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2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）
数学（理科）

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前 ，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后 ，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．写在 本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
a
为正实数，
i
为虚数单位，
ai
2
，则
a

i
C．
2
D．1 A．2 B．
3

2．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若
N
ð
I
M

，则
MN

A．M B．N C．I D．


3．已知F是抛物线y
2
=x的焦点，A，B是该抛物线上 的两点，
AFBF=3
，则线段AB的中点到y轴的
距离为
A．
3

4
B．1 C．
5

4
D．
7

4
b


a
4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos
2A=
2a
，则
A．
23
B．
22
C．
3
D．
2

5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和
为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=


1

8
2
C．
5
A．
1

4
1
D．
2
B．
6．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是
A．8
B．5
C．3
D．2

（
7．设sin

1
+

）=
，则
sin2



43
71
A．

B．


9
9

C．
1

9
D．
7

9
8．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD

底面ABCD，
则下列结论中不正确的是
．．．



A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

2
1x
,x 1
9．设函数
f(x)

，则满足
f(x)2
的x的 取值范围是

1log
2
x,x1
A．
[1
，2] B．[0，2] C．[1，+

] D．[0，+

]
10．若
a
，
b
，
c
均为单位向量，且
ab0
，
(ac)(bc)0
，则< br>|abc|
的最大值为
A．
21
B．1 C．
2
D．2
11．函数
f(x)
的定义域为
R< br>，
f(1)2
，对任意
xR
，
f

( x)2
，则
f(x)2x4
的解集为
A．（
1
，1） B．（
1
，+

） C．（

，
1
） D．（

，+

）
12．已知球的直径SC=4，A，B是该球 球面上的两点，AB=
3
，
ASCBSC30

，则棱锥S —ABC的体
积为


A．
33
B．
23
C．
3
D．1
第Ⅱ卷

本卷包 括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第
24 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
x
2
y
2
13．已知点（2，3）在双曲线C：
2

2
1(a0,b0)
上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．
ab
14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显 示年收入x
ˆ
0.254x0.321
．由与年饮食支出y具有线性相关关系，并 由调查数据得到y对x的回归直线方程：
y
回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮 食支出平均增加____________万元．
15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为
23
，它的三视图中的俯
视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．
16．已知函数
f(x)
=Atan（

x+

）（< br>
0,|

|

2
），y=
f(x)< br>

的部分图像如下图，则
f(




24
)
．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） 已知等差数列{a
n
}满足a
2
=0，a
6
+a
8
=-10
（I）求数列{a
n
}的通项公式；

a

（II）求数列

n
n
的前n项和．
1

2




18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．




19．（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物， 为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间
试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另
外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kghm
2
）如下表：
397 390 404 388 400 412 406
品种甲
403
品种乙
419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方 差；根据试验结果，你认为应该种植哪一
品种？
1
P D
．
2
1
附：样本数据
x
1
,x
2
,,x< br>n
的的样本方差
s
2
[(x
1
x)
2< br>(x
2
x)
2
(x
n
x)
2
]
，其中
x
为样本平均
n
数．





20．（本小题满分12分）

如 图，已知椭圆C
1
的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C
2
的短轴为MN，且
C
1
，C
2
的离心率都为e，直线l⊥MN，l 与C
1
交于两点，与C
2
交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次
为 A，B，C，D
．

（I）设
e
1
，求
BC
与
AD
的比值；
2
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

21．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)lnxax
2
(2a)x
．
（I）讨论
f(x)
的单调性；
（II）设
a0
，证明： 当
0x
111
时，
f(x)f(x)
；
aaa
（III）若函数
yf(x)
的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB中点的横坐标为x
0
，证明：
f

（x
0
）＜0．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答 是用2B铅笔
在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆 上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED
．

（I）证明：CDAB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F
四点共圆．


23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
xcos

在平面直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方程为

（

为参数），曲线C
2
的参数方程为
ysin


xacos

（
ab0
，

为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=


ybsin


与C
1
，C
2
各有一个 交点．当

=0时，这两个交点间的距离为2，当

=
（I）分别说明C
1
，C
2
是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当

=

2
时，这两个交点重合．

4
时，l与C
1
，C
2
的交点分别为A
1
，B1
，当

=


4
时，l与C
1，C
2
的交点为A
2
，B
2
，求四
边形A1
A
2
B
2
B
1
的面积．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
f(x)
=|x-2|
|
x-5|．
（I）证明：
3
≤
f(x)
≤3；
（II）求不等式
f(x)
≥x
2
8
x+15的解集．


参考答案

评分说明：
1．本解答 给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分参考 制订相应的评分细则.
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度，可
视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分
的解答有较严重的错误，就不再给分.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4．只给整数分数，选择题不给中间分.
一、选择题
1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC
二、填空题
13．2
14．0.254
15．
23

16．
3

三、解答题
17．解：
（I）设等差数列
{a
n
}
的公差为d，由已知条件可得


a
1
d0,


2a
1
12d10,
解得


a
1
1,

d1.

故数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
2n.
………………5分
（II）设数列
{
a
n
a
2}的前n项和为SSa
，即
nn1
2
2
n1

a
n
.

n
2

a
n
,故S
1
1
， < br>2
n1
S
n
a
1
a
2
224
所以，当
n1
时，

S
n
aaa
aa
1
a
1

2

n
n1
n1
n
22
22
n
1112n

1( 
n1

n
)
24
22
12n
1 (1
n1
)
n
22

n
.
< br>2
n
n
2
n1
所以
S
n
.
综上，数列
{
a
n
n
}的前n项和S.
………………12分
n
n1n1
22
18．解：
如图，以D 为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
则
DQ(1,1,0),DC(0,0,1),PQ(1,1,0).

所以
PQDQ0,PQDC0.

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ

平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分
（II）依题意有B（1，0，1），
CB,0),1((12B,P.)1



nCB0,

x0,
即

设
n(x,y,z)
是平面PBC的法向量，则


x2yz0.< br>

nBP0,

因此可取
n(0,1,2).< br>


mBP0,
设m是平面PBQ的法向量，则

< br>

mPQ0.
可取
m(1,1,1).所以cosm,n 
15
.

5
故二面角Q—BP—C的余弦值为

15
.
………………12分
5
19．解：
（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

P(X0)
1 1
,
C
8
4
70
13
C
4
C< br>4
8
P(X1),
35
C
8
4
22< br>C
4
C
4
18
P(X2),

35< br>C
8
4
31
C
4
C
4
8
P (X3),
35
C
8
4
P(X4)
11
.
4
C
8
70
即X的分布列为

………………4分
X的数学期望为
E(X)0
181881
12342.
………………6分
7035353570
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
1
x
甲
( 403397390404388400412406)400,
8

1
2
S
甲
(3(3)
2
(10)
2< br>4
2
(12)
2
0
2
12
26
2
)57.25.
8
………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
1
x乙
(419403412418408423400413)412,
8

1
2
S
乙
(7
2
(9)
2
0
2
6
2
(4)
2
11
2
(12)
2
1
2
)56.
8
………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的 样本方差差异不大，
故应该选择种植品种乙.
20．解：（I）因为C
1
，C
2
的离心率相同，故依题意可设 < br>x
2
y
2
b
2
y
2
x
2< br>C
1
:
2

2
1,C
2
:
4

2
1,(ab0)

abaa
设直线
l:xt(|t|a)
，分别与C
1
，C
2
的方程联立，求得

A(t,
a
22
b
22
at) ,B(t,at).
………………4分
ba
当
e
13< br>时,ba,分别用y
A
,y
B
表示A，B的纵坐标，可知
22
2|y
B
|
b
2
3
|BC|:|AD| .
………………6分
2|y
A
|
a
2
4
（II）t=0时的l不 符合题意.
t0
时，BOAN当且仅当BO的斜率k
BO
与AN的斜率k< br>AN
相等，即
b
22
a
22
atat
ab
,
< br>tta
ab
2
1e
2

2
a. 解得
t
22
abe
1e
2
2
因为< br>|t|a,又0e1,所以
2
1,解得e1.

2
e
所以当
0e
2
时，不存在直线l，使得BOAN；
2
当
2
e1
时，存在直线l使得BOAN. ………………12分
2
1(2x1)(ax1)
2ax(2a).

xx
21．解：
（I）
f(x)的定义域为(0,),

f

(x)
（i）若
a0,则f

(x )0,所以f(x)在(0,)
单调增加.
1
,

a
11
且当
x(0,)时,f

(x)0,当x时,f
(x)0.

aa
11
所以
f(x)在(0,)
单调 增加，在
(,)
单调减少. ………………4分
aa
11
（II）设函数
g(x)f(x)f(x),
则
aa
（ii ）若
a0,则由f

(x)0得x
g(x)ln(1ax)ln (1ax)2ax,
aa2a
3
x
2

g
< br>(x)2a.
22
1ax1ax
1ax
当
0 x
1
时,g

(x)0,而g(0)0,所以g(x)0
.
a

故当
0x

111
时
，
f(x)f(x).
………………8分
aaa
（III）由（I）可得，当
a0时,函数yf(x)
的图像与x轴至多有一个交点， < br>故
a0
，从而
f(x)
的最大值为
f(),且f()0.

不妨设
A(x
1
,0),B(x
2
,0),0 x
1
x
2
,则0x
1

由（II）得
f(
1
a
1
a
1
x
2
.
a
211
x
1
)f(x
1
)f(x
1
)0.

aaa
从而
x
2

xx< br>2
12
x
1
,于是x
0

1
.

a2a
由（I）知，
f

(x
0
)0.
………………12分
22．解：
（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA，
所以CDAB. …………5分
（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，
又CDAB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A，B，G，F四点共圆 …………10分
23．解：
（I）C
1
是圆，C
2
是椭圆.
当

0
时，射线l与C
1
，C
2
交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所
以a=3.
当



2
时，射线l与C
1
，C
2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.
22
x
2
y
2
1.
（II）C
1
，C
2
的普通方程分别为
xy1和
9
当< br>


4
时，射线l与C
1
交点A
1
的横坐标为
x
2
，与C
2
交点B
1
的横坐标为
2

x


310
.

1 0
当



4
时，射线l与C
1
，C< br>2
的两个交点A
2
，B
2
分别与A
1
，B< br>1
关于x轴对称，因此，

四边形A
1
A< br>2
B
2
B
1
为梯形.
(2x

2x)(x

x)2
.
…………10分 故四边形A
1
A
2
B
2
B
1的面积为
25
24．解：
x2,

3,

（I）
f(x)|x2||x5|

2x7,2x5,


3,x5.

当
2x5时,32x73.

所以
3f(x)3.
………………5分
（II）由（I）可知，
当
x2时,f(x)x
2
8x15
的解集为空集；
当
2x5时,f(x)x
2
8x15的解集为{x|5 3x5}
；
当
x5时,f(x)x
2
8x15的解集为{x|5x6}
.
综上，不等式
f(x)x
2
8x15的解集为{x|53 x6}.
…………10分