中科院力学研究所-焦作大学录取分数线

第3讲 分类讨论思想
思想方法·简明概述
分类讨论的原则 分类讨论的常见类型
1.由数学概念而引起的分
类讨论
2.由数学运算要求而引起
1.不重不漏
2.标准要统一，层次要分明
3.能不分类的要尽量避免，决不
无原则的讨论
的分类讨论
3.由性质、定理、公式的
限制而引起的分类讨论
4.由图形的不确定性而引
起的分类讨论
5.由参数的变化而引起的
分类讨论
分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解成 若干个基
础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策
略
热点探究·考向调研
调研一 由数学运算要求引起的分类讨论
【例1】 (1)[ 2019·安徽芜湖模拟]若函数f(x)＝
|x
－
2|

，x≤2 ，

2

的最小值为f(2)，则实数a的取值范围是( )

log
2
x＋a，x>2


A．a<0
C．a≤0
B．a>0
D．a≥0
解析：当x≤2时，f(x)＝2< br>|x
－
2|
＝2
2
－
x
，f(x)单调递减 ，所以f(x)的
最小值为f(2)＝1；当x>2时，f(x)＝log
2
(x＋a )，f(x)单调递增，则由
题意可得log
2
(x＋a)≥1恒成立，即x＋a≥2 恒成立，所以a≥(2－x)
max
，
得a≥0，故选D.
答案：D

1

x


－7，x<0，
(2)[2018·武汉一模]设函数f(x)＝


2


x，x≥0，
实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(1，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

若f(a)<1，则

1< br>
a

1

a

解析：若a<0，则2
－7<1，即

2

<8，2
－
a
<2
3
，得－3
a≥0，则a<1，得0≤a<1.综 上，－3答案：C
方法点睛
由数学运算要求引起的分类讨论 主要是在运算过程中，运算变量
在不同取值范围内计算形式会不同，所以要进行分类讨论．
调研二 由概念、性质、公式引起的分类讨论
【例2】 (1)[2019·福建龙岩模拟] 若a>0且a≠1，则“a
x
>a
y
”是
“log
a
|x|>log
a
|y|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当 a>1时，由a
x
>a
y
得x>y，但由x>y不能推得|x|>|y|.例 如：
x＝1，y＝－2，所以充分性不成立；由|x|>|y|也不能推得x>y.例如：x
＝ －2，y＝1，所以必要性不成立．
当0x
>a
y
得x＝－2，y＝1；由|x|<|y|也不能 推出x分性、必要性都不成立，故选D.
答案：D

(2)[2018·武昌调研]等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若对任意的正
整数n，S
n
＋
2＝4S
n
＋3恒成立，则a
1
的值为( )
A．－3
C．－3或1
B．1
D．1或3
解析：设等比数列{a
n}的公比为q，当q＝1时，S
n
＋
2
＝(n＋2)a
1
，
S
n
＝na
1
，由S
n
＋
2
＝4S
n
＋3得，(n＋2)a
1
＝4na
1
＋3，即3a
1
n＝2a
1
－3，
若对任意的正整数n,3a
1
n＝2a
1
－3恒成立，则a
1
＝0且2a
1
－3＝0，< br>矛盾，所以q≠1，
a
1
1－q
n

a
1
1－q
n
＋
2

所以S
n
＝，Sn
＋
2
＝，
1－q1－q
代入S
n
＋
2
＝4S
n
＋3并化简得a
1
(4－q
2
)q< br>n
＝3＋3a
1
－3q，若对任意
的正整数n该等式恒成立，则有 < br>2


4－q
＝0，

a
1
＝ 1，

a
1
＝－3，

解得

或




3＋3a
1
－3q＝0，

q＝2

q＝－2，

所以a
1
＝1或－3，故选C.
答案：C
(3)若函数f(x)＝a
x
(a>0，a≠1)在区间[－1, 2]上的最大值为4，最
小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝
________.
1
解析：若a>1，有a＝4，a＝m，此时a＝2，m＝< br>2
，此时g(x)
2
－
1
＝－x为减函数，不合题意．
若0－
1
＝4，a
2
＝m，
11
故a＝
4
，m＝
16
，经检验知符合题意．
1
答案：
4

方法点睛
“四步”解决由概念、性质、公式引起的分类讨论问题
(1)确定分类的目标与对象，即确定分类的目标．一般把需要用

到概念、性质、公式解决问题的对象作为分类目标．
(2)根据概念、性质、公式确定分类标准，运用概念、性质、公
式对分类对象进行区分．
(3)分类解决“分目标”问题，对分类出来的“分目标”分别进
行处理．
(4)汇总“分目标”，将“分目标”问题进行汇总，得出整体结
论．
调研三 由图形位置或形状引起的分类讨论
x
2
y
2
【例3】 (1)[2 017·全国卷Ⅰ]设A，B是椭圆C：
3
＋
m
＝1长轴
的两个端点 ．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围
是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
B．(0，3 ]∪[9，＋∞)
D．(0，3 ]∪[4，＋∞)
解析：当0a3
AMB＝120°，则
b
≥tan60°＝3 ，即≥3，得03时，
m
a
焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠ AMB＝120°，则
b
≥tan60°
＝3，即
故选A.
答案：A
(2)正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的
体积为( )
83
A.
3

23
C.
9

B．43
83
D．43或
3

m
≥3，得m≥9 ，所以m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)，
3
1
解析：当正三棱柱的高为4时 ，体积V＝2×3×
2
×4＝43；

42318 3
当正三棱柱的高为6时，体积V＝
3
×
3
×
2
× 6＝
3
，故选D.
答案：D
x
2
y
2
(3)设F
1
，F
2
为椭圆
9
＋
4
＝1的 两个焦点，P为椭圆上一点．已
|PF
1
|
知P，F
1
，F
2
是一个直角三角形的三个顶点，且|PF
1
|>|PF
2
|，求
|PF|
的
2
值为________．
解析：①若∠PF
2
F
1
＝90°.
则|PF
1
|
2
＝|PF
2
|
2
＋|F
1
F
2
|
2
，
又因为|PF
1
|＋|PF
2
|＝6，|F
1
F
2
|＝25，
144|PF
1
|7
解得|PF
1
|＝
3
，|PF
2
|＝
3
，所以
|PF|
＝
2
.
2
②若∠F
1
PF
2
＝90°，
则|F
1
F
2
|
2
＝|PF
1
|
2
＋| PF
2
|
2
，
所以|PF
1
|
2
＋(6－|PF
1
|)
2
＝20，
|PF
1
|
所以|PF
1
|＝4，|PF
2
|＝2，所以
|PF|＝2.
2
|PF
1
|7
综上可知，
|PF|
＝
2
或2.
2
7
答案：
2
或2
方法点睛
几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论
(1)二次函数对称轴的变化．
(2)函数问题中区间的变化．
(3)函数图象形状的变化．
(4)直线由斜率引起的位置变化．
(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．
调研四 由参数变化引起的分类讨论
【例4】 [2019·全国卷Ⅲ，20节选]已知函数f(x)＝2x< br>3
－ax
2
＋b，

讨论f(x)的单调性．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝6x
2
－2ax＝2x(3x－a)．
a


－∞，
若a＜0，则当x∈
3

∪(0，＋∞)时，f′(x )＞0；


a

当x∈

3
，0
时，f′(x)＜0.

a

a


上单调递减．
－∞，，0
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在
33

，
 
当a＝0时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

a< br>
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪

3
，＋∞

时，f′(x)＞0；

a

当x∈

0，
3

时，f′(x)＜0.

a

a
< br>
，＋∞

上单调递增，故f(x)在(－∞，0)，在

0 ，
3

上单调递减．

3

方法点睛
几种常见的由参数变化引起的分类讨论
(1)含有参数的不等式的求解．
(2)含有参数的方程的求解．
(3)对于解析式系数含参数的函数，求最值与单调性问题．
(4)二元二次方程表示曲线类型的判断等．