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高二文科数学培优： 立体几何中二面角的求法
编写：林洪兵2016-1-6
一、定义法：
例1:如图1，设正方形ABCD-A
1
B
1C
1
D
！
中，E为CC
1
中点，求截面A
1< br>BD和EBD
所成二面角的度数。
分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A
1
BD、EBD所成二面角的平面
角，设AC、BD交于O，连EO，A
1
O，由EB=ED，A
1
B=A
1
D即知EO⊥⊥BD，A
1
O⊥BD，
故∠EOA
1
为所求二面角的平面角。

变式1：正 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，求 二面角A-BD-C
1
的正切值为 .
分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为
二面角C- BD-C
1
的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”
这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉
思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC
1

是二面角C- BD-C
1
的平面角，且tan∠COC
1
=
2
。
将题目略作变化，二面角A
1
-BD-C
1
的余弦值为 .
在图1中，∠A
1
OC
1
是二面角A
1
-BD -C
1
的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得
cos∠A
1
OC
1
=
1
3

二、三垂线法
这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.
此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角

l

，过面< br>

P


内一点P作PA⊥

于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB
B
⊥l，则∠PBA为二面角

l

的平面角，故称 此法为三垂线法
l
.

A


最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作
图3
出所 求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.
对 于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？
例2 如图3，设三棱锥V-ABC中 ，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，
且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB， VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。
分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角，因 △VBC为等腰
三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。

例3( 2006年陕西试题)如图4，平面

⊥平面

，

∩
=l，A∈

，B∈

，点A在直线l上

的射影为A
1
，点B在l的射影为B
1
，已知AB=2，AA
1=1，BB
1
=2，求：
A


F
E
(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A
1
－AB－B
1
的正弦值.
l

B
1

分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白
A

1

的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性


.
B
作A，则可证A
图4
1
E⊥AB
1
于AB< br>1
于E
1
E⊥平面AB
1
B.过E作EF⊥A
B交 AB于F，连接A
1
F，则得A
1
F⊥AB，∴∠A
1
FE 就是所求二面角的
平面角.
依次可求得AB
1
=B
1
B =2，A
1
B=
3
，A
1
E=
2
2
，A
A
1
E
1
F=
3
2
，则在Rt△A
1
EF中，sin∠A
1
FE=
A
1
F
=
6
3
.
三、垂面法：
例3 如图6，设正方体ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是AB、C
1
D
1
的中点。
（1）求证：A
1
、E、C、F四点共面；
（2）求二面角A
1
-EC-D的正切值的大小。

分析与证明 （1）要证A
1
、E、C、F四点共面，可证：A、FE C，取DC
中点H，连AH、FH，则AHEC，又FHA
1
A。故A
1FAH，即A
1
FEC，
从而A、E、C、F四点共面。
（2）要求二面角A
1
-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本题可
用三垂线法，因FH⊥底面ABCD于H，过H作HM⊥EC于M，连FM，则由
三垂线定理知FM⊥E C。
所以∠HMF为所求二面角A
1
-EC-D的平面角。

例4空间的点P到二面角

l

的面

、
及棱l的距离分别
为4、3、
239
3
，求二面角

l

的大小.
分析与略解：如图5，分别作PA⊥

于A，PB⊥

于B，则易知
l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.
分别在Rt△PAC、R t△PBC中，PC=
239
3
，PA=4，PB=3，则AC=
2353< br>3
，BC=
3
.
因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设P C=2R，二面角

l

的大小为

.
分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得
AB
2
=AC
2+BC
2
-2·AC·BCcos

=PA
2
+PB< br>2
-2·PA·PBcos(



)，
则可解得 cos

=

1
2
，

=120
o
，二面角

l

的大小为120
o
.
四、延伸法
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D
为CC
1
中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的
度数。
分析与解 由图，平面A'BD与平面ABC只出现一个交点，故延长A'D
交AC延长线于F点，连BF，则BF 为所求二面角的棱。因CD=C'D，则
A'C'=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF 中点E，连DE，则CE⊥BF，
又DC⊥平面ABF，即DE⊥BF，从而∠DEC为所求二面角的平 面角。

说明 本题也可用射影法求二面角的度数。
五、射影法
例5如 图12，设正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，M为AA
1
上点，A
1
M:MA=3:1,求截面B
1< br>D
1
M与底面
ABCD所成二面角的余弦值。

分析与解： 本题应用“射影法”求截面B
1
D
1
M与底面
ABCD所成二面角容 易。它可以不作出所求二面角的平面角。
因是正方体，所以B
1
、D
1、M在底面射影分别为B、D、A，设棱长为a.