大学校园生活-教师转正自我鉴定

2011年全国高中数学联赛江苏
赛区初赛试题及解答

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小
题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数
(1i)
4
(1i)
4

．
2
2． 已知直线
xmy10
是圆
C:x
称轴，则实数
m
y
2
4x4y50
的一条对
.

3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生
的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．

4． 已知
cos4


1
，则
sin

cos


．
5
44

5． 已知向量a，b满足
ab2,a,b
π
，则以向量
2ab
3
与
3ab
表示的有向线 段
为邻边的平行四边形的面积
为 ．

6． 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
．若{S
n
}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a
n
3
}的前

n项和等于 ．

7． 设函数
f(x)x< br>2
2
．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，
则ab的取值范围是 ．
8． 设f(m)为数列{a
n
}中小于m的项的个数，其
中
a
n
n
2
,nN*
，
则
f[f(2011)]
．
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为
4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
10．已知m是正整数，且方程
2 xm10xm100
有整
数解，则m所有可能的值
是 ．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，
共80分）
11．已知圆
x





12．设
f(x)x
1，求
b






13．如图，P是
VABC
内一点．
（1）若P是< br>VABC
的内心，证明：
BPC90
1
BAC
； < br>2
o
2
2
y
2
1
与抛物线
y x
2
h
有公共点，求实
数h的取值范围．
bxc(b,c R)
．若
x≥2
时，
f(x)≥0
，且
f(x)
在
区间

2,3

上的最大值为
2
c
2
的最大值和最小值．
1
（2）若
BP C90
1
证明：P是
VABC
BAC
且
APC9 0ABC
，
22
oo

的内心．













14．已知

是实数，且存在正整数n
0
，使得
正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n，使得
有理数．




n

n
0


A
P
B C
为
为

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小
题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数
(1i)
答案：－8
基础题，送分题，高考难度
2． 已知直线
xmy10
是圆
C:x
称轴，则实数
.
答案：

3

2
m
2
4
(1i)
4

．
y
2
4x4y50
的一条对
基础题，送分题，高考难度
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生
的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．
19
答案：
145

基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否
则很容易有错
4． 已知
cos4


1
，则
sin

cos


．
5
44
4
答案：
5

计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油
的同学有一定难度

5． 已知向量a，b满足
ab2,a,b
π
，则以向量
2ab
3
与
3ab
表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积
为 ．
答案：
103

可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容
易可以得出答案
6． 设数列{a< br>n
}的前n项和为S
n
．若{S
n
}是首项
及公比都 为2的等比数列，则数列{a
n
3
}的前
n项和等于 ．
答案：
1
(848)

7
n
高考难度级别，基础好的同学可以做出来
7． 设函数
f(x)x
答案：(0,2)
这是一道高考题
8． 设f(m) 为数列{a
n
}中小于m的项的个数，其
中
a
n
2
2
．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，
则ab的取值范围是 ．
n
2
,nN*
，
则
f[f(2011)]
．
答案：6
这也是一道高考题
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为

4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
答案：43
还是一道高考题
10．已知m是正整数，且方程
2xm10 xm100
有整
数解，则m所有可能的值
是 ．
答案：3,14,30
这是2011年苏州市一模的第十四题。
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，
共80分）
11．已知圆
x
2
y
2
1
与抛物线
yx
2
h有公共点，求实
数h的取值范围．
解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程，
5
得
hsin

cos

sin

sin

1 (sin


1
)

24
222
5< br>

因为
sin



1,1

，所以
h


4
,1



简单，很简单
12．设
f(x)x
1，求
b
2
bxc(b,cR)
．若
x≥2
时，
f(x)≥0
，且
f(x)
在
区间

2,3

上的最大值为
2
c
2
的最大值和最小值．
解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且
f(x)

在区间

2,3

上的最大值只能在闭端点取得，
故有< br>f(2)≤f(3)1
，从而
b≥5
且
c3b8
．
若
f(x)0
有实根，则
b
在区间

2, 2

有
4

b≤,

5

< br>b≤4,

4≤b≤4,




f( 2)≥0,


f(2)≥0,

b

2≤≤ 2,
2
2
4c≥0
，
消去c，解出即

4 2bc≥0,


42bc≥0,

4≤b≤4,


即
b4
，这时
c4
，且
0
．
若
f(x)0
无实根，则
b
得
8b4
．
综上
5≤b≤4
．
所以
b
故
(b
2
2
4c0
，将
c3b8
代入解
2
c< br>2
b
2
(3b8)
2
10b
2
 48b64
，单调递减
c
2
)
min
32,(b< br>2
c
2
)
max
74
．

注重分类讨论
13．如图，P是
VABC
内一点．
（1）若P是
VABC
的内心，证明：
BPC90
1
BAC
；
2
o
1
（2）若
BPC90
1
证明：P是< br>VABC
BAC
且
APC90ABC
，
22
oo
的内心．
证明：（1）
111
BPC180
o
(ABCACB)180
o
(180
o
BAC)90o
BAC
222
A
P

这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的
平面几何的参考书上都有
14．已知

是实数，且存在正整数n
0
，使得
正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n，使得
有理数．
证明：设
n
0



q
p
n

n
0

为
为
，其中p，q为互质的正整数，

则q
2
n
0



2
p
． < br>22
设k为任意的正整数，构造
npk
则
n

 pk2qkn
0



2222
2qkn
0
，
q
2
q
pk2qk
2
pkQpp
．
非常非常常规的一道数论题，不需要数论的
预备知识
总结：这 张试卷大约90分以上应该可以出
线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时基
础好，不粗心 ，填空题应该可以做满分（笔者错
了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，
大题的1、 2两题还是可以做做的。
尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定
要写写，写写总是有份的 ，而且分很多。比如最
后一题，只要把他设出来，就有8分。