广西二本学校-公务员申论答题技巧

江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校
联考
2017届高三（下）数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写
在答题卡相应位置上.
1．（5分）已知全集
I
={1，2，3，4，5，6}，集合
A
= {1，3，5}，
B
={2，
3，6}，则（∁
I
A
）∩< br>B
= ．
2．（5分）复数1+的实部为 ．
3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的
n
的值是 ．
< br>4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出
100名学生的数学成绩 作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，
如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110， 140）之间的人数
为 ．

5．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），则双曲
线的离心率为 ．
6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小
和颜色完全相同．从 中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的
概率为 ．
7．（5分）已知点P
（
x
，
y
）满足，则
z
=的最大值为 ．
8．（5分）设正项等比数列{
a
n
}满足2
a
5=
a
3
﹣
a
4
．若存在两项
a
n、
a
m
，
使得
a
1
=4，则
m
+
n
的值为 ．
,.
9．（5分）在正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，
P
为
AA
1
中点，
Q
为
CC
1
的中点，
AB
=2，则三棱锥
B
﹣
PQD
的体积为 ．
10．（5分）已知
f
（
x
）是定义在R上的奇函数，当
x
＜0时，
f
（
x
）
=
x
2
﹣ 2
x
+1，不等式
f
（
x
2
﹣3）＞
f< br>（2
x
）的解集用区间表示为 ．
11．（5分）在平面直角坐标系
xOy
中，设直线
x
﹣
y
+
m
=0（m
＞0）
与圆
x
2
+
y
2
=8交于不 同的两点
A
，
B
，若圆上存在点
C
，使得△
ABC
为
等边三角形，则正数
m
的值为 ．
12．（5分）已知
P
是曲线
y
=
x
2
﹣ln
x
上的 动点，
Q
是直线
y
=
x
﹣1上的动点，则
PQ的最小值为 ．
13．（5分）矩形
ABCD
中，
P
为矩形
ABCD
所在平面内一点，且满
足
PA
=3，
PC< br>=4．矩形对角线
AC
=6，则= ．
14．（5分）在△
ABC
中，若+=3，则sin
A
的最大值
为 ．
二、解 答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，
解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15．（14分）已知
f
（
x
）=2sin
x< br>cos
x
+2cos
2
x
﹣1．
（1）求
f
（
x
）的最大值，以及该函数取最大值时
x
的取值集合；
（2）在△
ABC
中，
a
、
b
、
c
分别 是角
A
、
B
、
C
所对的边长，且
a
=1，
b
=，
f
（
A
）=2，求角
C
．










16．（14分）如图，在正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，每条棱长均相等，
D
为棱
AB
的中点 ，
E
为侧棱
CC
1
的中点．
（1）求证：
OD< br>∥平面
A
1
BE
；（2）求证：
AB
1
⊥平 面
A
1
BE
．

17．（14分）如图，已知椭圆
C
：=1（
a
＞
b
＞0）过点（0，
1）和（1，），圆
O
：
x
2
+
y
2
=
b
2

（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）若直线
l
与圆
O
相切，切点在第一象限内，且直线
l
与椭圆
C
交
于A
、
B
两点，△
OAB
的面积为时，求直线
l
的方程．







,.




18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路
l
1
和
l
2
，在点
O
处交
汇；该商业区 为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外
修建一条公路
AB
，与
l
1
，
l
2
分别交于
A
，
B
，要求
AB
与扇形弧相切，
切点
T
不在
l
1
，< br>l
2
上．
（1）设
OA
=
a
km，
OB
=
b
km试用
a
，
b
表示新建公路
AB
的长度，
求出
a
，
b
满足的关系式，并写出
a
，
b
的范围；
（2）设∠
AOT
=
α
， 试用
α
表示新建公路
AB
的长度，并且确定
A
，
B
的位置，使得新建公路
AB
的长度最短．








19．（16分）设
a
＞0且
a
≠1函数
f
（
x
）=
a
x
+
x< br>2
﹣
x
ln
a
﹣
a

（1）当a
=e时，求函数
f
（
x
）的单调区间；（其中e为自然对数的 底
数）
（2）求函数
f
（
x
）的最小值；
（3）指出函数
f
（
x
）的零点个数，并说明理由．

20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大
于3，则称 这个数列为“
S
型数列”．
（1）已知数列{
a
n
}满足
a
1
=4，
a
2
=8，
a
n
+< br>a
n
﹣1
=8
n
﹣4（
n
≥2，
n
∈
N
*
），求证：数列{
a
n
}是“
S< br>型数列”；
（2）已知等比数列{
a
n
}的首项与公比
q< br>均为正整数，且{
a
n
}为“
S
型数
列”，记
b
n
=
a
n
，当数列{
b
n
}不是“< br>S
型数列”时，求数列{
a
n
}的通项
公式；
（3 ）是否存在一个正项数列{
c
n
}是“
S
型数列”，当
c< br>2
=9，且对任意
大于等于2的自然数
n
都满足（﹣）（2+）≤+≤
（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{
c
n
}的一个通项公式
（不 必证明）；如果不存在，请说明理由．
















,.
[选修4-1：几何证明选讲]
21．（10分）如图，
A
，
B
，
C
是圆
O
上不共线的三点，
OD
⊥
AB
于
D
，
BC
和
AC
分别交
D O
的延长线于
P
和
Q
，求证：∠
OBP
=∠
CQP
．


[选修4-2：矩阵与变换]
22．已知a
，
b
∈R，矩阵
A
=，若矩阵
A
属于特征值 1的一个
特征向量为
α
1
=，属于特征值5的一个特征向量为
α2
=．求矩
阵
A
，并写出
A
的逆矩阵．


[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知在极坐标系下，圆
C：
p
=2cos（）与直线
l
：
ρ
sin（）
=，点
M
为圆
C
上的动点．求点
M
到直线
l
距离的最大值．





[选修4-5：不等式选讲]
24．已知
x
，
y
，
z
均为正数．求证：．

三、解答题（共2小题，满分10分）
25．如图，已知长方体
ABC D
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
，
AB
=2，
AA
1
=1，直线
BD
与平面
AA
1
B
1
B
所成的角为30°，
AE
垂直BD
于点
E
，
F
为
A
1
B
1
的中
点．
（1）求异面直线
AE
与
BF
所成角的余弦值；
（2）求 平面
BDF
与平面
AA
1
B
1
B
所成二面 角（锐角）的余弦值．

,.








26．（10分）设集合
S
={1，2，3，…，< br>n
}（
n
≥5，
n
∈N
*
），集合
A
={
a
1
，
a
2
，
a
3
}满足
a
1
＜
a
2
＜
a
3
且< br>a
3
﹣
a
2
≤2，
A
⊆
S

（1）若
n
=6，求满足条件的集合
A
的个数；
（2）对 任意的满足条件的
n
及
A
，求集合
A
的个数．

【参考答案】
一、填空题
1．{2，6}
【解析】因为全集
I
={1，2，3，4，5，6}，集合
A
={1，3，5 }，
所以∁
I
A
={2，4，6}，
又
B
={2，3，6}，
则（∁
I
A
）∩
B
={2，6}，
故答案是：{2，6}．
2．
【解析】1+=，
则复数1+的实部为：．
故答案为：．
3．6
【解析】模拟程序的运行，可得
n
=1，
执行循环体，
n
=2
不满足条件4
2
＞2017，执行循环体，
n
=3
不满足条件4
3
＞2017，执行循环体，
n
=4
不满足条件4
4
＞2017，执行循环体，
n
=5
不满足条件4
5
＞2017，执行循环体，
n
=6
满足条件4
6
＞2017，退出循环，输出
n
的值为6．
故答案为：6．
4． 660
【解析】由样本频率分布直方图，知：
该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的频率为：
（0.02+0.026+0.02）×10=0.66，
∴估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为：
1000×0.66=660．
故答案为：660．
5．
【解析】双曲 线=1的一条渐近线过点（2，1），可得
a
=2
b
，
即：
a
2
=4
b
2
=4
c
2
﹣4
a< br>2
，
e
＞1，解得
e
=．
故答案为：；
6．


,.
【解析】从这5张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字
组成的两位数为：
12；13；14；15；21；23；24；25；31；32；34；35；41；42；
43； 45；51；52；53；54，共20个，
偶数为：12，14，24，32，34，42，52，54，共8个，
故两位数是偶数的概率是．
故答案为
7． 3
【解析】画出满足条件的平面区域，
如图示：
由
z
=表示过平面 区域的点（
x
，
y
）与（0，0）的直线的斜率，由，
得
A
（1，3），
显然直线过
A
（1，3）时，
z
取得最大值 ，
z
==3，
故答案为：3．

8．6
【解析】正项 等比数列{
a
n
}满足2
a
5
=
a
3﹣
a
4
．则2
a
3
q
2
=
a
3
（1﹣
q
），
可得 2
q
2
+
q
﹣1=0，
q
＞1，解得
q
=．
若存在两项
a
n
、
a
m
，使得
a
1
=4，∴
a
1
=4，
∴
n
+
m
=6．
故答案为：6．
9．
【解析】如图，

连接
PQ，则
PQ
∥
AC
，取
PQ
中点
G
，连 接
BG
，
DG
，

可得
BG⊥
PQ
，
DG
⊥
PQ
，
又
BG∩
DG
=
G
，则
PQ
⊥平面
BGD
，
在Rt△
BPG
中，由
BP
=，
PG
=，可得BG
=，
同理可得
DG
=，则△
BDG
边
BD
上的高为，
∴，
则．
故答案为：．
10．（﹣1，3）
【解析】根据题 意，
f
（
x
）是定义在R上的奇函数，则有
f
（0）=0，
当
x
＜0时，
f
（
x
）=
x
2< br>﹣2
x
+1=（
x
﹣1）
2
，为减函数，则当
x
＞0时，
f
（
x
）也为减函数，
综合可得
f
（
x
）在R上为减函数，
若
f
（
x
2
﹣3）＞
f
（2
x
），则有
x< br>2
﹣3＜2
x
，
解可得﹣1＜
x
＜3，
即不等式
f
（
x
2
﹣3）＞
f
（2
x）的解集为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
11．2
【解析】根 据题意画出图形，连接
OA
，
OB
，作
OD
垂直于
AB
于
D
点，
因为△
ABC
为等边三角形，所以∠
AOB
=120°，由余弦定理知：
AB
=2，
故
BD
=，所以
OD
=，
所以
O
（0， 0）到直线
AB
的距离=，解得
m
=±2，
∵
m
是正数，
∴
m
的值为2
故答案为2．

12．
【解析】函数的定义域为（0，+∞），
,.
由y
=
x
2
﹣ln
x
的导数为
y
′=< br>x
﹣，
令
x
﹣=，
可得
x
=2，
所以切点为（2，1﹣ln2），
它到直线
y
=
x
﹣1即 3
x
﹣4
y
﹣4=0的距离
d
==
．
即点
P
到直线
y
=
x
﹣1的距离的最小值为．
故答案为：．
13．﹣
【解析】由题意可得=（+）（•+）=+•+
+
=9+（•+）+0=9+=9+3•6•cos（π﹣∠
PAC
）=9﹣18
•
=9﹣18•=﹣，
故答案为：．
14．
【解析】在△
ABC
中，+=3，
∴．
∴，即，
∴．
根据正弦定理得：．
∴
a
2
=3
bc
cos
A
．
又 根据余弦定理得：
a
2
=
b
2
+
c
2﹣2
bc
cos
A
，
∴
b
2
+c
2
﹣2
bc
cos
A
=3
bc
co s
A
．
∴．
当且仅当
b
=
c
时等号成立，
∴．
∴，即，
∴．
故答案为：
二、解答题

15．解：（1）
f
（
x
）=2sin
x
cos
x
+2cos
2
x
﹣1=sin2
x
+cos2
x
=2
≤2．
当=1，即2
x
+=+2
k
π，解得
x
=
k
π+，
k
∈Z
时取等号．
∴（
fx
）的最大值 为2，该函数取最大值时
x
的取值集合为{
x
|
x
=
k
π+，
k
∈Z}．
（2）
f
（
A
） =2，∴2sin=2，解得
A
=
k
π+，
k
∈Z．
∵
a
＜
b
，∴
A
为锐角，
∴
A
=．
由余弦定理可得：
a
2
=
b< br>2
+
c
2
﹣2
bc
cos
A
，
∴1
2
=+
c
2
﹣2
c
，
化为：
c
+1=0，
解得
c
=．
由正弦定理可得：，
可得sin
C
==×=．
∴
C
=15°，75
°
，或105
°
．
16．解：（1）设
AB
1
和
A
1
B
的交点为O
，连接
EO
，连接
OD
，因为
O
为
AB
1
的中点，
D
为
AB
的中点，所以
OD
∥
BB
1
，且又
E
是
CC
1
中点，则< br>EC
∥
BB
1

且，所以
EC
∥
O D
且
EC
=
OD
．所以四边形
ECDO
为平行四边形，
所以
EO
∥
CD
．
又
CD
⊄平面
A
1
BE
，
EO
⊂平面
A
1BE
，则
CD
∥平面
A
1
BE

（2 ）因为正三棱柱，所以
BB
1
⊥平面
ABC
．因为
CD⊂平面
ABC
，
所以
BB
1
⊥
CD
．由已知得
AB
=
BC
=
AC
，所以
CD
⊥
AB
．
所以
CD
⊥平面
A
1
ABB< br>1
由（1）可知
EO
∥
CD
，所以
EO
⊥平 面
A
1
ABB
1
所以
EO
⊥
AB
1
．
因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以
AB
1
⊥
A
1
B
．
又
EO
∩
A
1
B
=
O
，
EO
⊂平面
A
1
EB
，
A
1
B
⊂平面
A
1
EB
．
所以
AB
1
⊥平面
A
1
BE
．
,.

17．解：（1），
椭圆方程为：

（2）因 为切点在第一象限，可设直线
l
为
y
=
kx
+
m< br>（
k
＜0，
m
＞0），
联立方程，
得（
x
1
，
x
2
分别
为
A
、
B
横坐标）
AB
长：

=
∴

∴
∴
m
==，直线
l
为
18．解：（1）在△< br>AOB
中，
OA
=
a
km，
OB
=
b
km，；
由余弦定理得：
=
a
2
+
b
2
﹣
ab
；
所以；
如图，以
O
为原点，
OA
所在直线为
x< br>轴，建立直角坐标系，

则，
所以直线
AB
的方程为，
即；
因为
AB
与扇形弧相切，所以，
即；
a
，
b
∈（3，6）
（2）因为
OT
是圆
O
的切线，所以
OT
⊥
AB
．
在Rt△
OTA
中，
AT
=3tan
α
；
在Rt△
OTB
中，；
所以，
AB
=
AT
+
TB
=3tan
α
+3tan（﹣
α
）（0＜
α
＜）；
所以，
AB
=3（tan
α
+）=；
设，
u
∈（1，4），
则，
当且仅当
u
=2，即时取等号；
此时km．
所以，当km时，新建公路
AB
的长度最短．

19．解：（1） 当
a
=e时，
f
（
x
）=e
x
+
x
2
﹣
x
﹣e，
f
'（
x
）=e
x
+2
x
﹣1．
设
g
（
x
）=e
x
+2
x
﹣1，则
g
（0）=0，且
g
'（x
）=e
x
+2＞0．
所以，
g
（
x
）在（﹣∞，+∞）上单增，
当
x
＞0时，
g
（
x
）＞
g
（0）=0；当
x
＜0时，
g
（
x
）＜
g
（0）=0．
即 当
x
＞0时，
f
′（
x
）＞0；当
x
＜0 时，
f
'（
x
）＜0．
综上，函数
f
（
x
）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（﹣∞，0）．
（2）
f
'（
x
）=
a
x
ln
a
+2
x
﹣ln
a
=（
a
x
﹣1）ln
a
+2
x

①当
a
＞1，若
x
＞0，则
a
x
＞1，l n
a
＞0，所以
f
'（
x
）＞0
若
x< br>＜0，则
a
x
＜1，ln
a
＞0，所以
f
' （
x
）＜0
②当0＜
a
＜1，若
x
＞0，则a
x
＜1，ln
a
＜0，所以
f
'（
x
）＞0
若
x
＜0，则
a
x
＞1，ln
a
＜0，所以
f
′（
x
）＜0，
,.
所以
f
（
x
）在（﹣∞，0）上减，（0，+∞）上增．
所以
f
（
x
）
min
=
f
（0）=1﹣< br>a
，
（3）由（2）得：
a
＞0，
a
≠1，
f
（
x
）
min
=1﹣
a
．
（ⅰ）若 1﹣
a
＞0即0＜
a
＜1时，
f
（
x
）< br>min
=1﹣
a
＞0，函数
f
（
x
）
不存在零点．
（ⅱ）若1﹣
a
＜0即
a
＞1时，
f（
x
）
min
=1﹣
a
＜0．
f
（
x
）的图象在定义域是不间断的曲线，
f
（
x
）在（﹣∞， 0）上单减，
在（0，+∞）上单增．
f
（
a
）=
aa
+
a
2
﹣
a
ln
a
﹣
a< br>＞
a
2
﹣
a
ln
a
﹣
a
=
a
（
a
﹣ln
a
﹣1）．
令
t
（
a
）=
a
﹣ln
a
﹣1，（
a
＞1）， ，所以
t
（
a
）在
（1，+∞）递增；
所以
t< br>（
a
）＞
t
（1）=0．所以
f
（
a
）＞0．故
f
（
x
）在（0，
a
）有一
个零点．
又
f
（﹣
a
）＞
a
2
﹣
a
＞0，
故
f
（
x
）在（﹣
a
，0）有一个零点． < br>所以
f
（
x
）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即
f
（
x
）有2
个零点．
综上：①0＜
a
＜1时 ，函数
f
（
x
）不存在零点；②
a
＞1时，函数
f
（
x
）
有2个零点．
20．（1）证明：由题意，
an
+1
+
a
n
=8
n
+4 ①，
a
n
+
a
n
﹣1
=8
n
﹣4 ②，
②﹣①得
a
n
+1
﹣
a
n
﹣1=8
所以
a
2
n
=8
n
，
a< br>2
n
﹣1
=8
n
﹣4，因此
a
n
= 4
n
，从而
a
n
﹣
a
n
﹣1
=4 ＞3
所以，数列{
a
n
}是“
S
型数列”
（2 ）由题意可知
a
1
≥1，且
a
n
﹣
a
n< br>﹣1
=4＞3，因此{
a
n
}单调递增且
q
≥
2
而（
a
n
﹣
a
n
﹣1
）﹣（
a
n
﹣1
﹣
a
n
﹣2
）=
a
n
﹣1
（
q
﹣1）﹣
a
n
﹣2
（
q
﹣1）=
（
q
﹣1）（
a
n
﹣1
﹣
a
n
﹣2
）＞0
所以{
a
n
﹣
a
n
﹣1
}单调递增， < br>又
b
n
=
a
n
，因此{
b
n
﹣
b
n
﹣1
}单调递增
又{
b
n
}不是“
S
型数列”所以，存在
n
0
，使得﹣≤3，
所以
b
2
﹣
b
1
≤﹣≤3，
即
a
1
（
q
﹣1）≤4又因为
a
2
﹣
a1
＞3，即
a
1
（
q
﹣1）＞3且
a
1
，
q
∈
N
+
，

所以
a
1
（
q
﹣1）=4
从而< br>a
1
=4，
q
=2或
a
1
=2，
q
=3或
a
1
=1，
q
=5
∴
a
n
=2
n
+1
或或
（3）可取
a
n
=（
n
+1）
2
，
验证符合（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）
条件，
而且
a
n< br>﹣
a
n
﹣1
=2
n
+1＞3
21．证明 ：连接
OA
，因为
OD
⊥
AB
，
OA
=< br>OB
，所以
，
又，所以∠
ACB
=∠
DOB
，

又因为∠BOP
=180°﹣∠
DOP
，∠
QCP
=180°﹣∠
ACB
，
所以∠
BOP
=∠
QCP
，所以
B< br>，
O
，
C
，
Q
四点共圆，
所以∠
OBP
=∠
CQP
．
22．解：由矩阵
A
属于特征值1的一个特征向量为
α
1
=，
得：=，
∴3
a
﹣
b
=3，
由矩阵
A
属于特征值5的一个特征向量为
α
2
=，
得：，
∴
a
+
b
=5，
解得，即
A
=．
∵→→→
→
．
∴
A
的逆矩阵
A
﹣1
=．
23．解：圆
C
：
p
=2cos（） 即
x
2< br>+
y
2
+2
y
=0，
x
2
+（y
+1）
2
=1，表示圆心为（0，﹣1），半径等于1的圆．
直线< br>l
：
ρ
sin（）=，即
ρ
cos
θ
+ρ
sin
θ
﹣2=0，即
x
+
y
﹣2=0，
,.
圆心到直线的距离等于 =，
故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1．
24．证明：因为
x
，
y
，
z
都是为正数，
所以①
同理可得
②
③
当且仅当
x
=
y
=
z
时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得：
三、解答题
25．解 ：（1）在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
以
AB
所在直线为
x
轴，< br>AD
所在直线为
y
轴，
AA
1
所在直线为
z
轴，
建立空间直角坐标系，如图．

由已知
AB
=2，< br>AA
1
=1，可得
A
（0，0，0），
B
（2，0， 0），
F
（1，0，
1）．
又
AD
⊥平面
AA
1
B
1
B
，从 而
BD
与平面
AA
1
B
1
B
所成的角为∠
DBA
=30°．
又
AB
=2，
AE
⊥
BD
，
AE
=1，
AD
=，由已知得得
E
（，，0 ），
D
（0，，0）
=（﹣1，0，1），，∴，
即异面直线
AE
、
BF
所成的角的余弦值为．
（2）平面
AA
1
B
的一个法向量为=（0，1，0）．
设=（
x
，
y
，
z
）是平面
BDF
的一个 法向量，．
由，取．
∴所以cos=．
平面
BDF
与平面AA
1
B
1
B
所成二面角（锐角）的余弦值为．
26．解：（1）
n
=6时，
S
={1，2，3，4，5，6}；
∵
a
3
﹣
a
2
≤2；

,.
∴
a
3
﹣
a
2
=2 ，或
a
3
﹣
a
2
=1；
当
a
3
﹣
a
2
=2时，
a
2
和
a
3可分别为2和4，3和5，4和6；
此时对应的
a
1
分别有1个，2个和3个；
当
a
3
﹣
a
2
=1时，
a
2
和
a
3< br>可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；
对应的
a
1
分别有1个，2个，3个和4个；
∴集合
A
的个数=1+2+3+1+2+3+4=16个；
（2）当
n
≥5时，
若
a
3
﹣
a
2
=2，则
a
2
和
a
3
可分别为2和4，3和5 ，…，
n
﹣2和
n
；
此时，对应的
a
1
可分别为1个，2个，…，
n
﹣3个，共有
个；
同理，
a
3
﹣
a
2
=1时，
a
1
共有
∴集合
A
的个数为：

=（
n
﹣2）
2
，
n
≥5，
n
∈N
*
．
个；
=