长春一汽高专-百强县排名

4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正 三角形，且AD=DE=2，
立体几何大题
AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥ 平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬 纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD
把△ABC折成直二面角． （1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，
C-BE-D 的正切值．

使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．

（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．

C

C




D


B
A
B

A



第1题图 第1题图






< br>5．已知：ABCD是矩形，设PA=
a
，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、P C的中点.
2．如图，已知正四棱柱
ABCD
—
A
1
B< br>1
C
1
D
1
的底面边长为3，侧棱长为4，连结
A< br>1
B
过
A
作
AF
⊥
A
1
B
垂足为
F
，
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥ 平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
且
AF
的延长线交
B
1
B
于
E
。
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.
（Ⅰ）求证：
D
1
B
⊥平面
AEC
；（Ⅱ）求三棱锥
B
—
AEC的体积；

（Ⅲ）求二面角
B
—
AE
—
C
的大小的正弦值.

















6．在正方体 ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，P、M 、N分别为棱DD
1
、AB、BC的中点。

（I）求二面角B
1
—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB
1
；
3．如图，正 三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面边长为1，点M在BC 上，△AMC
1
是以M为直角顶点的等腰直
（III）画出一个正方体表面展开图，使 其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并
角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（ Ⅱ）求点B到平面AMC
1
的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC
1
—B
求出展开图中P、B两点间的距离。
D
1
C
1
的正切值.
A
1
C
1

A
1

B
1

B
1


P



D

C

N
A C

A
B

M
M

B
第6题图

第3题图


1 6

7．如图，四 棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，1 0．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE且PC⊥平面AMN. －B为60 ．（Ⅰ）求DE与平面AC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的大小．
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；
D E C D
（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.

E
C


B
A

A B

第10题







11．直三棱柱ABC －A
1
B
1
C
1
中，AC＝CB＝AA
1
＝2，∠ACB＝90°，E是BB
1
的中点，D∈AB，∠A
1
DE＝90 °.
8．如图，在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，∠ACB=90°. BC=CC
1
=
a
，AC=2
a
. （Ⅰ）求证：CD⊥平 面ABB
1
A
1
；（Ⅱ）求二面角D－A
1
C－A的大小.
（I）求证：AB
1
⊥BC
1
；（II）求二面角B—AB
1
—C的大小；（III）求点A
1
到平面AB
1
C的距离.



（







9．在长方体
ABCD
－
A
1B
1
C
1
D
1
中，已知
AB
=
BC
=2，
BB
1
=3，连接
BC
1
，过
B
1
作
B
1
E
⊥
BC
1
交CC
1
于点
E

(Ⅰ)求证：
AC
1⊥平面
B
1
D
1
E
； 12．如图，已知斜三棱柱AB C—A
1
B
1
C
1
中，∠BCA=90°，AC=BC=a ，点A
1
在底面ABC上的射影
(Ⅱ)求三棱锥
C
1
－
B
1
D
1
E
1
的体积； 恰为AC的中点D，BA
1
⊥AC
1
。（I）求证：BC⊥平面A
1
ACC
1
； （II）求点A
1
到AB的距离
C
1
(Ⅲ) 求二面角
E
－
B
1
D
1
－
C
1< br>的平面角大小 （III）求二面角B—AA
1
—C的正切值




A
1
B
1



C



D



A B




2 6

< br>13．如图，正三棱柱AC
1
中，AB=2，D是AB的中点，E是A
1
C
1
的中点，F是B
1
B中点，异面直线CF
与DE所成的角为9 0°.
（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.










14.已知A BCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，
AD2a
，M、N分别是AD、PB 的中点。
（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。











15．如图，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底 面边长的3，侧棱AA
1
=

16．如图，正三棱柱ABC—A
1< br>B
1
C
1
，BC=BB
1
=1，D为BC上一点，且 满足AD⊥C
1
D.
（I）求证：截面ADC
1
⊥侧面BC
1
；（II）求二面角C—AC
1
—D的正弦值；
（III）求直线A
1
B与截面ADC
1
距离.











17．如图，在底面是直角梯形的四棱锥
PABCD
中，AD∥BC，∠ABC＝9 0°，且
∠ADCarcsin
5
，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA ＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；
5
（II）求点A到平面PBC的距离。
P
33
,
D是CB延长线上一点，且BD=BC.
2
B
A
C
D
（Ⅰ）求证：直线BC
1
平 面AB
1
D；（Ⅱ）求二面角B
1
—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C
1
—ABB
1
的体积.















18．直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD∥⊥AB，
BCBA
1
ADm
，VA⊥平面ABCD。
2
3 6

（1）求证：VC⊥CD。（2）若
VA2m
，求CV与平面VAD所成的角。






19．如图，在正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=< br>M三点的平面A
1
BMN交C
1
D
1
于点N.
（Ⅰ）求证：EM∥平面A
1
B
1
C
1
D< br>1
；
（Ⅱ）求二面角B—A
1
N—B
1
的正切值.
与DE所成的角为90°.
（1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.






22．如图，正方体
ABC DA
1
B
1
C
1
D
1
，棱长为
a
，
E、F
分别为
AB、BC
上的点，且
AE
＝< br>BF
＝
x
．
（1）当
x
为何值时，三棱锥
B
1
BEF
的体积最大？
（2）求三棱椎
B
1
BEF
的体积最大时，二面角
B< br>1
EFB
的正切值；
1
AB，点E、M分别为A
1B、C
1
C的中点，过点A
1
，B，
2

（ 3）（理科做）求异面直线
A
1
E
与
B
1
F
所成的角的取值范围．









23． 已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形， PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD
18
20．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD 是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.
上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为. < br>（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，CD=3，求点F到 平面PCE的
33
距离. （Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；
PF

（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.

FC
















24．如图，已知正方体
ABCD－
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长 为2，
M
、
N
分别为
AA
1
、
BB
1
的中点，求：
21．如图，正三棱柱AC
1
中，AB=2，D是AB的 中点，E是A
1
C
1
的中点，F是B
1
B中点，异面直线C F
4 6

（I）
CM
与
D
1
N
所成角的余弦值；
（II）异面直线
CM
与
D
1
N
的距离．





25．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方 形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC
上，且PC⊥平面AMN.
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角 的大小.










0
26．如图，直三棱柱ABC—A
1
B
1< br>C
1
中，
ACB90,BCAC2,AA
1
4，D为棱CC
1
上的一动点，
27．在Rt

ABC中，

ACB=30

，

B=90

，D为AC中 点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，
A
将

ABD沿BD折起，二面角A－BD－C大小记为

。
O < br>（1）求证：面AEF

面BCD；（2）

为何值时，AB

CD。
A

P
D
P

D
E
B

F C

E


C
B F

0
28．如图，在斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，侧面AA
1
B
1
B⊥底面ABC，侧棱AA
1
与底面ABC成60的角，
AA
1
= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重 心为G点。E是线段BC
1
上一点，且BE=
1
BC
1
． （１）
3
M、N分别为
ABD,A
1
B
1
D< br>的重心．（1）求证：
MNBC
；（2）若二面角C—AB—D的大小为
a rctan2
，求点C
1
到平面A
1
B
1
D的距离 ；（3）若点C在
ABD
上的射影正好为M，试判断点C
1
在
C< br>A
1
B
1
D
的射影是否为N？并说明理由．










N
A
1
C
1
A
B
M
D
B
1
求证： GE∥侧面AA
1
B
1
B ；
（２）求平面B
1
GE与底面ABC所成锐二面角的大小









29．已知三棱锥P—A BC中PB⊥底面ABC，
BCA90
，PB=BC=CA=
a
，E是 PC的中点，点F在PA
上，且3PF=FA.（1）求证：平面PAC⊥PBC；（2）求平面BEF 与底面ABC所成角（用一个反三角函
数值表示）.










30．三棱锥
SABC< br>中，底面△
ABC
是顶角为
ABC

、
ACa
的等腰△，
SCA

2
，
5 6

< br>(0



2
)E
、
D
分别为< br>SA
和
AC
的中点
的距离为定值.(2)求三棱锥
SABC
的体积

6 6 < br>SCb
，侧面
SAC
与底面
ABC
所成二面角为

(1)求证无论

，

为何值时，点
S
到截面BDE