一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该< br>9
六棱柱的体积为，底面周长为
3
，那么这个球的体积为_________．
8

【例22】 如图，在等腰梯形
ABCD
中，
AB2 DC2,DAB60

，
E
为
AB
的中点，将
ADE
与
BEC
分
别沿
ED,EC
向上折起，使< br>A,B
重合于点
P
，则三棱锥
PDCE
的外接球的体积（ ）
D
C
A
A．
43


27

6

6

6

B． C． D．
2824
E
B


【例23】 （2008重庆理9）如图 ，体积为
V
的大球内有
4
个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，
4
个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的
4
个顶点．
V
1
为小球相交
部分（图中阴影部分）的体积，
V
2
为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确
的是（ ）
VV
B．
V
2


22
C．
V
1
V
2
D．
V
1
V
2



【例24】 (2 005全国Ⅱ，理12)将半径都为
1
的
4
个钢球完全装入形状为正四面体的 容器里，这个正四面体
A．
V
1

的高的最小值为( )
A．

326

3
26

3
26

3
4326

3

B．
2
C．
4
D．
综合问题
与三视图、直观图综合
【例1】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A．
183
B．
153
C．
2483
D．
24163

- 4 -

23
2
主视图
左视图
俯视图


【例25】
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为_______．
23
2
主视图
左视图
俯视图



【例26】 （2009宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：
c m
2
）为（
3
3
4
4
6
6
63
6

A．
48122
B．
48242

C．
36122
D．
36242



【例27】
（2010年丰台一模）
若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：
cm
），
3
主视图
26
侧视图
俯视图

则该几何体的体积是
cm
3
．

【例28】
（2010石景山一模）
一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：
cm
2
）为（ ）
A．
80
B．
60
C．
40
D．
20

- 5 -
）

【例29】
（2010年东城一模）
下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．
2
2正（主）视图
1
1
2
俯视图
2
侧（左）视图


【例30】
（2010年东城一模）
已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．
622
B．
62
C．
522
D．
52

2
1
主视 图
1
1
俯视图
2
1
侧视图


【例31】
（2010年宣武一模）
若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
cm
3
．
- 6 -

2
1
2< br>正视图
左视图
1
1
俯视图
10题图




【例32】 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．
2
4
俯视图主视图
4
左视图


【例33】
（2010年崇文一模）
有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：
cm
），该几何体的表面积和体积为（ ）
A．
24πcm
2
,12πcm
3
B．
15πcm
2
,12πcm
3

C．
24πcm
2
,36πcm
3
D．以上都不正确
5
6
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图


【例34】
（朝阳·文·题12）
如下图所示，一个空间几何体的正视 图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的
圆，那么这个几何体的全面积为 ．
- 7 -

正视图
侧视图
俯视图



【例35】 （2010天津高考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
1
2
1
正视图
2
2
俯视图
1
2< br>1
侧视图




【例36】 （2010浙江高考）若某几何体的三视图（单位：
cm
）如图所示，则此几何体的体积是
cm
3
．
2
4
2
2
3
正视图< br>2
4
2
俯视图
(第12题)
侧视图


【例37】
（2010年崇文二模）
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
- 8 -

2
2
正（主）视图
2
侧（左）视图
4
俯视图

B．
83

3
A．
12



C．
56

3
D．
4

【例38】
（2010年朝阳二模）
一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ）
A．
112
B．
80
C．
72
D．
64

3
4
4
正视图侧视图
4
俯视图



【例39】 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长 为8、高为4的
等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
⑴求该几何体的体积
V
；
⑵求该几何体的侧面积
S
．
6
8

- 9 -

【例40】 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，
20
20
20
主视图
10
10
20
左视图

可得这个几何体的体积是_______．



【例41】 （ 2009扬州中学高三期末）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外
接球的 表面积为 ．
3
4
2
俯视图


【例42】 （2008山东文理6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
2

3
2
正(主)视图
2
侧(左)视图
俯 视图
A．
9π

C．
11π

B．
10π

D．
12π




【例43】 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为
2
的正三角形，俯视图是直 径为
2
的圆，如图，则
此几何体的外接球的表面积为 ．
主视图
左视图
俯视图


【例44】 （2008新课标海南宁夏）
- 10 -

如下的三个图中，上面的是一个 长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在
下面画出（单位：
cm
）．
⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
⑶在所给直观图中连结
BC
，证明：
BC

∥
面
EFG
．
D'
G
F
B'
C
B
6
2
2
4
C'E
A
2
D
正视图
4
侧视图



【例45】 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）．
D
C
E
M
A
2
2
22
直观图
B
NF
2
2
2
三视图
2
⑴求证：MN∥平面CDEF；
⑵求多面体A—CDEF的体积．

其他问题


【例46】 已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为 ．

【例47】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底 面的四个顶点是下层
正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（包括 上下底面面
- 11 -

积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7


【例48】 （2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾 斜；③四
向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为
P
若屋顶斜面与水平面所成的角都是a
，则（ ）
1
、
P
2
、
P
3< br>．
A．
P
3
P
2
P
1

C．
P
3
P
2
P
1







B．
P
3
P
2
P
1

D．
P
3
P
2
P
1



杂题

【例49】 （2008江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容 器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容
器内盛有
a
升水时，水面恰好经过正四 棱锥的顶点
P
．如果将容器倒置，水面也恰好过点
P
（图
2）．有下 列四个命题：
P
P
图1
图2

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
P

C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
P

D．若往容器内再注入
a
升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．

【例50】 （2002年全国文最后一题）⑴给出两块相同 的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪
拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱 模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相
等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中 ，并作简要说明；
⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
- 12 - < /p>

⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面 积与给
出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
图1
图2
图3


【例51】 （2006江苏）两相同的 正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为
1
的正方体内，使正四棱锥
的底面
ABCD
与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的
． ．．
可能值有（ ）

A．
1
个 B．
2
个
C．
3
个 D．无穷多个

【例52】 （06江西卷）如图，在四面体
ABCD
中，截面
AEF
经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）
球心
O
，且与
BC
，
DC
分别截于
E
、
F
，如果截面将四面体分成体积相等的两 部分，设四棱锥
ABEFD
与三棱锥
AEFC
的表面积分别是
S
1
，
S
2
，则必有（ ）
A
D
B< br>E
O
F
C
A．
S
1
S
2
B．
S
1
S
2


C．
S
1
S
2
D．
S
1
，
S
2
的大小关系不能确定


【例53】 （2004福建，16）如图，将边长为
1
的正六边形铁皮的六个角各切 去一个全等的四边形，再沿虚
线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图）． 当这个正六棱柱容器的底面边长为
时，其容积最大．

- 13 -

【例54】 （2005全国Ⅱ，理12）将半径都为
1
的
4
个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面
体的高的最小值为 （ ）
A．
326

3
26

3
26

3
4326

3
B．
2
C．
4
D．

【例55】 养路处建造圆锥形仓 库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径
为
12
m< br>，高
4m
．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新
建的仓库的底面直径比原来大
4m
（高不变）；二是高度增加
4m
（ 底面直径不变）．
⑴分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
⑵分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
⑶哪个方案更经济些？


- 14 -