a< br>4
=4，a
5
=5，a
6
=6，
a
7=﹣a
4
=﹣4，a
8
=﹣a
5
=﹣5，a
9
=﹣a
6
=﹣6，
a
10
=﹣a
4
=﹣ 4，a
11
=﹣a
8
=a
5
=5，a
12
=﹣a
9
=a
6
=6，
a
13
=﹣a
4
=﹣4，a
14
=﹣a
8
=a
5
=5，a
15
=﹣a
9
=a
6
=6，
∴数列{a
n
}（n≥7）是周期为3的周期数列，
∵2015=671×3+2，
∴a
2015
=a
5
=5．
∴S
2015
=a
1
+a
2
+a
3
+a
2010
+a
2011
+a
2013
+a
2014
+a
2015
，
=a
1
+a
2
+a
3
﹣a
4
+a
5
+a
6
﹣a
4
+a
5
，
=1+2+3﹣4+5+6﹣4+5，
=15．
故a
2015
=5．S
2015
=15．
故答案为5；15．
【点评】本题考查了数列递推式、数列的周期性，考查了变形能力、推理 能力与计算能力，
属于中档题．

13．已知正实数x，y满足lnx+lny= 0，且k（x+2y）≤x
2
+4y
2
恒成立，则k的最大值是 ．
【考点】基本不等式；函数单调性的性质．

【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可得xy=1，k应小于或等于
且
在[2
的最小值．令 x+2y=t，可得 t≥2，
=t﹣，故k应小于或等于t﹣的最小值．根据函数 t﹣
，+∞） 上是增函数，求得t﹣取得最小值，即可得到k的最大值．
【解答】解：∵已知正实数x，y满足lnx+lny=0，∴xy=1．
∵k（x+2y） ≤x
2
+4y
2
恒成立，∴k≤
故k应小于或等于的最小值．
，当且仅当 x=2y 时，取等号，故t∈[2，+
，
令 x+2y=t，则由基本不等式可得t≥2
∞）．
故 ==t﹣，故k应小于或等于t﹣的最小值．
，+∞） 上是增函数，故当t=2时，t﹣取得最小值为， 由于函数 t﹣在[2
故k的最大值是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化的数 学思想，属
于中档题．

14．已知△ABC中，，则= ﹣7 ．
【考点】正弦定理的应用；向量在几何中的应用．
【专题】解三角形；平面向量及应用． < br>【分析】利用向量的数量积和向量夹角的定义，将
=
示，即可得到sinAcosB=﹣ 7cosAsinB，把
【解答】解：∵
∴
∴
，
，根据向量数量积的和向量夹角的定义，
=4，
转化为
，再应用正弦定理将边转化为角表
化为正余弦表示代入即可得答案．
∴，
根据正弦定理，可得﹣3sinBcosA+3cosBsinA=4sinC，
又4sinC=4sin（A+B）=4sinAcosB+4cosAsinB，
∴sinAcosB=﹣7cosAsinB，
=．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了向量的数量积在几何中的应用，涉及了向量数量积的定义，向量夹角的
定义以及正弦 定理的应用．解题时要特别注意向量的夹角与三角形内角的关系，在三角形问
题中，解题的思路一般是应 用正弦定理和余弦定理进行“边化角”或“角化边”．属于中档
题．

15．已知点M（4，0），点P在曲线y
2
=8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）
2
+y
2
=1上运动，
则取到最小值时P的横坐标为 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设圆心为F， 则容易知道F为抛物线y
2
=8x的焦点，并且
圆心F，设P（x，y），则： |PM|
2
=（x﹣4）
2
+y
2
=（x﹣4）
2
+8x=x
2
+16，|PQ|=x+2+1=x+3，所以
求的最小值 即可．
=，
最小时，PM经过
【解答】解：如图，设圆心为F，则F为抛物线y2
=8x的焦点，该抛物线的准线方程为x=
﹣2，设P（x，y），
由抛物线的定义：|PF|=x+2，要使
|PM|=
∴=，
=
最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，
经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|=|P F|+1=x+3，且
令x+3=t（t≥3），则x=t﹣3，
∴=t+﹣6≥4，当t=5时取“=“；
此时x=2．
故答案为：2．

【点评】考查抛物线的标准方程，焦点坐标公式，准线方程，及抛物线的定义，圆的标准方< br>程，利用基本不等式求函数的最值．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，，求b+c的值．
【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．

【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式转化成角的正弦 的关系式，整理求得tanA的值，
进而求得A．
（Ⅱ）利用向量积的性质求得bc的值，进 而利用余弦定理求得b
2
+c
2
的值，最后用配方法
求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵
∴sinAcosB+sinBsinA=sinC，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
∴sinAcosB+sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB
整理得
∴A=
sinA=cosA，即tanA=
．
•
，
•，
|=3，
，
，
（Ⅱ）AB•AC•cosA=|
∴bc•=3，即bc=2
∵a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，即1=b
2
+c
2
﹣2•2
∴b
2+c
2
=1+6=7，
∴b+c==．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，向量积的运算．综合性很强．
17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥ 平
面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）欲证BC⊥平面ACFE，可根据面面垂直的性质 定理进行证明，而AC⊥BC，
平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，满足面面垂直的性质定理；
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH，根据二面角的平面角的定义可知∠
DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角，在△DGH中，利用余弦定理即可求出二面角B﹣EF﹣
D的平 面角的余弦值．
【解答】解（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE
（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH∵DE=DF，
∴DG⊥EF∵BC⊥平面ACFE∴BC⊥EF

又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，
又∵GH∥FB，
∴EF⊥GH
∴BE
2
=DE
2
+DB
2
∴∠DGH是二面角B ﹣EF﹣D的平面角．
在△BDE中，
∴
又
．
．

∴∠EDB=90°，
即二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值为

【点评 】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，考
查学生空间想象能力 ，逻辑思维能力，是中档题．

18．已知函数f（x）=
．
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．
（a＞0，b ＞1），满足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值
【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解 及常用方法．
【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（I）根据条件建立方程和不等式关系即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．
【解答】 解：（I）∵f（x）=
∴f（1）=
f（x）=
（a＞0，b＞1），满足：f（1 ）=1，
=1，即a=1+b，①
≤=，
．
②，
∵f（x）在R上有最大值
∴=．即2a=3
由①②得a=3，b=2，
即f（x）的解析式f（x）=；

（Ⅱ）依题意，若x∈[1，2]时有意义，则m＞2或m＜1，
则当x=1时，不等式也成立，即1≤=，
即m≥|m﹣1|，平方得m
2
≥m
2
﹣2m+1，得m≥，
当x=2时，不等式也成立，即1≤
即m≥2|2﹣m|，
平方得3m
2
﹣16m+16≤0，
即≤m≤4，．
由f（x）≤
即x≤
得≤，
，
，则|x﹣m|≤，即﹣≤x﹣m≤，在x∈[1，2]上恒成立．
，则m≤4
）
max
，
①当x=1时，不等式成立，当x≠1时，m≤
②对于 m≥，x∈（1，2]上恒成立，等价为m≥（
设t=x+1，则x=t﹣1，则t∈（2，3]，
则
则（
==t+﹣2，在（2，3]上递增，
）
max
=，
则m≥．
综上实数m的取值范围是2＜m≤4．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件建立方程关系求出函数的解析式，利用
参数 分离法转化求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强．

19．已知椭圆C： +=1 （a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原
点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣ y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于 A，B两点，P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点）．当|AB|= 时，求实数t的值．
+=t
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a ＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为，
可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=
即可求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c=
， +=t，
﹣1； …

又因为b==1，所以a
2
=2，b
2
=1． …
+y
2
=1． … 故椭圆C的方程为
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x
1
，y< br>1
），B（x
2
，y
2
），P（x，y），
由得（ 1+2k
2
）x
2
﹣8k
2
x+8k
2
﹣ 2=0． …
． … △=64k
4
﹣4（2k
2
+1）（8k
2
﹣2）＞0，∴k
2
x
1
+x
2
=
又由|AB|=
，x
1
x
2
=
，得
．
|x
1
﹣x
2
|=
=
可得
又由
=
故
得，t
2
=，即t=±< br>+
，即
…
…
=t，得（x
1
+x
2
，y
1
+y
2
）=t（x，y），则=，
…
，即16k
2
=t
2
（1+2k
2
）． …
． …
【点评】本题考查椭圆的 标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考
查学生的计算能力，属于中档题．

20．数列{a
n
}满足a
1
=2，．
（1）设
（2）设
，求数列{b
n
}的通项公式；
，数列 {c
n
}的前n项和为S
n
，求出S
n
并由此证明：．
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】 （1）利用数列递推式，结合条件，可得b
n+1
﹣b
n
=，利用叠加法，可 求数列{b
n
}
的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，利用数列的单调性，即可得到结论．

【解答】解：（1）∵，
∴
∵
﹣

=
∴b
n+1
﹣b
n
=
∴b
n
=b1
+（b
2
﹣b
1
）+…+（b
n
﹣b
n﹣1
）=
∵
∴b
1
=1
∴b
n
=；
，∴
，a
1
=2，
（2）由（1）知，a
n
=
∴= [
，
]
∴S
n
==
∵
∴
∴
=
=
得到递减，
，即．
【点评】本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查 学生分析解决问题的能力，
属于中档题．

2016年10月26日