图卢兹商学院-开学的感受

【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共60分）
1. 给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0
2. 下列四个命题：
B. 1 C. 2 D. 3
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；
②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
③棱锥的所有面可能都是直角三角形；
④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有________个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它
的对角线长为（ ）
A. 12 B. 24 C.
214
D.
414

4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为 24cm，
深为8cm的空穴，则该球的半径是（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 13cm D.
82cm

5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是
（ ）
12

A.
2


14

B.
4


12

C.


14

D.
2


6. 已知直线
l平面

，直线m平面

，有下面四个命题：
①



lm
；②



 lm
；③
lm



；④
lm
< br>

。
其中正确的两个命题是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，
若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水 面的高度是（ ）
A.
63cm
B.
6cm
C.
218

2
D.
312

3

1

8. 设正方体的全 面积为
24cm
2
，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是
（ ）
A.
6

cm
3

32

cm
3
B.
3

8

cm
3
C.
3

4

cm
3
D.
3

9. 对于直 线m、n和平面

、

能得出



的一 个条件是（ ）
A.
mn，m

，n


C.
mn，n

，m




B.
mn，



m，n


D.
mn，m

，n


10. 如果直线l、m与平 面

、

、

满足：
l

< br>
，l

，m

，m

，那
么 必有（ ）
A.



和lm




B.



，和m


D.



且



C.
m

，且lm

11. 已知正方体的八个顶点中，有四个 点恰好为正四面体的顶点，则该正四面
体的体积与正方体的体积之比为（ ）
A.
1：3
B.
1：2
C. 2：3 D. 1：3
12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系
的图象如图 所示，那么水瓶的形状是（ ）


二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 正方体的全面积是
a
2
，它的顶点都在球面上，这个球的表面积 是
__________。
14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8 ，体积为
14cm
3
，则棱
台的高为____________。
15. 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相
平行的截面，在这两个 截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。

2

16. 已知

、

是两个不同的平面，m、n是平面

及

之外的两条不同的直线，
给出四个论断：
①m⊥n，②



，③
n

，④
m

。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个
命题___ ___________。

三. 解答题（共74分）
17. （12分） 正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1中，E、F、G分别是棱DA、DC、
DD
1
的中点，试找出过正方体的三个顶点 且与平面EFG平行的平面，并证明之。
18. （12分）球内有相距1cm的两个平行截面， 截面的面积分别是
5

cm
2
和8

cm
2
，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。

3
20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的
2
，这个梯形
绕 下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（
52
）

，求这个旋转体
的体积。
21. （12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72c m，要剪下来一
个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相
切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求
（1）AD应取多长？
（2）容器的容积。

3

22. （14分）如图，正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，底面边长为
22
，侧棱长
为4，E、F分别为AB、BC 的中点，
EFBDG
。
（1）求证：平面
B
1
EF平面BDD
1
B
；
（2）求点
D
1
到平面
B
1
EF
的距离d；
（3）求三棱锥
B
1
EFD
1
的体积V。



【试题答案】
一.
1. B
7. B
二.


2. B
8. D


3. C
9. C


4. C
10. A


5. A
11. D


6. D
12. B

13.
2
a
2
14. 2cm 15. 3ab
16.
mn，m

，n





（或m

，n

，



mn ）





4

三.
17. 证明：过
A、C、D
1
的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、D C、
DD
1
的中点可得GE
AD
1
，GF
CD1
，
GE
平面EFG，
GF
平面EFG
∴
AD
1
平面AEG，
CD
1
平面EFG
又
AD
1

CD
1

D
1

∴平面EFG平面
ACD
1

18. 解：如图，设两 平行截面半径分别为
r
1
和r
2
，且r
2
r1


22

r5

，

r8


12
依题意，
r
1
2
5，r
2
2
8
OA
1
和OA
2
都是球的半径R
OO< br>1

OO
2

R
2
r
1
2

R
2
r
2
2

R
2
5
R
2
8

R
2
5R
281
解得R
2
9R3
S
球
4

R
2
36

(cm
2
)

V
球

4
2

R36

(cm
3
)
3

19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为
23mm

3
a23
2
设底面边长为a，则
a4

∴正三棱柱的表面积

5

1
4232483(mm
2
)
2

20. 解：如图，梯形ABCD，ABCD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转
SS
侧
2S
底
3422
一周后形成一圆柱和一圆锥 的组合体。

设
CDx，AB
3
x
2

ADABCD
x2
，BCx
22


S
全面积
S
圆柱底
S
圆柱侧
S
圆锥侧


AD
2
2

ADCD

ADBC
x
2

x2


2

xxx
4222
52
2


x
4

52

x
2
 (52)

，则x2
根据题设
4

所以旋转体体积

V

AD
2
CD

3
AD
2
(ABCD)



 1
2
2

3
1
2
(32)


7

3

21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R、AD=x，则
OD72x


6

由题意得

⌒
60

AB2

R72
180




⌒
60

CD2

r(72x)

180




OD72x3R


R12，r6，x36


AD36cm

2222
（2）又圆台的高h=
x(Rr)36(126)635

1
 V

h(R
2
Rrr
2
)
3

1


635(12
2
1266
2)
3
3
50435

(cm)

22. 证明：（1）如图，连结AC

∵正四棱柱
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
的底面呈正方形
∴AC⊥BD

7

又AC⊥
D
1
D

∴AC⊥平面
BDD
1
B
1

∵E、F分别为AB、BC的中点
∴EFAC
∴EF⊥平面
BDD
1
B

∴平面
B
1
EF平面BDD
1
B
1

解（2）在对角面
BDD
1
B
1
中，作
D
1
HB
1
G
，垂足为H
∵平面
B
1
E F平面BDD
1
B
1
，且平面
B
1
EF

平面
BDD
1
B
1
B
1
G

∴
D
1
H平面B
1
EF，且垂足为H

∴
D
1
H
为点
D
1
到平面
B
1
EF
的距离
在Rt△
D
1
HB< br>1
中，
D
1
HD
1
BsinD
1B
1
H

D
1
B
1
2
A
1
B
1
2224
BB
4
sinD
1
B
1
HsinB
1
GB
1

GB
1
17

D
1
H4
41617

17
17

1
D
1
HS
B
1
EF
3
（2）
VV
B
1
EFD
1
V
D
1< br>B
1
EF

1161
217
3
1 7
2
16

3




8