D
，
a=0
时，函数
f
（
x
）=ax
2
+
2x
﹣
1
只有一个零点；

【解答】解：对于
A
，
“
∀
x
∈
R
，< br>e
x
＞
0”
的否定是
“
∃
x
∈R
，使
e
x
≤
0”
，故错；

对于< br>B
，命题
“
若
x
+
y
≠
3
（
x
，
y
∈
R
），则
x
≠
2或
y
≠
1”
的逆否命题是：
“
若
x=2
且
y=1
，则
x
+
y=3“
为真命题，故原命题为真命题 ，故正确；

x
2
+
2x
≥
2x
在
x
∈[
1
，
2
]上恒成立，对于
C
，例
a=2
时，而（
x
2
+
2x
）
min
=3
＜
2x
max
=4
，
故错；

=ax2
+
2x
﹣
1
只有一个零点，对于
D
，原命题 的逆命题为：若函数
f
（
x
）则
a=
﹣
1“
，
∵
a=0
时，函数
f
（
x
）
=ax< br>2
+
2x
﹣
1
只有一个零点，故错；

故选：
B

【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．



5
．已知向量
=
（
1
，﹣
2
），
=
（
1
，
1
），
mab
，
=
+
λ
，如果
mn
，
那么实数
λ=
（ ）

A
．
4 B
．
3 C
．
2 D
．
1



【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【分析 】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的
条件能求出实数
λ
．

【解答】解：∵向量
=
（
1
，﹣
2
），
=
（
1
，
1
），
mab
，
=
+
λ
，

∴
m
=
（
0
，﹣
3
），
=
（
1
+
λ
，﹣
2< br>+
λ
），

∵
mn
，

∴
=0
﹣
3
（﹣
2
+
λ
）
=0
，




解得
λ=2
．

故选：
C
．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意向量垂直
的性质的合理运用．



6
．若对于任意的
x
＞
0
，不等式

≤
a
恒成立，则实数
a
的取值范围为（ ）

A
．
a
≥
B
．
a
＞
C
．
a
＜
D
．
a
≤

【考点】基本不等式．

【分析】由< br>x
＞
0
，不等式
成立思想可得
a
的范围．

【解答】解：由
x
＞
0
，
令
t=x
+，则
t
≥
2=2

=
，

=
，运用 基本不等式可得最大值，由恒
当且仅当
x=1
时，
t
取得最小值2
．

取得最大值，

所以对于任意的
x
＞< br>0
，不等式
则
a
≥，

故选：
A
．

【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用 基本不等式求得最值，考
查运算能力，属于中档题．



7
．甲袋中装有
3
个白球和
5
个黑球，乙袋中装有
4
个白球 和
6
个黑球，现从甲
袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取 出一个球放回
甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

≤
a
恒成立，

【考点】古典概型及其概率计算公式．
< br>【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出
白球，抓入白球，概 率是，再把这
2
个概率相加，即得所求．


【解答】解：白球没有 减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．
抓出白球，抓入白球，概率是
故所求事件 的概率为
=
，

=
，

故选
C
．

【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．



8
．若执行如图所示程序框图，则输出的
s
值为（ ）


A
．﹣
2016 B
．
2016
【考点】程序框图．

C
．﹣
2017 D
．
2017

【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得 到的
S
的结果与
n
的值的关系，由程序框图可得当
n=2017时，退出循环，由此能求出结果．

【解答】解：模拟程序的运行，可得

n=1
，
s=0

满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣
1
，
n=2

满足 条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣
1
+
3=2
，
n=3

满足条件
n
＜
20 17
，执行循环体，
s=
﹣
1
+
3
﹣
5=
﹣
3
，
n=4

满足条件
n
＜
2 017
，执行循环体，
s=
﹣
1
+
3
﹣
5
+
7=4
，
n=5

满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣
5
，
n=6
< br>满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=6
，n=7

…

满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=
﹣
2015
，
n=2016

满足条件
n
＜
2017
，执行循环体，
s=2016
，n=2017

不满足条件
n
＜
2017
，退出循环， 输出
s
的值为
2016
．

故选：
B
．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模 拟程序框图的运行过程，
以便得出正确的结论，属于基础题．

9
．高为
5
，底面边长为
4
半径是（ ）

A
．
B
．
2 C
．
D
．

的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的
【考点】棱柱的结构特征．

【分析】由题中条件知高为
5
，底面边长为
4
的正三棱柱形容器（下有底） 内，
可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．

【解答】解：由题意知，

正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为
r

r
即为底面正三角形的内切圆半径，

∵底面边长为
4
r=2

故选
B
．
【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的
关键是构造球的大圆 沟通条件之间的联系．



过点
p
（
x
，
y
）向圆
x
2
+
y
2
=1
做两 条切
的值是（ ）

的

10
．已知点
p
（
x
，
y
）满足
线，切点分别是点
A
和点
B
，则当∠
APB
最大时，
A
．
2 B
．
3 C
．
D
．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确 定当
α
最小时，
P
的
位置，利用向量的数量积公式，求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠
APB
最大，

则
P
到圆心的距离最小即可，

由图象可知当
OP
垂直直线
x
+
y
﹣
2
|
OP
|
= =2
，|
OA
|
=1
，

=0
时
P
到圆心的距离最小，此时

设∠
APB=α
，则
si n
此时
cosα=
，
故选：
D
．

•
=
，
=•
=

•=
．

< br>【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数
形结合是解决本题 的关键．



11
．过双曲线﹣
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的右焦点
D
作 直线
y=
﹣
x
的垂线，垂
=2
，则该双曲线的离心率为（ ）

足为
A
，交双曲线左支于
B
点，若
A
．
B
．
2 C
．
D
．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据题意直线
AB
的方程为
y=
（
x
﹣
c
）代入双曲线渐近线方程，求出
A< br>的坐标，进而求得
B
的表达式，代入双曲线方程整理求得
a
和
c
的关系式，进
而求得离心率．

【解答】解：设
F
（c
，
0
），则直线
AB
的方程为
y=
（
x
﹣
c
）代入双曲线渐近
线方程
y=
﹣
x
得
A
（
由
=2
，可得
B
（﹣
，﹣），< br>
，﹣
﹣
），

=1
，

把
B
点坐标代入双曲线方程

即
即离心率
e==
故选：
C
．

=1
，整理可得
c=
．

a
，

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题 设中的信
息，找到双曲线方程中
a
和
c
的关系．



12
．已知
f
（
x
）是定义在（
0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数
x
1
，
x
2
，
都有
（ ）

A
．
a
＜
b
＜
c B
．
b
＜
a
＜
c C
．
c
＜
a
＜
b D
．
c
＜
b
＜
a

【考点】函数单调性的性质．

【分析】由题意可得函数
3
0.2< br>＜
log
2
5
，故可得答案．

【解答】解：∵f
（
x
）是定义在（
0
，+∞）上的函数，对任意两个不相等的 正数
x
1
，
x
2
，都有
∴函数
＞
0
，

是（
0
，+∞）上的增函数，比较大小可得
0.3< br>2
＜
＞
0
，记
a=
，
b=
，
c=
，则
是（
0
，+∞）上的增函数，

∵
1< br>＜
3
0.2
＜
3
，
0
＜
0.32
＜
1
，
log
2
5
＞
2
，

∴
0.3
2
＜
3
0.2
＜
lo g
2
5
，

∴
c
＜
a
＜
b
．

故选：
C
．

【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考 查学生对指数函数、对数
函数性质的运用能力，属于中档题．



二、填空题（共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分）

13
．设随机变量
ξ
～
N
（
2
，4
），若
P
（
ξ
＞
a
+
2
）
=P
（
ξ
＜
2a
﹣
3
），则实数
a
的值

为 ．

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．


【解答】解： 由题意可知随机变量
ξ
～
N
（
2
，
4
）， 满足正态分布，对称轴为
μ=2
，
P
（
ξ
＞
a+
2
）
=P
（
ξ
＜
2a
﹣
3
），

则：
a
+
2
+
2a
﹣3=4
，解得
a=
．

故答案为．

【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．



14
．若
数之和为
的展开式中第
3
项的二项式系数是15
，则展开式中所有项的系
．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】求出展开式的通项，令
r=2
求出展开式第
3
项的二项式系数，列出方程
求出
n
；令二项式中的
x=1
求出展开式的所有项的系数和．

【解答】解：展开式的通项为

当
r=2
时是展开式中第
3
项的二项式系数为
C
n
2
=15

解得
n=6

令二项式中的
x=1
得

展开式中所有项的系数之和为
故答案为：．

．

【点评】 本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展
开式的系数和问题．



15
．在△
ABC
中，
a=3
，b=2
【考点】余弦定理．

【分析】由∠
B=2
∠
A
，得到
sinB=sin2A=2sinAcosA
，利用正弦定理化简将
a
与
b
的值代入求出
cosA
的值，利用余弦定理列出关系式，将a
，
b
，
cosA
的值代入
，∠
B=2
∠
A
，则
c=

5
．

即可求出
c
的值．

【解答】解：∵∠
B=2
∠
A
，

∴
sinB=sin2A=2sinAcosA
，

利用正弦定理化简得：
b=2acosA
，

把
a=3，
b=2
代入得：
2=6cosA
，即
cosA=
，< br>
由余弦定理得：
a
2
=b
2
+
c
2
﹣
2bccosA
，即
9=24
+
c
2
﹣
8c
，

解得：
c=5
或
c=3
，

当
c=3时，
a=c
，即∠
A=
∠
C
，∠
B=2
∠
A=2
∠
C
，

∴∠
A
+∠
C=
∠
B
，即∠
B=90°
，

而
32
+
3
2
≠（
2
则
c=5
．

故答案为：
5

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数 公式，熟练掌握定
理是解本题的关键．



16
．已知函 数
f
（
x
）
=
个零点．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】函数
y=f
（f
（
x
））﹣
1=0
，求出
f
（
x< br>）的值，然后利用分段函数的表
达式求解
x
的值，推出结果．

【解答】解：函数
y=f
（
f
（
x
））﹣
1，令
f
（
f
（
x
））﹣
1=0
，
当
f
（
x
）＞
0
时，可得
log< br>2
f
（
x
）
=1
，解得
f
（
x
）
=2
，

则
log
2
x=2
，解得
x=4
，
ax
+
1=2
，解得
x=
（舍去）．

当
f
（
x
）＜
0
，可得< br>af
（
x
）+
1=1
，解得
f
（
x
）
=0
，

则
log
2
x=0
， 解得
x=1
，
ax
+
1=0
，解得
x=
﹣ ．

所以函数的零点
3
个．

故答案为：
3
．

．若
a
＞
0
， 则函数
y=f
（
f
（
x
））﹣
1
有
3

）
2
，矛盾，舍去；

【点评 】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及
计算能力．



三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17
．（
12
分）（
2017•
平顶山一模）已知
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和，且
2S
n
= 3a
n
﹣
2
（
n
∈
N
*
）．
（
Ⅰ
）求
a
n
和
S
n
；

（
Ⅱ
）若
b
n
=log
3
（
S< br>n
+
1
），求数列{
b
2n
}的前
n
项和
T
n
．

【考点】数列的求和．

【分析】 （
Ⅰ
）由
2S
n
=3a
n
﹣
2
可 求得
a
1
=2
；当
n
≥
2
时，
a
n
=3a
n
﹣
1
，从而可知数
列{
an
}是首项为
2
，公比为
3
的等比数列，继而可得
a< br>n
和
S
n
；

（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）知
S
n
=3
n
﹣
1
，从而可得
b
n
=n
，
b
2n
=2n
，利用等差数列的求和 公式
即可求得数列{
b
2n
}的前
n
项和
T
n
．

【解答】解：（
Ⅰ
）∵
2S
n
= 3a
n
﹣
2
，

∴
n=1
时，
2 S
1
=3a
1
﹣
2
，解得
a
1
= 2
；

当
n
≥
2
时，
2S
n﹣
1
=3a
n
﹣
1
﹣
2
，

∴
2S
n
﹣
2S
n
﹣
1
=3a< br>n
﹣
3a
n
﹣
1
，

∴
2 a
n
=3a
n
﹣
3a
n
﹣
1
，< br>
∴
a
n
=3a
n
﹣
1
，

∴数列{
a
n
}是首项为
2
，公比为
3
的 等比数列，

∴
a
n
=2•3
n
﹣
1
，

S
n
==3
n
﹣
1
，

（
Ⅱ
）∵
a
n
=2•3
n
﹣
1
，
S
n
=3
n
﹣
1
，

∴
b
n
=log
3
（
S
n
+
1
）
= log
3
3
n
=n
，

∴
b
2n
=2n
，

∴
T
n=2
+
4
+
6
+
…
+
2n==n2
+
n
．

【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的 判定与通项公式、求和公式
的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．

18
．（
12
分）（
2017•
平顶山一模）某校高一共录取新生
1000
名，为了解学生视

力情况，校医 随机抽取了
100
名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．
（
Ⅰ< br>）若视力在
4.6
～
4.8
的学生有
24
人，试估计 高一新生视力在
4.8
以上的人
数；


1
～
50
名

951
～
1000
名

近视

不近视

41

9

32

18

（
Ⅱ
）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的
100
名学生中，对
成绩在前
50
名的学生和其他学生分别进行统计 ，得到如右数据，根据这些数据，
校医能否有超过
95%
的把握认为近视与学习成绩有 关？

（
Ⅲ
）用分层抽样的方法从（
Ⅱ
）中
27< br>名不近视的学生中抽出
6
人，再从这
6
人中任抽
2
人 ，其中抽到成绩在前
50
名的学生人数为
ξ
，求
ξ
的分布列 和数学
期望．

附
K
2
=
P
（
K
2
≥
k
）

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005


【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（< br>Ⅰ
）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在
4.8
以下的人数，然
后求解视力在
4.8
以上的人数．

（
Ⅱ
）求出
k
2
，即可说明校医有超过
95%
的把握认为近视与成绩有关．
6
人中年级名次在
1
～
50
名和
951
～1000
名的分别有
2
人和
4
人，（
Ⅲ
）依题 意，
所以
ξ
可取
0
，
1
，
2
．求 出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．

【解答】解：（
Ⅰ
）由图可知，前四组学生的视力在
4.8
以下，第一组有
0.15
×
0.2
×
100=3
人，第二组有
0.35
×
0.2×
100=7
人，第三组
1.35
×
0.2
×
100=27
人，
第四组有
24
人．
…
（
2
分）

所以视力在
4.8
以上的人数为
人．
…

（
Ⅱ
）


，因此校医有超过
95%
的把 握认为近视与成绩有关．
…
（
8
分）

6
人中年级 名次在
1
～
50
名和
951
～
1000
名 的分别有
2
人和
4
人，（
Ⅲ
）依题意，
所以
ξ
可取
0
，
1
，
2.
ξ
的分布列为
ξ

P

…
（
10
分）

ξ
的数学期望．
…
（
12
分）

0


，，

，
1


2


【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的 求法，考
查转化思想以及计算能力．



19
．
CB
⊥平面
PAB
，（
12
分）（
2017•
平顶 山一模）如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
AD
∥
BC
，且
PA=PB=AB=BC=2AD=2
．

（
Ⅰ
）求证：平面
DPC
⊥平面
BPC
；

（
Ⅱ
）求二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的 余弦值．


【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
< /p>

【分析】（
Ⅰ
）分别取
PC
，
PB
的 中点
E
，
F
，连结
DE
，
EF
，
AF
，证明
AF
⊥
EF
，
AF
⊥
PB．推出
AF
⊥平面
BPC
，然后证明
DE
⊥平面
BPC
，即可证明平面
DPC
⊥平面
BPC
．
…
．

（
Ⅱ
）解法
1
：连结
BE
，说明BE
⊥
CP
，推出
BE
⊥平面
DPC
，过E
作
EM
⊥
PD
，
垂足为
M
，连结< br>MB
，说明∠
BME
为二面角
C
﹣
PD
﹣< br>B
的平面角．在△
PDE
中，
求解即可．

解法2
：以
A
为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面
PDC
和面
PBC
的法向量，由空间向量的数量积求解二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的余弦值
即可．

【解答】（本小题满分
12
分）

解：（
Ⅰ
）证明 ：如图，分别取
PC
，
PB
的中点
E
，
F
，

连结
DE
，
EF
，
AF
，由题意知， 四边形
ADEF
为矩形，∴
AF
⊥
EF
．
…
（
2
分）

又∵△
PAB
为等边三角形，
∴
AF
⊥
PB
．又∵
EF
∩
PB=F
，

∴
AF
⊥平面
BPC
．
…

又
DE
∥
AF
．

∴
DE
⊥平面
BPC
，又
DE
⊂平面
DPC
，

∴平面
DPC
⊥平面
BPC
．
…

（Ⅱ
）解法
1
：连结
BE
，则
BE
⊥
C P
，由（
Ⅰ
）知，

BE
⊥平面
DPC
， 过
E
作
EM
⊥
PD
，垂足为
M
，连结MB
，则∠
BME
为二面角
C
…
﹣
PD
﹣
B
的平面角．（
7
分）

由题意知，
DP=DC=
∴在△
PDE
中，
又，

，
PC=
，∴，∴，

．
…
（
10
分）

∴，∴．
…
（
12
分）

（
Ⅱ
）解法
2
：如图，以
A
为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
A
（
0
，
0
，
0
），
B
（
0
，
2
，
0
），
，
，
C
（
0
，
2
，
2
），
D
（
0，
0
，
1
）．

，
，
；

．
…
（
8
分）

，

设平面PDC
和面
PBC
的法向量分别为
由，得，令
y=
﹣< br>1
得
由，得，令
a=1
得．
…
（
10
分）

∴二面角
C
﹣
PD
﹣
B
的余弦值 为．
…
（
12
分）


【点评】本题考查平面与平 面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，
考查空间想象能力以及计算能力．



20
．（
12
分）（
2017•
平顶 山一模）如图，点
P
为圆
E
：（
x
﹣
1
）
2
+
y
2
=r
2
（
r
＞
1
）
与
x
轴的左交点，过点
P
作弦
PQ
， 使
PQ
与
y
轴交于
PQ
的中点
D
．

（
Ⅰ
）当
r
在（
1
，+∞）内变化时，求点< br>Q
的轨迹方程；

（
Ⅱ
）已知点
A
（﹣1
，
1
），设直线
AQ
，
EQ
分别与（
Ⅰ
）中的轨迹交于另一
点
Q
1
，
Q
2
， 求证：当
Q
在（
Ⅰ
）中的轨迹上移动时，只要
Q
1
，
Q
2
都存在，且
Q
1
，
Q
2
不 重合，则直线
Q
1
Q
2
恒过定点，并求该定点坐标．

【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．

y
）【分析】（
Ⅰ
）设
Q
（
x
，，则
PQ
的中点
代入坐标得答案；

（
Ⅱ
）分别设出
Q、
Q
1
、
Q
2
的坐标，结合
A
，Q
，
Q
1
共线，
E
，
Q
，
Q
2
共线可把
Q
1
、
Q
2
的坐标用
Q
的坐标表示，得到线
Q
1
Q
2
的方程，再由直线系方程可 得直线
Q
1
Q
2
恒过定点，并求该定点坐标．

【 解答】（
Ⅰ
）解：设
Q
（
x
，
y
），则< br>PQ
的中点
∵
E
（
1
，
0
），∴< br>在圆
E
中，∵
DE
⊥
DQ
，∴
，
， 则
．

．

，

，由题意
DE
⊥
DQ
，得，
∴点
Q
的轨迹方程
y
2
=4x
（
x
≠
0
）；

（
Ⅱ
）证明：设
Q
（
t
2
，
2t
），，，

则直 线
Q
1
Q
2
的方程为（
t
1
+
t
2
）
y
﹣
2x
﹣
2t
1
t
2
=0
．

Q
，
Q
1
共线，由
A
，得，从而（
，否则
Q
1
不存在），
由
E
，
Q
，< br>Q
2
共线，得，从而

（
t
≠
0
， 否则
Q
2
不存在），
∴，，

∴直线
Q
1
Q
2
的方程化为
t
2
（
y
﹣
4x
）+
2t
（
x
+
1
）+（
y
+< br>4
）
=0
，

令，得
x=
﹣
1，
y=
﹣
4
．

∴直线
Q
1
Q
2
恒过定点（﹣
1
，﹣
4
）．

【点评 】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲

线问题中的应用 ，考查计算能力，属中档题．



21
．（
12
分）（
2015•
新课标
Ⅱ
）设函数
f
（
x
）
=e
mx
+
x
2
﹣
mx
．

（
1
）证明：
f
（
x
）在（﹣∞，
0）单调递减，在（
0
，+∞）单调递增；

（
2
）若对 于任意
x
1
，
x
2
∈[﹣
1
，
1
]，都有|
f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）|≤
e
﹣
1
，求
m
的取
值范 围．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（
1
）利用
f′
（
x
）≥
0
说明函数为增函数，利用
f′
（
x
）≤
0
说明函数为
减函数．注意参数
m
的讨论；

（
2
）由（
1< br>）知，对任意的
m
，
f
（
x
）在[﹣
1，
0
]单调递减，在[
0
，
1
]单调递增，
则 恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得
m
的取值范围．

【解答】 解：（
1
）证明：
f′
（
x
）
=m
（e
mx
﹣
1
）+
2x
．

若
m
≥
0
，则当
x
∈（﹣∞，
0
）时，
e< br>mx
﹣
1
≤
0
，
f′
（
x
）＜
0
；当
x
∈（
0
，+∞）
时，
emx
﹣
1
≥
0
，
f′
（
x
） ＞
0
．

若
m
＜
0
，则当
x∈（﹣∞，
0
）时，
e
mx
﹣
1
＞
0
，
f′
（
x
）＜
0
；当
x
∈（< br>0
，+∞）
时，
e
mx
﹣
1
＜
0< br>，
f′
（
x
）＞
0
．

所以，f
（
x
）在（﹣∞，
0
）时单调递减，在（
0
，+∞）单调递增．

（
2
）由（
1
）知，对任意的
m
，
f
（
x
）在[﹣
1
，
0
] 单调递减，在[
0
，
1
]单调递增，
故
f
（
x
）在
x=0
处取得最小值．

所以对于任意
x
1
，
x
2
∈[﹣
1
，
1
]，|
f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）|≤e
﹣
1
的充要条件是

即

设函数
g
（
t
）
=e
t
﹣
t
﹣
e
+
1
，则
g′
（
t
）
=e
t
﹣< br>1
．

当
t
＜
0
时，
g′
（
t
）＜
0
；当
t
＞
0
时，
g′
（
t
）＞
0
．故
g
（
t
）在（﹣ ∞，
0
）单调递
减，在（
0
，+∞）单调递增．

又
g
（
1
）
=0
，
g
（﹣
1）
=e
﹣
1
+
2
﹣
e
＜
0< br>，故当
t
∈[﹣
1
，
1
]时，
g
（
t
）≤
0
．

当
m
∈[﹣
1，
1
]时，
g
（
m
）≤
0
，
g
（﹣
m
）≤
0
，即合式成立；

当
m< br>＞
1
时，由
g
（
t
）的单调性，
g
（
m
）＞
0
，即
e
m
﹣
m
＞e
﹣
1
．

当
m
＜﹣
1
时，
g
（﹣
m
）＞
0
，即
e
﹣
m
+
m
＞
e
﹣
1
．

综上，
m
的取值范围是[﹣
1
，
1
]
< br>【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应
用．属于难题，高考压 轴题．



请考生从（
22
）、（
23
）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如
果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请 用
2B
铅笔在答题卡上将所选题
号后的方框涂黑．（本小题满分
10
分）[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

22
．（
10< br>分）（
2017•
平顶山一模）在直角坐标系
xOy
中，以坐标原点为 极点，
以
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为
ρ=2
（
Ⅰ
）将曲线
C
的极坐标方程化为参数方程：

（
Ⅱ
）如果过曲线
C
上一点
M
且斜率为﹣那

么当|
MQ
|取得最小值时，求
M
点的坐标．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（
Ⅰ< br>）根据
ρcosθ=x
，
ρsinθ=y
，
ρ
2=x
2
+
y
2
化为普通方程，再转化为参数
方程即可．

（
Ⅱ
）设斜率为的直线与
l
的夹角为
γ
（定值），
M
到
l
的距离为
d
，令
，则
界 限求解最小值即可．

【解答】解：（
Ⅰ
）∵
∵
ρcosθ =x
，
ρsinθ=y
，
ρ
2
=x
2
+< br>y
2
，

∴曲线
C
的普通方程为
∴曲线C
的参数方程为
（
Ⅱ
）方法一：设斜率为
则
，

（
α
为参数）．


的直线与
l
的夹角为
γ
（定值），
M
到
l
的距离为
d
，
sinθ
．

y=
﹣
x
+
6
交于点Q
，的直线与直线
l
：
，利用三角函数的有
，∴，

，所以
d
取最小值时，|
MQ
|最小．

令
当时，
d
最小．

，则，
∴点
M
的坐标为
（
Ⅱ
）方法二：设斜率为
则，

．


的直线与
l
的夹角为
γ
（定值），
M
到
l
的距离为
d
，
∴
d
取最小 值时，|
MQ
|最小．

∴，
M
是过圆心垂直于
l
的直线
由
∴点
M
的坐标为
，得
．

或
与圆（靠近直线
l
端）的交点．

（舍去）．

【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参
数方程的几何意 义的运用．属于中档题．



[选修
4-5
：不等式选讲]

23
．（
2017 •
平顶山一模）已知函数
f
（
x
）
=
|
x
﹣
2
|+|
x
+
1
|．

（Ⅰ
）解不等式
f
（
x
）＞
5
；

（
Ⅱ
）若
f
（
x
）≥﹣

对任意 实数
x
恒成立，求
a
的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值 不等式的解法．

【分析】（
Ⅰ
）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不 等式
f
（
x
）＞
5
；

（
Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出
f
（
x
）的最小值，利用恒成立，转化不 等式
求解即可．

【解答】（本小题满分
10
分）

解：（
Ⅰ
）原不等式可化为：
解得：
x
＜﹣
2
或
x
＞
3
，

所以解集为：（﹣∞，﹣
2
）∪（
3
，+∞）．
…

（
Ⅱ
）因为|
x
﹣
2
|+|
x
+
1
|≥|
x
﹣
2
﹣（
x
+< br>1
）|
=3
，
…
（
7
分）

或或
…
（
3
分）

所以
f
（
x
）≥
3
，当
x
≤﹣
1
时等 号成立．

所以
f
（
x
）
min
=3
．

又
故．
…
（
10
分）

，
< br>【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义
的应用，考查转化 思想以及计算能力．