广州注协-关心的话

辽宁省大连市2013届高三第一次模拟考试
数 学
（文科）
本 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第
24题为选考题， 其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无
效．考试结束后，将本试卷和答 题卡一并交回．
球的表面积公式：
S4

R
，其中
S< br>表示球的表面积，
R
表示球的半径．
2
第I卷
一．选择题 :（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求 的）

1．设集合
A

2,lnx

，
B

x,y

，若
AB

0
< br>，则
y
的值为（ ）
A．0 B．1 C．
e
D．
2．设复数
z

1

e
1i
，则
z
为（ ）
1i
A．1 B．
1
C．
i
D．
i

3. 计算
sin47cos17cos47cos73
的结果等于（ ）
1
A.
2
B.

3

3
C.

2

2
3
D.
2
4. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有24 0家．为
了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，
抽取的中型超市数是（ ）
A.4 B.6 C.7 D.12
5. 已知
a、b
均为单位 向量，且
ab3
，则
a
与
b
的夹角为（ ）

2

B． C． D．
3
632
22
6. 若曲线
(x1)(y2)4上相异两点
P、Q
关于直线
kxy20
对称，则
k
的值
A．
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7
．
如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线
画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为
（ ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
8. 已知函数
f( x)Asin(

x

)(xR,A0,

0, |

|

2
)

的图象（部分）如图所示，则

，

分别为 （ ）
第 1 页 共 11 页

A．

2

,


C．



,



6

B．



,



6



9．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（ ）
A．—1 B．1
C．—2 D．2
10．下列说法正确的是（ ）
A．
x(0,

)
，均有
sinxcosx

B．命题“
xR
使得
xx10
”的否定是：“
 xR
，均有
xx10
”
C．“
a0
”是“函数
f(x)x
3
ax
2
x
为奇函数”的充要条件
D．
xR
，使得
sinxcosx
22
3

D．

2

,



3
5
成立
3
11．已知
A,B
两点均在焦点为
F
的抛物线
y
2
2px(p0)
上，若
|AF||BF |4
，线段

AB
的中点到直线
x
p< br>的距离为1，则
p
的值为（ ）
2
A．1 B．1或3 C．2 D．2或6
12．定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(3)1
，
f(2)3
，< br>f

(x)
为
f(x)
的导函数，已知
yf

(x)
的图象如图所示，且
f

(x)
有且只
有一个零点，若非负实数
a,b
满足
f(2ab)1
，
f(a 2b)3
，
b2
的取值范围是（ ）
a1
4444
A．
[,3]
B．
(0,][3,)
C．
[,5]
D．
(0,][5,)

5555
则
第II卷
本卷 包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做
答．第22题~第2 4题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）
C2:3:
，则
4
cosC
的值13.已知△
ABC
三个 内角
A
、
B
、
C
，且
sinA:sinB:sin
为 ．
y
2
x
2
14. 已知双曲 线
C
：
2

2
1
(a0,b0)
，
P
为
x
轴上一动点，经过
P
的直线
ab
y 2xm(m0)
与双曲线
C
有且只有一个交点，则双曲线
C
的 离心率为 ．
15．在球面上有四个点
P
、
A
、
B
、
C
，如果
PA
、
PB
、
PC
两两互相垂直，且
第 2 页 共 11 页

PAPBPC1
．则这个球的表面积为 ．
16．已知函数
yf(x)的定义域为R
，且具有以下性质：①
f(x) f(x)0
；②
③
yf(x)
在区间[0，2]上为增函数，则对于 下述命题：（Ⅰ）
f(x2)f(2x)
；
yf(x)
的图象关于原 点对称 ； （Ⅱ）
yf(x)
为周期函数，且4是一个周期；（Ⅲ）
yf(x)
在区间[2，4]上为减函数．所有正确命题的序号为 ．

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)
. 已知各项均为正数的数列

a
n

满足
a
1
1
,
a
n1
+a
n
a
n1
a
n
0
．
（Ⅰ）求证：数列


1


是等差数列； a

n


2
n

（Ⅱ）求数列
前
n
项和
S
n
．

a
n








18．(本小题满分12分)
某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件 ，零件尺寸均在

21,7,22.3

（单位：
cm
）之 间的零件，把零件尺寸在
[21.9,22.1)
的记为一等品，尺寸在
[21.8, 21.9)[22.1,22.2)
的记为二等品，尺寸在
[21.7,21.8)[22 .2,22.3]
的记为三等
品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得 零件尺寸的频率分布直方
图如图所示：
频率

频率
组距
组距

4

3
3

2
2

1
1

0.5
O
O
21.721.821.922.022.122.222.3

21.721.821.9 22.022.122.222.3
尺寸cm
尺寸cm
乙工艺
甲工艺

（Ⅰ）根据上述数据完成下列
22
列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产 出一
等品是否有关？
第 3 页 共 11 页

一等品
非一等品
合计
附：
2
甲工艺



乙工艺



合计



n

n
11
n
22
-n
12
n
21


2
=
，
n
1+
n
2+n
+1
n
+2
P


2
k


k

0.05
3.841
0.01
6.635

（Ⅱ）若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、 15元，求出上述甲工艺
所抽取的100件产品的单件利润的平均数.











19．(本小题满分12分)
如图，正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，底面边长为2，侧棱长为
2
，
D
为AC
11
中点．
（Ⅰ）求证；
BC
1
∥平面
AB
1
D
；
（Ⅱ）三棱锥
BAB
1
D
的体积．










20. （本小题满分12分）
D
1
x
2
y
2
设离心率< br>e
的椭圆
M:
2

2
1(ab0)
的左、右焦点分别为
F
1
、F
2
，
P
是
x
2
ab
轴正半轴上一点，以
PF
1
为直径的圆经过椭圆M
短轴端点，且该圆和直线
x3y30
相切，过点
P
直线 椭圆
M
相交于相异两点
A
、
C
．
（Ⅰ）求椭圆
M
的方程；
（Ⅱ）若相异两点
A、B
关于< br>x
轴对称，直线
BC
交
x
轴与点
Q
，求Q
点坐标．
第 4 页 共 11 页

21.（本小题满分12分）
已知
mR
，函数
f(x)mx< br>2
2e
x
．
（Ⅰ）当
m2
时，求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）若
f(x)
有两个极值点，求
m
的取值范围．








请考生在22，23，2 4三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答
时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目 对应的标号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

，过
C
点的圆的 如图，已知圆上的

ACBD
切线与
BA
的延长线交于
E
点．
（Ⅰ）证明：
ACEBCD
；
（Ⅱ）若
BE9,CD1
，求
BC
的长.





23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为

x2cos

（

为参数），曲线
C
2
的参 数方程

y22sin


为


x 22cos

（

为参数），
P
是
C
2
上的点，线段
OP
的中点在
C
1
上．

y2sin

(Ⅰ)求
C
1
和
C
2
的 公共弦长；
(Ⅱ)在以
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系 中，求点
P
的一个极坐标.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知
f(x)2x1ax5
(a是常数，a∈R)
（Ⅰ）当a=1时求不等式
f(x)0
的解集．
（Ⅱ）如果函数
yf(x)
恰有两个不同的零点，求a的取值范围．



第 5 页 共 11 页

2013年大连市高三一模测试
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出 现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得 超过该部分正确解答应得分数的
一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
1．A；2．D；3. A；4. B；5.B；6. D；7．C；8. C；9. A；10．C；11．B；12． A．
二.填空题
13.

1
5
； 14. ；15．
3

；16．（Ⅱ），（Ⅲ）．
4
2
三.解答题
17．解：（Ⅰ）∵
a
n1
+a
n
a
n1< br>a
n
0
，∴
∴
a
n1
a
n

a
n1
a
n
0
，
a
n

a
n1
11
······················· ···· 3分
1
，
a
n1
a
n
1

1
1
，∴数列

是以1为首项，1为公差的等 差数列． ········ 4分
a
1

a
n

1
1
1(n1)1n
，
a
n

． ··················· 6分
n
a
n
2
n（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知
=n

2
n
．
a
n
·············································· ························ ①
S
n
=12
1
+22
2
++n2
n
． ·
··········· ·················································· ···· ②
2S
n
=12
2
+22
3
+ +n2
n+1
． ·
··························· ·················································· ·········································· 9分
由①

②得
S
n
=2+2++2n2
12nn1
．
∴
S
n
=(n1)2
n1
2
． ·················································· ······························12分
第 6 页 共 11 页

法二：令
b
n
n2
2
c
n 1
c
n
，令
c
n
(AnB)2
n
，
∴
b
n
c
n1
c
n
(An AB)2
n1
(AnB)2
n
n2
n
．
∴
A1，B2
． ··························· ·················································· ········· 9分
∴
b
1
b
2
b
n
c
2
c
1
c
3
c
2
c
n1
c
n
c
n1
c
1

···········································12分
(n12)2
n
(12)2=(n1)2
n1
 2
． ·
18．解：（Ⅰ）
22
列联表如下

一等品
非一等品
合计
甲工艺
50
50
100
乙工艺
60
40
100
合计
110
90
200




······································ 3分
200 (50406050)
2

2.023.841
， ····· ··············································· 6分
10010011090
2
所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出来一等品 有关． ···································· 8分
（Ⅱ）甲工艺抽取的100件产品中，一等品有50件，二等品有30件，三等品有20件，
··································· 10分
所以这100件产品单件利润的平均数为
1
(503030202015)24
. ················· 12分
100
19．解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）如图，连 结A
1
B与AB
1
交于E，连结DE，则E为A
1
B的中点 ，
∴BC
1
∥DE，
DE
平面
AB
1
D
，
BC
1

平面
AB
1
D
,
∴
BC
1
∥平面
AB
1
D
． ····· ·················································· ····································· 6分
（Ⅱ）过点
D
作
DHA
1
B
1
，∵正三棱柱
ABC A
1
B
1
C
1
，∴
AA
1
平 面A
1
B
1
C
1
，
AA
1
D H
，
AA
1
A
1
B
1
A
1< br>，
DH
为三棱锥
DABB
1
的高 ·∴
DH< br>平面
ABB
1
A
························ ················· 8分
1
．
11
S
ABB
1
ABBB
1
2MHA
1
B
1
2
， ················································ 10分
22
DHA
1
Dtan

3

3
．
2
136
2
． ················· ············································ 12分 < br>326
∵
V
BAB
1
D
V
DABB< br>1

20.解：（Ⅰ）设以
PF
1
为直径的圆经过椭圆
M
短轴端点
N
，
第 7 页 共 11 页

∴
|NF
1
|a
，∵
e
∴
NF
1P
1
，∴
a2c
，
2

3
，
|F
········································ ············································· 3分
1
P|2a
． ·
∴
F
2
(c,0)
是 以
PF
1
为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线
x3y30
相切，
∴
2c
c3< br>1(3)
2
，∴
c1,a2,b3
，
x
2
y
2
1
．·∴椭圆
M
的方程为：·········· ·················································· ·················· 5分
43
（Ⅱ）法一：
设点
A (x
1
,y
1
)
，
C(x
2
,y
2
)
，则点
B(x
1
,y
1
)
， 
x
2
y
2
1，


设直线
PA
的方程为
yk(x3)
，联立方程组

4
3

yk(x3).

化简整理得
(4k
2
3)x
2
24k
2
x36k
2
120
，
由
(24k
2
)
2
4(34k
2< br>)(36k
2
12)0
得
k
2

3< br>．
5
24k
2
36k
2
12
,x
1
x
2

则
x
1
x
2
．··············································· ······························· 8分
22
4k34 k3
直线
BC
的方程为：
yy
1

y
2
y
1
(xx
1
)
，
x
2
x
1
72k
2
2472k
2

22
y
1
x
2
y
2
x
1
2x
1
x
2
3(x
1
x
2
)
4
令
y0
，则
x=
4k3
2
4k3
=
24k
y
1
y
2
x
1
x
2
63
6
4k
2
3
4
∴
Q
点坐标为
(,0)
． ···································· ·················································· ············· 12分
3
法二：
设点
A(x
1< br>,y
1
)
，
C(x
2
,y
2
)，则点
B(x
1
,y
1
)
，
设直线方程为
xmy3
．

xmy3，

由

x
2
y
2

1.

3

4
第 8 页 共 11 页