关于冬天的诗-我生活在幸福之中

2018年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）（一）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项 是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{x|x≥3 ，x∈N}，则∁
U
A＝（ ）
A．{1，2}
2．（5分）复数
A．i
B．{3，4，5，6，7} C．{1，3，4，7}
＝（ ）
B．﹣i C． D．
D．{1，4，7}
3．（5分）已知四个命题：
①如果向量与共线，则或；
②x≤3是|x|≤3的必要不充分条件；
③命题p：∃x
0
∈（0，2） ，
④“指数函数y＝a
是增函数，而
x
的否定￢p：∀x∈（0，2），x< br>﹣2x﹣3≥0；
是指数函数，所以是增函数”
2
此三段论大前提错误，但推理形式是正确的．
以上命题正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（5分）若数列{a
n
}满足a
1
＝2，
A．2 B．﹣3
x
，则a
2018
的值为（ ）
C． D．
5．（5分）函数f（x）＝2（x＜0），其值域为D，在区间（﹣1，2）上随机取一个数x，则
x∈D的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）程序框图如图所示，该程序 运行的结果为s＝25，则判断框中可填写的关于i的
条件是（ ）
第1页（共25页）

A．i≤4？ B．i≥4？ C．i≤5？ D．i≥5？
7．（5分）南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面 积的
公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以
四 约之，为实，一为从隅，开方得积．”（即：，a＞b
＞c），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其 小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十
五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）
A．82平方里 B．83平方里 C．84平方里 D．85平方里
8．（5分）如图，网 格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几
何体的体积为（ ）

A． B． C．2π D．
9．（5分）设f（x）是定义在[﹣2b，3+b]上的偶函 数，且在[﹣2b，0]上为增函数，则f（x
﹣1）≥f（3）的解集为（ ）
第2页（共25页）

A．[﹣3，3]
10．（5分）抛物线C：
当
A．1
B．[﹣2，4] C．[﹣1，5] D．[0，6]
的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在抛物线C上，
时，△AMF的面积为（ ）
B．2
，则
C．
C． D．4
11．（5分）在△ABC中，AB＝2，
A．4 B．3
的最大值为（ ）
D．
12．（5分）已知F
1
，F
2
分别为双曲线的左 焦点和右焦点，过F
2
的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF
1
F
2
的内切圆半径为r
1
，△BF
1
F
2
的 内切
圆半径为r
2
，若r
1
＝2r
2
，则直线l的 斜率为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．（5分）设向量，，若，则m＝ ．
14．（5分）x，y满足约束条件：，则z＝2x+y的最大值为 ．
15． （5分）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，
已知丙的年龄比学 委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小．据此推断班长
是 ．
16．（5分 ）一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直
角三角形斜边的最小值为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，< br>每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60
分
17．（12分）已知{a
n
}是公差不为零的等差数列，满足a
3＝7，且a
2
、a
4
、a
9
成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b
n
}满足b
n
＝a
n
•a
n+1
，求数列的前n项和S
n
．
18．（12分）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，AB＝2BC＝
第3页（共25页）

2CD＝2，△SAD为正三角形．
（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，（Ⅱ）若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．
，求实数λ的值；

19 ．（12分）小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种
日薪薪酬方案 ．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每
日前55单没有奖励，超过 55单的部分每单奖励12元．
（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（ Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数
满足以下表格：
日均派送单数
频数（天）
回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送 员的日薪为X（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙
两种方案的日薪X平均数及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，
并说明你的理 由．
（参考数据：0.6＝0.36，1.4＝1.96，2.6＝6.76，3.4＝11.56， 3.6＝12.96，4.6＝21.16，
15.6＝243.36，20.4＝416.16，44 .4＝1971.36）
20．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F
1
， F
2
，且离心率
222
222222
52
20
54
30
56
20
58
20
60
10
为，M为椭圆上任意一点，当∠F
1
MF
2
＝90° 时，△F
1
MF
2
的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF
1
，AF
2
分别与椭圆交于
第4页（共25页）

点B，D，设直线 BD的斜率为k
1
，直线OA的斜率为k
2
，求证：k
1
• k
2
为定值．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x+b）（e﹣a），（b＞ 0），在（﹣1，f（﹣1））处的切线方
程为（e﹣1）x+ey+e﹣1＝0．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）若m≤0，证明：f（x）≥mx+x．
（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]共1小题，满分10分）
22．（10分 ）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ
2
x
为参数），以坐 标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程
为，若直线l与曲线C相切；
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足
MON的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足a+b+c＝t，求
的最小值．

2222
，求面积△
的定义域为R；
第5页（共25页）

2018年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）
（一）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在 每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合U＝{1，2 ，3，4，5，6，7}，A＝{x|x≥3，x∈N}，则∁
U
A＝（ ）
A．{1，2} B．{3，4，5，6，7} C．{1，3，4，7} D．{1，4，7}
【分析】利用补集定义直接求解．
【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，
A＝{x|x≥3，x∈N}，
∴∁
U
A＝{1，2}．
故选：A．
【点评】本题考查补集的求 法，考查补集等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能
力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）复数
A．i
＝（ ）
B．﹣i C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）已知四个命题：
①如果向量与共线，则或；
＝，
②x≤3是|x|≤3的必要不充分条件； ③命题p：∃x
0
∈（0，2），
④“指数函数y＝a
是增函数，而x
的否定￢p：∀x∈（0，2），x
﹣2x﹣3≥0；
是指数函数，所以是增函数”
2
此三段论大前提错误，但推理形式是正确的．
以上命题正确的个数为（ ）
第6页（共25页）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】解：对于①，如果向量与共线，则＝λ，
不一定有或，∴①错误；
对于②，x≤3时，|x|≤3不一定成立，即充分性不成立；
|x|≤3时，﹣3≤x≤3，则x≤3成立，必要性成立；
是必要不充分条件，②正确；
对于③，命题p：∃x
0
∈（0，2），
￢p：∀x∈（0，2），x﹣2x ﹣3≥0，③正确；
对于④，“指数函数y＝a是增函数，而
x
2
的否定是
是指数函数，所以是增函数”
此三段论大前提错误，推理形式是正确的，∴④正确．
综上，以上命题正确的是②③④，共3个．
故选：D．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．
4．（5分）若数列{a
n
}满足a
1
＝2，
A．2 B．﹣3
，则a
2018
的值为（ ）
C． D．
【分析】 a
1
＝2，，可得a
2
＝＝﹣3，同理可得：a
3
，a4
，a
5
，……，
可得：a
n+4
＝a
n．利用周期性即可得出．
【解答】解：a
1
＝2，，
∴a
2
＝＝﹣3，同理可得：a
3
＝﹣，a
4
＝，a
5
＝ 2，……，
可得：a
n+4
＝a
n
．
则a
20 18
＝a
504
×
4+2
＝a
2
＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力， 属于
第7页（共25页）

中档题．
5．（5 分）函数f（x）＝2（x＜0），其值域为D，在区间（﹣1，2）上随机取一个数x，则
x∈D的概 率是（ ）
A． B． C．
x
x
D．
【分析】由指数函数 的单调性求出函数f（x）＝2，x∈（﹣∞，0）的值域为D，再由测
度比为长度比得答案．
【解答】解：函数f（x）＝2，x∈（﹣∞，0）的值域为（0，1），
即D＝（0，1），
则在区间（﹣1，2）上随机取一个数x，x∈D的概率P＝
故选：B．
【点评】本题考查几何概型，考查指数函数值域的求法，是基础题．
6．（5分）程序框图如 图所示，该程序运行的结果为s＝25，则判断框中可填写的关于i的
条件是（ ）
＝．
x

A．i≤4？ B．i≥4？ C．i≤5？ D．i≥5？
【分析】 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当i为何值时输出，得到判
断框中的条件．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
s＝100，i＝1
由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s＝100﹣5＝95，i＝2
由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s＝95﹣10＝85，i＝3
由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s＝85﹣15＝70，i＝4
第8页（共25页）

由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s＝70﹣20＝50，i＝5
由题意，满足判断框内的条件，执行循环体，s＝50﹣25＝25，i＝6
由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出s的值为25．
可得判断框中可填写的关于i的条件是i≤5？．
故选：C．
【点评】本题考查解 决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规
律，属于基础题．
7．（5 分）南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的
公式：“以小斜幂并 大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以
四约之，为实，一为从隅，开方得积 ．”（即：，a＞b
＞c），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大 斜一十
五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）
A．82平方里 B．83平方里 C．84平方里 D．85平方里
【分析】根据题意代值计算即可．
【解答】解：由题意：不妨设c＝13，b＝14，a＝15，
∴
故选：C．
【点评】本题考查数三角形的面积的求法，考查计算能力．
8．（5分）如图，网格纸上小正 方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几
何体的体积为（ ）
＝＝84，
第9页（共25页）

A． B． C．2π D．
【分析】判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体是一个半圆柱，挖去一个半球的几何体，
几何体的体积为：×1
2
×π×4﹣＝
．
故选：B．

【点评】本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能
力． < br>9．（5分）设f（x）是定义在[﹣2b，3+b]上的偶函数，且在[﹣2b，0]上为增函数，则f （x
﹣1）≥f（3）的解集为（ ）
A．[﹣3，3] B．[﹣2，4] C．[﹣1，5] D．[0，6]
【分析】根据f（x）为定义在[﹣2b，3+b]上的偶函数， 即可求出b＝3，从而得出偶函数
f（x）的定义域为[﹣6，6]，在[0，6]上单调递减，而f（ x﹣1）≥f（3）等价于f（|x﹣1|）
≥f（3），从而得到，解该不等式组即可得出原不等式的 解集．
【解答】解：根据题意，﹣2b+3+b＝0；
∴b＝3；
∴f（x）的定义域为[﹣6，6]，在[﹣6，0]上为增函数；
∴f（x）在[0，6]上为减函数；
第10页（共25页）

∴由f（x﹣1）≥f（3）得，f（|x﹣1|）≥f（3）；
∴；
解得﹣2≤x≤4；
∴原不等式的解集为[﹣2，4]．
故选：B．
【点评】考查偶函数的定义，偶函数定义域的特点，偶函数在对称区间上的单调性特点．
10．（5分）抛物线C：
当
A．1
的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在抛物线C上，
时，△AMF的面积为（ ）
B．2 C． D．4
【分析】由题意可知，当当
求解△AMF的面积．
时，则∠MAF＝45°，求出三角形的边长，然后
【解答】解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则
当＝＝＝＝，则∠MAF＝45°，x＝1时，y＝±2，
此时|AF|＝|MF|，
△AMF是等腰直角三角形，三角形的面积为×2×2＝2．
故选：B．

【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于
中档题．
第11页（共25页）

11．（5分）在△ABC中，AB＝2，
A．4 B．3
，则
C．
的最大值为（ ）
D．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果．
【解答】解：△ABC中，A B＝2，
则：2R＝
则：
＝
＝
＝2cosA+6
＝
由于：
所以：
所以最大值为4
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．
12．（5分 ）已知F
1
，F
2
分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F
2
．
，
，
，0
，

，
，
，
，
，
的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF
1
F2
的内切圆半径为r
1
，△BF
1
F
2
的内切
圆半径为r
2
，若r
1
＝2r
2
，则直线l的斜率 为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】充分利用平面几何图形的性质解题．因从 同一点出发的切线长相等，得|AM|＝|AN|，
|F
1
M|＝|F
1E|，|F
2
N|＝|F
2
E|，再结合双曲线的定义得|F
1
E|﹣|F
2
E|＝2a，从而即可求得△
AF
1
F
2
的内心的横坐标a，即有CD⊥x轴，在△CEF
2
，△DEF
2
中，运用解直角三角形知
识，运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．
【解答】解：记△AF
1
F
2
的内切圆圆心为C，
边AF
1
、AF
2
、F
1
F
2
上的切点分别为M 、N、E，
易见C、E横坐标相等，则|AM|＝|AN|，|F
1
M|＝|F1
E|，|F
2
N|＝|F
2
E|，
由|AF
1
|﹣|AF
2
|＝2a，
第12页（共25页）

即|AM|+|MF
1
|﹣（|AN|+|NF
2
|）＝2a，得|MF
1
|﹣|NF2
|＝2a，
即|F
1
E|﹣|F
2
E|＝2a，记 C的横坐标为x
0
，则E（x
0
，0），
于是x
0
+c﹣（c﹣x
0
）＝2a，得x
0
＝a，
同样内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，
设直线的倾斜角为θ，则∠OF
2< br>D＝，∠CF
2
O＝90°﹣
）＝
，
）＝cot，
，
，
在△CEF
2
中，tan∠CF
2
O＝t an（90°﹣
在△DEF
2
中，tan∠DF
2
O＝tan
由r
1
＝2r
2
，可得2tan
解得tan＝，
＝
＝tan（90°﹣
则直线的斜率为tanθ＝＝＝2，
故选：D．

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函
数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．（5分）设向量，，若，则m＝ ﹣ ．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
第13页（共25页）

【解答】解：∵向量
∴＝m+1+2m＝0，
，，，
解得m＝﹣．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直等基础 知识，考查推运算求解能力，考
查函数与方程思想，是基础题．
14．（5分）x，y满足约束条件：，则z＝2x+y的最大值为 3 ．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即
可．
【解答】解：画出x，y满足约束条件：平面区域，如图示：
由，解得A（2，﹣1），
由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x，
显然直线过A（2，﹣1）时，z最大，
z的最大值是3，
故答案为：3．
第14页（共25页）

【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
15．（5分 ）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，
已知丙的年龄比学委的大 ，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小．据此推断班长是
乙 ．
【分析】推导出丙是体委，年龄从大到小是乙＞丙＞学委，由此得到乙不是学委，故乙
是班长．
【解答】解：根据甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小，得到丙是体委，
丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小，
得到年龄从大到小是乙＞丙＞学委，
由此得到乙不是学委，故乙是班长．
故答案为：乙．
【点评】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查运算求解 能力，考
查函数与方程思想，是基础题．
16．（5分）一个直角三角形的三个顶点分别在底 面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直
角三角形斜边的最小值为 ．
【分析】根据正三棱 柱的结构特征，结合题意知：该三角形的斜边EF上的中线DG的长
为底面三角形的高时，
Rt△DEF的斜边最短．
【解答】解：【方法一】不妨设Rt△DEF的一锐角顶点E在B处，且AF＝h，CD＝m，
第15页（共25页）

222222
则有FB＝h+4，BD＝m+4，DF＝（h﹣m）+4，
又FB＝BD+DF，
整理得m﹣hm+2＝0，
则有△＝h﹣8≥0，
解得h≥8，
2
2
2
222
∴FB＝≥2．
【方法二】直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，
不妨设∠EDF＝90°，
已知正三棱柱的底面边长为AB＝2，
且△EDF的斜边EF上的中线为DG，如图所示；
由图形知，当DG的长为底面三角形的高时，
DG取得最小值为 ，
． 此时斜边EF的长为2DG＝2
故答案为：2 ．

【点评】本题主要考查了正三棱柱的结构特征与应用问题，是中档题．
三、解答题：共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60
第16页（共25页）

分
17．（12分）已知{a
n
}是公差不为零 的等差数列，满足a
3
＝7，且a
2
、a
4
、a
9
成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 {b
n
}满足b
n
＝a
n
•a
n+1
，求 数列的前n项和S
n
．
【分析】（Ⅰ）设数列{a
n
}的公差为d ，且d≠0，由等比数列中项的性质和等差数列的通
项公式，解方程可得公差d，首项，即可得到所求通 项公式；
（Ⅱ）由（1）得b
n
＝a
n
•a
n+1
＝（3n﹣2）（3n+1），
求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a
n
}的公差为d，且d≠0，
由题意得，
，由数列的
即
解得d＝3，a
1
＝1，
，
所以数列{a
n
}的通项公式a
n
＝3n﹣2；
（Ⅱ）由 （1）得b
n
＝a
n
•a
n+1
＝（3n﹣2）（3n+1 ），
∴
则
＝．
，

【点评】本题考查等差数列的通项 公式和等比数列中项性质的运用，考查数列的求和方
法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于 中档题．
18．（12分）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC ，AB＝2BC＝
2CD＝2，△SAD为正三角形．
（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥ 平面SDM，
（Ⅱ）若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．
，求实数λ的值；
第17页（共25页）

【分析】（Ⅰ）证明BC∥DM，推出AB＝2CD，利用已知条件求出λ．
（Ⅱ）证明平面 SCD⊥平面ABCD，在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E，说明
SE⊥平面ABCD，推 出AE＝ED＝SE＝1，连接BD，求出三棱锥S﹣AED的体积，求出
底面面积，利用V
三 棱锥
B
﹣
ASD
＝V
三棱锥
S
﹣
ABD< br>，求解B 到平面SAD的距离．
【解答】解：（Ⅰ）因为BC∥平面SDM，
BC⊂平面ABCD，
平面SDM∩平面ABCD＝DM，
所以BC∥DM，
因为AB∥DC，所以四边形BCDM为平行四边形，又AB＝2CD，所以M为AB的中点．
因为，
∴λ＝．

（Ⅱ）因为BC⊥SD，BC⊥CD，
所以BC⊥平面SCD，
又因为BC⊂平面ABCD，
所以平面SCD⊥平面ABCD，
平面SCD∩平面ABCD＝CD，
在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E，则SE⊥平面ABCD，
在Rt△SEA和Rt△SED中，
因为SA＝SD，所以
又由题知∠EDA＝45°，
所以AE⊥ED，
由已知求得，所以AE＝ED＝SE＝1，
第18页（共25页）

，
，

连接BD，则V
三棱锥
S
﹣
ABD
＝
又求得VSAD的面积为，
，
所以由V
三棱锥
B
﹣
ASD
＝V
三棱锥
S
﹣
ABD
点B 到平面SAD的距离为：．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应 用，几何体的体积的求
法，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（12分）小明在石家庄 市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种
日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元， 每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每
日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12 元．
（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数
满足以下表 格：
日均派送单数
频数（天）
回答下列问题：
①根据以上数据，设每 名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙
两种方案的日薪X平均数及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，
并说明 你的理由．
（参考数据：0.6＝0.36，1.4＝1.96，2.6＝6.76，3.4＝11. 56，3.6＝12.96，4.6＝21.16，
15.6＝243.36，20.4＝416.16 ，44.4＝1971.36）
【分析】（Ⅰ）甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案 ：底薪140元，每日
前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．由此能分别求出甲、乙两 种薪酬方
案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
第19页（共25页）

222
222222
52
20
54
30
56
20
58
20
60
10

（Ⅱ）①由已知，在这100天中，根据派送记录表能求出这100天中甲、 乙两种方案的
日薪X平均数及方差．
②答案一：E（X
甲
）＜E（X
乙
），但两者相差不大，且
收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案．
答案二： ，E（X
甲
）＜E（X
乙
），即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所 以小明
应选择乙方案．
【解答】解：（Ⅰ）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送货单数n 的函数关系式为：y
＝100+n，n∈N，
乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：
y＝．
远小于， 甲方案日工资
（Ⅱ）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30 天，
日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，
＝
＝
（152×20+154×30+156×20+158×20+160×10）＝15 5.4，
[20×（152﹣155.4）+30×（154﹣155.4）
222
22
+20×（156﹣155.4）+20×（158﹣155.4）+10×（160﹣155. 4）]＝6.44，
乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为17 6元的有20天，
日薪为200元的有10天，
＝
S
乙
＝
2
2
（140×50+152×20+176×20+200×10）＝155.6，
[50（140﹣155.6）+20（152﹣155.6）+20（176﹣155.6）+10（200 ﹣155.6）
222
]＝404.64．
②答案一：
由以上的计算可知 ，虽然E（X
甲
）＜E（X
乙
），但两者相差不大，且
即甲方案日工 资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案．
答案二：
由以上的计算结果可以看出，E（X
甲
）＜E（X
乙
），
即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．
【点评】本题考查函数 解析式的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差
第20页（共25页）

远小于，

的求法，考查古典概型、统计表等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，
是中档题．
20．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别 为F
1
，F
2
，且离心率
为，M为椭圆上任意一点，当∠F
1
MF
2
＝90°时，△F
1
MF
2
的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1
，AF
2
分别与椭圆交于
点B，D，设直线BD的斜率为k
1
，直线OA的斜率为k
2
，求证：k
1
•k
2
为定 值．
【分析】（I）根据勾股定理和三角形面积公式列方程组求出a，b得出椭圆方程；
（ II）先计算有一条直线无斜率对应的斜率之积的值，再讨论一般情况，求出A，B，D
三点坐标，化简 斜率得出结论．
【解答】解：（I）设|MF
1
|＝m，则|MF
2
|＝2a﹣m，∵∠F
1
MF
2
＝90°，|F
1
F2
|＝2c，
∴，解得a＝，c＝1，∴b＝1．
∴椭圆C的方程为+y＝1．
2
（2）设A（x
0
，y
0
），B（x
1
，y
1
），D（x
2
，y
2
），
当直线AF
1
的斜率不存在时，设A（﹣1，
直线AF
2
的方程为y＝﹣
∴x
2
＝，y
2
＝﹣
（x﹣1 ），代入
）．
），则B（﹣1，﹣
22
），
+y＝1可得5x﹣2x﹣7＝0，
，即D（，﹣
∴直线BD的斜率为k
1
＝＝，直线OA的斜率为k
2
＝﹣，
∴k
1
•k
2
＝﹣．
当直线AF
2
的斜 率不存在时，同理可得k
1
•k
2
＝﹣．
当直线AF
1< br>、AF
2
的斜率存在时，x
0
≠±1，
第21页（共25页）

直线AF
1
的方程为y＝（x+1），则由，
消去x可得：[（x
0
+1）+2y
0
]x+4y
0
x+2y
0
﹣2（ x
0
+1）＝0，
又+y
0
＝1，则2y
0
＝2 ﹣x
0
，代入上述方程可得
222
222
222222
（ 3+2x
0
）x+2（2﹣x
0
）x﹣3x
0
﹣4x
0
＝0，
x
1
•x
0
＝，∴x
1
＝， ∴y
1
＝（﹣1）＝﹣，
直线AF
2
的方程为y＝（x﹣1），同 理可得：x
2
＝，y
2
＝，
∴直线BD的斜率为k
1
＝＝＝，
又直线OA的斜率为k
2
＝，
∴k
1
k
2
＝•＝＝＝﹣．
直线BD与OA的斜率之积为定值﹣，即k
1
k
2
＝﹣．
【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
21．（12分）已 知函数f（x）＝（x+b）（e﹣a），（b＞0），在（﹣1，f（﹣1））处的切线方
程为（e﹣ 1）x+ey+e﹣1＝0．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）若m≤0，证明：f（x）≥mx+x．
【分析】（Ⅰ）求得切点坐标，求出f（x） 的导数，可得切线的斜率，即可得到所求a，b
的值；
（Ⅱ）可得x≥mx+x，令g（x）＝（x+1）（e﹣1）﹣x，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（e﹣1）x+ey+e﹣1＝0，可得
f（﹣1）＝0，即f（﹣1）＝（﹣1+b）（e﹣a）＝0，
第22页（共25页）

﹣
1
x
2
2x

x
又函数f（x）＝（x+b）（e﹣a），（b＞0），
可得导数为f′（x）＝（x+b+1）e﹣a，所以f′（﹣1）＝﹣a＝﹣1+，
若a＝，则b＝2﹣e＜0，与b＞0矛盾，
故a＝b＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）＝（x+1）（e﹣1），f（0）＝0，f（﹣1）＝0，
由m≤0，可得x≥mx+x，
令g（x）＝（x+1）（e﹣1）﹣x，
g′（x）＝（x+2）e﹣2，
当x≤﹣2时，g′（x）＝（x+2）e﹣2＜﹣2＜0，
当x＞﹣2时，
设h（x）＝g′（x）＝（x+2）e﹣2，
h′（x）＝（x+3）e＞0，
故函数g′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又g′（0）＝0，
所以当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以函数g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，
故g（x）≥g（0）＝0⇒（x+1）（e﹣1）≥x≥mx+x，
故f（x）≥mx+x．
【点评】本题考查函数的导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查 不等式的证明，注
意运用方程和函数的转化思想和构造函数法，考查分类讨论思想方法，以及运算能力．
（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]共1小题，满分10分）
22．（10分 ）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ
2
x2
x
x
x
x
x
2
x
x
为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程
为，若直线l与曲线C相切；
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足
MON的最大值．
【 分析】（Ⅰ）求出直线l的直角坐标方程为y＝+2，曲线C是圆心为（，1），
）+（y
2< br>，求面积△
半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r＝2，曲线C的普通方程为（x﹣
第23页（共25页）

2
﹣1）＝4，由此能求出曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）设M（ρ
1
，θ），N（ρ
2
，
＝2sin（2）+
），（ρ
1
＞0 ，ρ
2
＞0），由
，由此能求出△MON面积的最大值．
，
+2，
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为
∴由题意可知直线l的直角坐标 方程为y＝
曲线C是圆心为（
可得r＝
∵曲线C的参数方程为
∴曲线C的普通 方程为（x﹣
2
2
，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，
＝2，
（r＞0，φ为参数），
）+（y﹣1）＝4，
ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，
2
所以曲线C的极坐标方程为ρ﹣2
即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设M（ρ
1
，θ），N（ρ
2
，
＝
＝sin2θ+
当时，
＝4sin（）sin（
＝2sin（2
，
．
），（ρ
1
＞0，ρ
2
＞0），
）＝2sinθcosθ+2
）+，

所以△MON面积的最大值为2+< br>【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查
参数方程、 极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足a+b+c＝t，求
的最小值．
【分析】（Ⅰ）由定义域为R可得2|x﹣3|﹣|x|﹣m≥0恒成立，即m≤2|x﹣3|﹣|x|的最小
第24页（共25页）

2222
的定义域为R；

值，运用分类讨论思想方法，以及一次函数的单调性，可得最小值，即可得到所求m的
范围；
（Ⅱ）可得a+b+c＝9，可令u＝a+1，v＝b+2，t＝c+3，运用三元均值不等式，即可< br>得到所求最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，
222222
可 得2|x﹣3|﹣|x|﹣m≥0恒成立，即m≤2|x﹣3|﹣|x|的最小值，
由y＝2|x﹣3|﹣|x|，当x＞3时，y＝2x﹣6﹣x即y＝x﹣6，可得y＞﹣3；
当x＜0时，y＝6﹣2x+x＝6﹣x，可得y＞6；
当0≤x≤3时，y＝6﹣2x﹣x＝6﹣3x，可得﹣3≤y≤6，
则y≥﹣3，由x＝3时，函数y取得最小值﹣3，
则m≤﹣3，即m的取值范围是（﹣∞，﹣3]；
（Ⅱ）a+b+c＝t，即为a+b+c＝9，
可令u＝a+1，v＝b+2，t＝c+3，
可得u+v+t＝15，
则
≥•3•3
＝（u+v+t）（++）
222
2222222
＝，
222
当且仅当u＝v＝t＝5，即a＝4，b＝3，c＝2时，
取得最小值． < br>【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和分类讨论思想方法，以
及一次函数 的单调性，考查三元均值不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档
题．



第25页（共25页）