盐务局-感人的情书

立体几何综合大题（理科）40道及答案

1、四棱锥中,⊥底面,,,.


(Ⅰ)求证:⊥平面
；

(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。
【答案】
(Ⅰ)证明:因为BC=C D，即
BCD
为等腰三角形，又
ACBACD
,故
BDA C
.
因为
PA
底面
ABCD
，所以
PABD
,从而
BD
与平面
PAC
内两条相交直线
PA,AC
都垂直，
故⊥平面
。

(Ⅱ)解：
S
BCD

112

BC•CD•sinBCD22sin3
.
223
11
由
PA
底面
ABCD
知
V
P BDC
S
BCD
PA3232
.
33
1
由
PF7FC,
得三棱锥
FBDC
的高为
PA,
8
11111
故：
V
FBDC
S
 BCD
PA323

38384
V
PBDF
V
PBCD
V
FBCD
2
17

< br>44
2、如图，四棱锥
PABCD
中，四边形
ABCD
为矩 形，
PAD
为等腰三角形，
APD90

，平面
PA D
平面
ABCD
，且
AB1,AD2
，
E,F分别为
PC
和
BD
的中点．

（Ⅰ）证明：
EFP
平面
PAD
；
（Ⅱ）证明：平面
PDC
平面
PAD
；
（Ⅲ）求四棱锥
PABCD
的体积．
O


【答案】
（Ⅰ）证明：如图，连结
AC
．
∵四边形
AB CD
为矩形且
F
是
BD
的中点．∴
F
也是
AC
的中点．
又
E
是
PC
的中点，
EFPAP

∵
EF
平面
PAD
，
PA
平面
PAD
，所以
EFP
平面
PAD
；
（Ⅱ）证明：∵平面
PAD
平面
ABCD
，
CDAD
，平面
PADI
平面
ABCDAD
，
所以平面
CD
平面
PAD，又
PA
平面
PAD
，所以
PACD

又
PAPD
，
PD,CD
是相交直线，所以
PA
面
PCD

又
PA
平面
PAD
，平面
PDC
平面
PAD
；
（Ⅲ）取
A D
中点为
O
．连结
PO
,
PAD
为等腰直角三角 形，所以
POAD
，
因为面
PAD
面
ABCD
且面
PADI
面
ABCDAD
，
所以，
PO
面
ABCD
，
即
PO
为四棱锥
PABCD
的高．

< br>由
AD2
得
PO1
．又
AB1
．
12
∴四棱锥
PABCD
的体积
VPOABAD

33
考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.
3、如图，在四棱锥
PABCD
中，
PD平面ABCD
，
CDPA
，
DB平分ADC
，
E为PC的中点
，
DAC45
o
，
AC2
.

（Ⅰ）证明：
PA
∥
平面BDE
；
（Ⅱ）若
PD2,BD22,
求四棱锥
EABCD
的体积
【答案】（Ⅰ）设
ACBDF
，连接EF，
PD平面ABCD，CD平面ABCD，PDCD

又CDPA，PDPAP，PD，PA平面PAD

CD平面PAD，AD平面PADCDAD

∵
DAC45

,
∴
DADC,

∵
DB
平分
ADC,
F
为
AC
中点，< br>E
为
PC
中点，
∴
EF
为
CPA
的中位线.
∵< br>EF
∥
PA,EF平面BDE
，
PA平面BDE

∴
PA
∥
平面BDE
.
(Ⅱ)底面四边形
ABCD
的面积记为
S
;
1213
2222
．
2222
SS< br>ADC
S
ABC


点E为线段PC 的中点，
11112
V
EABCD
SPD22
．
32323
考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.
4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中
，
，为的中点．

(1) 求证：
AD平面PQB
；
(2) 若平面平面
ABCD
,且
M
为
PC
的中点，求四棱锥
MABCD
的体 积．
【答案】
（1）
QPAPD
，
Q
为中点，
ADPQ

连
DB
，在
ADB
中，
ADAB
，
，

ABD
为等边三角形，为的中点，
ADBQ
,
PQBQQ
,
PQ
平面
PQB
,
BQ平面
PQB
,

AD
平面
PQB
.
（2）连接
QC
,作
MHQC
于
H
.

Q
PQAD
,
PQ
平面
PAD
,
平面
PAD
平面ABCD
AD
,
平面平面ABCD，

PQ平面ABCD
,
QC
平面ABCD
,

PQQC

PQMH
.

MH平面ABCD
,
又
PM
1
2
PC
,
MH
1133< br>PQ2
.
2222
在菱形
ABCD
中，
BD2
,
13
1
=3
,
S
ABD
AB ADsin60
0
=22
22
2

S
菱形 ABCD
2S
ABD
23
.
13
1
V
MABCD
S
菱形ABCD
MH
23
1
．
32
3
5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.
⑴ 求证：平面平面；
⑵ 求四棱锥的体积.


【答案】(1) 证明：由题可知，


(2) ，则
.

6、已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，
P
E
A B
D
C

(1)若
PDAD
，求 PC与面AC所成的角
(2) 求证：平面
(3) 求证：平面PBC⊥平面PCD 【答案】平面，是直线在平面
ABCD
上的射影，是直线
PC
和平面ABCD
所成的
角。又，四边形
ABCD
是正方形，，；直线
P C
和平面
ABCD
所成的角为
（2）连接AC交BD与O,连接EO, ∵E、O分别为PA、AC的中点
∴EO∥PC ∵PC平面EBD,EO平面EBD ∴PC∥平面EBD
（3）∵PD平面ABCD, BC平面ABCD，∴PD
CD，
BC，
∵ABCD为正方形 ∴ BC
∵PD∩CD=D, PD，CD平面PCD
∴BC平面PCD
又∵ BC平面PBC
∴平面PBC平面PCD
7 、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重
合，重合后的点记为，构成 一个三棱锥．

（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；

（2）证明平面；
（3）求四棱锥的体积．
【答案】（1）平行平面
证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）
所以平行
因为，所以平行平面
.

（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.
因为在折叠前，由于折叠后，点，所以
因为，所以平面
.

（3）

.
8、在如图所示的几何体中，四边形
ABCD< br>是正方形，
MA
⊥平面
ABCD
，
PD
∥
M A
，
E
、
G
、
F
分别为
MB
、< br>PB
、
PC
的中点，且
AD＝PD＝2MA
.

(1)求证：平面
EFG
⊥平面
PDC
；
(2)求三棱锥
P－MAB
与四棱锥
P－ABCD
的体积之比． < br>【答案】(1)证明：∵
MA
平面
ABCD
，
PD
∥
MA
，
∴
PD
平面
ABCD
，
又
BC

平面
ABCD
，∴
PD
BC
，
∵
ABCD
为正方形，∴
BC

DC.
∵
PDIDC＝D
，∴
BC

平面
PDC
.
在< br>PBC
中，因为
G、F
分别为
PB
、
PC
的中点，
∴
GF
∥
BC
，∴
GF

平面
PDC
.

又
GF

平面
EFG< br>，∴平面
EFG

平面
PDC
.
(2)不妨设MA=1
，∵
ABCD
为正方形，∴
PD＝AD＝2
，
又∵
PD
平面
ABCD
，
1
8
所以< br>V
P－ABCD
＝
S
正方形ABCD
PD
＝. < br>3
3
由于
DA
平面
MAB
，且
PD
∥
MA
，
所以
DA
即为点
P
到平面
MAB
的距离，
1

1
2

三棱锥
V
P－MAB
＝×< br>
12

×2＝.
3

2
3

:4
. 所以
V
P－ MAB
:V
P－ABCD
＝1
9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S- ABCD中，
ABC90

,SA面ABCD，SAABBC1,AD 
1
.

2
S
B
C
A
D

(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证：
面SAB面SBC;

(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。
【答案】（1）解：
111111
vSh(ADBC)ABSA(1)11

332624

（2）证明：
SA面ABCD，BC面ABCD,
SABC

又
ABBC，SAABA,
BC面SAB

BC面SAB面SAB面SBC

（3）解：连结AC,则
SCA
就是SC与底面ABCD所成的角。
在三 角形SCA中，SA=1,AC=
1
2
1
2
2
,
tanSCA
SA12


AC2
2
10.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
（
I
）证明：是侧棱的中点；
求二面角的大小。
【答 案】分别以
DA
、
DC
、
DS
为
x
、y
、
z
轴如图建立空间直角坐标系
D
—
xyz
，
则。
z
S
M
C
D
A
B
x
y

（Ⅰ）设，则
又

故，即
，解得，
所以是侧棱的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，
设分别是平面、的法向量，则
且，即且
分别令得，即
，
∴
二面角的大小。

11、如图，直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中，
AB
⊥
AC
,
D
、
E
分别为
AA
1
、
B
1
C
的中点，
DE
⊥
平面
BCC1
（Ⅰ）证明：
AB
=
AC
（Ⅱ）设二面角
A
-
BD
-
C
为60°,求
B
1
C
与平面
A
1

B
1

BCD
所成的角的大小

C
1

D

E

A


B
C


【答案】（Ⅰ）以
A
为坐 标原点，射线
AB
为
x
轴的正半轴，建立如图所示的直角
坐标系A
—
xyz
。
设
B
（1，0，0），
C（0，
b
，0），
D
（0，0，
c
），则（1，0，2
c
）,
E
（，，
c
）.

于是=（ ，，0），=（-1，
b
,0）.由
DE
⊥平面知
DE
⊥< br>BC
， =0，求得
b
=1，所以
AB
=
AC
。
（Ⅱ）设平面
BCD
的法向量则
又=（-1，1， 0），
=（-1，0，
c
）,故
令
x
=1, 则
y
=1,
z
=,=(1,1, )。
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以与平面所成的角为30°
12、如图，平面，，，，分别为的中点．（
I
）证明：平面；（
II
）求与平面所成角的
正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平
面
ACD
，
DC
平面
ACD
， 所以平面
ACD

（Ⅱ）在中，，所以
而
DC
平面
ABC
，，所以平面
ABC

而平面
ABE
， 所以平面
ABE
平面
ABC
， 所以平面
ABE

由（Ⅰ）知四边形
DCQP
是平行四边形，所以
所以平面
ABE
， 所以直线
AD
在平面
ABE
内的射影是
AP
，
所以直线
AD
与平面
ABE
所成角是
在中， ，
所以

13、如图，四棱锥的底面是正方形，，点
E
在棱
PB
上 .（Ⅰ）求证：平面；
当且
E
为
PB
的中点时，求
AE与平面
PDB
所成的角的大小.


【答案】（Ⅰ）∵四边形
ABCD
是正方形，∴
AC
⊥
BD
，
∵， ∴
PD
⊥
AC
，∴
AC
⊥平面
PDB
，
∴平面.
（Ⅱ）设
AC
∩
BD
=
O
，连接
OE
，
由（Ⅰ）知
AC
⊥平面
PDB
于
O
，
∴∠
AEO
为
AE
与平面
PDB
所的角，
∴
O
，
E
分别为
DB
、
PB
的中点，
（Ⅱ）

∴
OE

14、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面
交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．



【答案】（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面Ａ
ＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ 交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，
则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，Ｐ Ｄ⊥平面ＡＢＭ，则
MN
是
PN
在平面
ABM
上的射影，
所以 就是与平面所成的角，
且

所求角为
（3）因为
O
是
BD
的中点，则
O
点到平面
ABM
的距离等于
D
点到平面
ABM
距离的
一半，由（1 ）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于
M
，则|
DM
|就是
D
点到平面
ABM
距离.
因为在
Rt
△
PAD
中，，，所以 为中点，，则
O
点到平面
ABM
的距离等于。

< br>15、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角
形，（
I
）求证：；
（
II
）设线段、的中点分别为、，求证： ∥
（
III
）求二面角的大小。

【答案】（
I
） 因为平面
ABEF
⊥平面
ABCD
，
BC
平面
AB CD
，
BC
⊥
AB
，平面
ABEF
∩
平面
ABCD
=
AB
，
所以
BC
⊥平面
ABEF
.
所以
BC
⊥
EF
.
因为⊿
ABE
为等腰直角三角形，
AB
=
AE
，
所以∠
AEB
=45°，
又因为∠
AEF
=45,
所以∠
FEB
=90°，即
EF
⊥
BE
.
因为
BC
平面
ABCD
,
BE
平面
BCE
,
BC
∩
BE
=
B

所以

（II
）取
BE
的中点
N
,连结
CN
,
MN
,则
MNPC

∴
PMNC
为平行四边形,所以
PM
∥
CN
.
∵
CN
在平面
BCE
内,
PM
不在平面
BCE
内,
∴
PM
∥平面
BCE
.
（
III
）由
EA
⊥
AB
,平面
ABEF
⊥平面
ABCD
,易知
EA
⊥平面
ABCD
. < br>作
FG
⊥
AB
,交
BA
的延长线于
G
,则
FG
∥
EA
.从而
FG
⊥平面
ABCD,
作
GH
⊥
BD
于
H
,连结
FH< br>,则由三垂线定理知
BD
⊥
FH
.
∴ ∠
FHG
为二面角
F
-
BD
-
A
的平面角.
∵
FA
=
FE
,∠
AEF
=45°,
∠
AEF
=90°, ∠
FAG
=45°.

设
AB
=1,则
AE
=1,
AF
=,则
在
Rt
⊿
BGH
中, ∠
GBH
=45°,
BG
=
AB
+
AG
=1+=,
,
在
Rt
⊿
FGH
中, ,
∴ 二面角的大小为




16、如图，四棱锥
S
-
ABC D
的底面是正方形，
SD
⊥平面
ABCD
,
SD
＝
AD
＝
a
,点
E
是
SD
上的点，且
DE
＝
a
(0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有
AC
⊥
BE
:
(Ⅱ)若二 面角
C
-
AE
-
D
的大小为60
0
C，求的值。
【答案】（Ⅰ）证发1：连接
BD
，由底面是正方形可得
ACBD
。

SD
平面ＡＢＣＤ，
BD
是
BE
在平面ABCD
上的射影，
由三垂线定理得
ACBE
.
(
II
)
SD
平面
ABCD
，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，
SDCD
.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， Ｃ
D
Ａ
D，又ＳＤ
AD
=
D
，
CD
平面
SAD
。
过点
D
在平面
SAD
内做
DFAE
于
F
，连接
CF
，则
CFAE
，
故
CFD
是二面角
C
-
AE
-
D
的平面角，即
CFD
=60°
在
Rt
△
ADE
中，
AD
=,
DE
= ，
AE
= 。
于是，
DF
=
在
Rt
△
CDF
中，由
cot
60°=

得， 即=3
， 解得=



17、如图3，在正三棱柱中，
AB
=4
,
,点
D
是
BC
的中点，点
E
在
AC
上，且
DEE
.
（Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线
AD
和平面所成角的正弦值。

【答案】（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.
又
DE
平面
ABC
，所以
DE.
而
DEE，
,

所以
DE
⊥平面.又
DE
平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ） 过点
A
作
AF
垂直于点,
连接
DF
.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以
AF
平面,故是直线
AD
和
平面所成的角。 因为
DE
，
所以
DEAC.
而
ABC
是边长为4的正三角形，
于是< br>AD
=，
AE=
4
-CE
=4
-
=3.
又因为，所以
E
= = 4,
, .

即直线
AD
和平面所成角的正弦值为 .





18、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角
形，
（
I
）求证：；
（
II
）设线段、的中点分别为、，
求证： ∥
（
III
）求二面角的大小。


【答案】
（
I
）因为平面
ABEF
⊥平面
ABC D
，
BC
平面
ABCD
，
BC
⊥
AB，平面
ABEF
∩平面
ABCD
=
AB
，
所以
BC
⊥平面
ABEF
.
所以
BC
⊥
EF
.
因为⊿
ABE
为等腰直角三角形，
AB
=
AE
，
所以∠
AEB
=45°，
又因为∠
AEF
=45,
所以∠
FEB
=90°，即
EF
⊥
BE
.
因为
BC
平面
ABCD
,
BE
平面
BCE
,

BC
∩
BE
=
B

所以

（
II
）取
BE
的中点
N
,连结< br>CN
,
MN
,则
MNPC

∴
PMNC
为平行四边形,所以
PM
∥
CN
.
∵
CN
在平面
BCE
内,
PM
不在平面
BCE
内,
∴
PM
∥平面
BCE
.
（
III
）由
EA
⊥
AB
,平面
ABEF
⊥平面
ABCD
,易知
EA
⊥平面
ABCD
. < br>作
FG
⊥
AB
,交
BA
的延长线于
G
,则
FG
∥
EA
.从而
FG
⊥平面
ABCD,
作
GH
⊥
BD
于
H
,连结
FH< br>,则由三垂线定理知
BD
⊥
FH
.
∴ ∠
FHG
为二面角
F
-
BD
-
A
的平面角.
∵
FA
=
FE
,∠
AEF
=45°,∠
AEF
=90°, ∠
FAG
=45°.
设
AB
=1,则
AE
=1,
AF
=,则
在
Rt
⊿
BGH
中, ∠
GBH
=45°,
BG
=
AB
+
AG
=1+=,
,
在
Rt
⊿
FGH
中, ,
∴ 二面角的大小为
19、如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：
（Ⅰ）直线到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．






【答案】

（Ⅰ）平面,
AB
到面的距离等于点
A
到面的距离，过点
A
作于
G，因∥，故；又
平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以
AG
为所求直线
AB
到面的距离。
在中，
由平面，得
AD
，从而在中，
。即直线到平面的距离为。
（Ⅱ）由己知，平面，得
AD
，又由，知，故平面
ABFE

，所以，为二面角的平面角，记为.
在中, ,由得,,从而
在中, ,故
所以二面角的平面角的正切值为.


20、如图，四棱锥
P­
ABCD
中，底面
ABCD
为平行四边形，∠
DAB
＝60°，
AB
＝2
AD
，
PD
⊥底面
ABCD．


(1)证明：
PA
⊥
BD
；
(2) 设
PD
＝
AD
，求二面角
A
－
PB
－C
的余弦值．


【答案】
(1)因为∠
DAB< br>＝60°，
AB
＝2
AD
，由余弦定理得
BD3AD
.
从而
BD
2
＋
AD
2
＝
AB
2
，故
BD
⊥
AD．

又
PD
⊥底面< br>ABCD
，可得
BD
⊥
PD．

所以
BD< br>⊥平面
PAD．
故
PA
⊥
BD．

(2)如 图，以
D
为坐标原点，
AD
的长为单位长，射线
DA
为x
轴的正半轴建

立空间直角坐标系
Dxyz
.则
A
(1，0，0)，
B
(0，
3
，0)，
C
(－1 ，
3
，0)，
P
(0，
0，1)．


uuur
uuuruuur
AB
＝(－1，
3
，0)，
PB
＝(0，
3
，－1)，
BC
＝(－1，0，0)．
uuu r


nAB0
设平面
PAB
的法向量为
n< br>＝(
x
，
y
，
z
)，则

uuu< br>
r


nPB0


x3y0
即




3yz0
因此可取
n＝(
3
，1，
3
)．
uuur


mPB0
设平面
PBC
的法向量为
m
，则

u uu

r


mBC0
可取
m
＝(0 ，－1，－
3
)，
cosm,n
27
.
7
427
.

7
27
故二面角
A< br>­
PB
­
C
的余弦值为
