克雷洛夫寓言-态度决定一切

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在

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此
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_< br>_
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号
卷
生
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考
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上

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_< br>_
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_< br>_
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名
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_
姓_
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答

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题
_
校
学
业
毕
-- ------------------
无
--------------------
效

绝密★启用前
江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
本试卷共160分.考试时长120分钟.
参考公式：
锥形的体积公式
V
1
3
Sh
,其中
S
是椎体的底面积,
h是椎体的高。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集 合
A{0,1,2,8}
,
B{1,1,6,8}
,
那么AB
.
2.若复数
z
满足
i z12i
,其中
i
是虚数单位,则
z
的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数
的平均数为 .

4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的
S
的值为 .

5.函数
f(x)log
2
x1
的定义域为 .
6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名
女生的概率为 .
7.已知函数
ysin(2x

)(
π
2



π
2
)
的图象关于直线x
π
3
对称,则

的值
是 .
数学试卷 第1页（共42页）
在平面 直角坐标系
xOy
中,若双曲线
x
2
y
2
8.a
2

b
2
1(a0,b0)
的右焦点
F(c,0)
到一条
渐近线的距离为
3
2
c
,则其离心率的 值是 .
9.函数
f(x)
满足
f(x4)f(x)(xR)
,且在区间
(2,2]
上,

cos

x(0＜x
f

x





2
≤2)，
,则
f(f(15))
的值为 .

1


x
2
(-2＜x≤0)，
10.如图所示,正方体的 棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .

11.若函数
f (x)2x
3
ax
2
1(aR)
在
(0,)< br>内有且只有一个零点,则
f(x)
在
[1,1]
上
的最大值 与最小值的和为 .
12.在平面直角坐标系
xOy
中,
A
为直线
l:y2x
上在第一象限内的点,点
B(5,0)
,以
AB
为直径的圆
C
与直线
l
交于另一点
D
.若
ABCD0
,则点
A
的横坐标
为 .
13.在
△ ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对应的边分别为
a
,
b
,
c
,
ABC120
,
A BC
的平分
线交
AC
于点
D
,且
BD1
,则
4ac
的最小值为 .
14.已知集合
A{xx2n1 ,nN
*
}
,
B{xx2
n
,nN
*}
.
将
AB
的所有元素从小
到大依次排列构成一个数列
{a
n
}
,记
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和,则使得
S
n
＞12a
n1
成
立的
n
的最小值为 .



数学试卷 第2页（共42页）

二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15.(本小题满分14分)
在平行六面体
ABCDA
1
B1
C
1
D
1
中,
AA
1
AB
,
AB
1
B
1
C
1
.

求证 ：(Ⅰ)
AB
∥
平面
A
1
B
1
C
；

(Ⅱ)平面
ABB
1
A
1

平面A
1
BC
.
(Ⅰ)求
cos2

的值；
(Ⅱ)求
tan(



)
的值.

16.(本小题满分14分)
已知

,

为锐角,
tan


4
5
,
cos(



)
.

5
3



数学试卷













第3页（共42页）




















数学试卷 第4页（共42页）

17.(本小题满分14分) 18.(本小题满分16分)


_
_
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-------------在
_
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_--------------------
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此
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号

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考
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卷
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名
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上
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姓_
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_< br>_
答
_
_
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_
_
校
学
业< br>毕
--------------------
题
------------- -------
无
--------------------

效
某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆
O
的一段圆弧
MPN
(
P
为此圆弧的中
点)和线段
MN
构成,已知圆
O
的半径为4 0米,
点
P
到
MN
的距离为50米.现规划
在此农田上修建 两个温室大棚,大棚
Ⅰ
内的地块形状为矩形
ABCD
,大棚
Ⅱ
内的地
块形状为
△CDP
,要求点
A
,
B
均在线 段
MN
上,
C
,
D
均在圆弧上.设
OC
与
MN
所成的角为

.

(Ⅰ)用

分别表 示矩形
ABCD
和
△CDP
的面积,并确定
sin

的取值范围；
(Ⅱ)若大棚
Ⅰ
内种植甲种蔬菜,大棚
Ⅱ
内种植乙 种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面
积年产值之比为
4:3
.
求当

为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.













数学试卷 第5页（共42页）
如图 ,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
过点
(3,
1
2
)
,焦点
F
1
(3,0)
,
F
2< br>(3,0)
,
圆
O
的直径为
F
1
F
2
.

(Ⅰ)求椭圆
C
及圆
O
的方程；
(Ⅱ)设直线
l
与圆
O
相切于第一象限内的点
P
.

①若直线
l
与椭圆
C
有且只有一个公共点,求点
P
的坐标；
②直线
l
与椭圆
C
交于
A
,
B
两点.若
△OAB
的面积为
26
7
,求直线
l的方程.













数学试卷 第6页（共42页）

19.(本小题满分16分)
记
f

( x)
,
g

(x)
分别为函数
f(x)
,
g(x)
的导函数.若存在
x
0
R
,满足
20.(本小题 满分16分)
设
{a
n
}
是首项为
a
1
,公差为
d
的等差数列,
{b
n
}
是首项
b
1
,公比为
q
的等比数列.
(Ⅰ)设
a
1
0
,
b
1
1
,
q2
若
|a
n< br>b
n
|≤b
1
对
n1,2,3,4
均成立,求< br>d
的取值范围；
(Ⅱ)若
a
1
b
1
0
,
mN
*
,
q(1,
m
2]
,
证明：存在
dR
,使得
|a
n
b
n
|≤b< br>1
对
f(x
0
)g(x
0
)
且
f

(x
0
)g

(x
0
)
,则 称
x
0
为函数
f(x)
与
g(x)
的一个“
S
点”.
(Ⅰ)证明：函数
f(x)x
与
g(x)x
2
2x2
不存在“
S
点”；
(Ⅱ)若函数
f(x) ax
2
1
与
g(x)lnx
存在“
S
点”, 求实数
a
的值；
n2,3,…,m1
均成立,并求
d
的取值范围(用
b
1
,
m
,
q
表示).
Ⅲ)已知函数
f(x)x
2
a
,
g(x)
bex
(
x
.
对任意
a0
,判断是否存在
b0
,使函
数
f(x)
与
g(x)
在区间
(0,)
内存在“
S
点”,并说明理由.

















数学试卷 第7页（共42页）




















数学试卷 第8页（共42页）

-------------
----------------
数学Ⅱ(附加题)
本试卷均为非选择题(第21题~第23题).
本卷满分40分,考试时间为30分钟.
21.
【选做题】本题包括A,B,C,D 四小题,请选定其中两小题并作答,若多做,则按作答
．．．．．．．．．．．

C.[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,直线
l
的方程为
psin（
被曲线
C
截得的弦长.
在

6


）2
,曲线
C
的方程为
p4 cos

,求直线


_
_
_
----- ---------------
_
_
此
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
号

生
_
--------------------
_
考
_
卷< br>_

_

_

_

_
< br>_
_
_
_
_
_
_
_
_
_< br>
_

_

_
--------------------

_
_
_< br>_
上
_
_
_
_
_
_
_
_< br>_
_
_
_
名
_
_
姓_
_

_

_

_
--------------------

_

答< br>_
_
_
_
_
_
_
_
_
_< br>_
_
_
校
--------------------
学题
业
毕
--------------------
无
---- ----------------
效
的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。

A.[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图,圆
O的半径为2,
AB
为圆
O
的直径,
P
为
AB< br>延长线上一点,过点
P
作圆
O
的切线,切点为
C
,若
PC23
,
求
BC
的长.


B.[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵
A
< br>
23


12



(I)求
A
的逆矩阵
A
1
；
(Ⅱ)若点
P
在矩阵
A
对应的变换作用下得到点
P（'31，）
,求点
P
的坐标。





数学试卷 第9页（共42页）











D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
若
x，y，z
为实 数,且
x2y2z6
,求
x
2
y
2
z< br>2
的最小值.









数学试卷 第10页（共42页）

【必做题】第2 2题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)如图,在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中,
ABAA
1
2
,点
P，Q
分别
为
A
1
B
1
,BC
的中点.
(I)求异面直线
BP
与
AC
1
所成角的余弦值；
(Ⅱ)求直线
CC
1
,与平面
AQC
1
所成角的正弦值.
23.(本小题满分10分)
设
nN
*
,对1,2,…,
n
的一个排列
i
1
i
2
i
n
,如果当< br>st
时,有
i
s
i
t
,则称是
（is
，i
t
）
排列
i
1
i
2
i
n
的一个逆序,排列
i
1
i
2
i
n
的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对
1,2,3的一个排列231,只有两个逆序

2,1

，

3,1

,则排列231的逆序数为 2.记
f（
n
k）
为
1,2,,n
的所有排列中逆序数为< br>k
的全部排列的个数。
(I)求
f
3

2

,f
4

2

的值；
）
(Ⅱ)求f（

n5

的表达式(用
n
表示)。
n< br>2

数学试卷 第11页（共42页） 数学试卷第12页（共42页）

江苏省
2018
年普通高等学校招生全国统一考试

数学答案解析

一、填空题
1.【答案】
{1,8}

【解析】观察两个集合即可求解。
【考点】集合的交集运算
2.【答案】2 【解析】
i(abi)aibi
2
aib12i
，故a2,b1,z2i
.
【考点】复数的运算
3.【答案】90
【解析】
8989909191
90

5
【考点】茎叶图，数据的平均数
4.【答案】8

I1
【解析】代入程序前

符合
I6
， < br>S1


I3
第一次代入后

，符合
I 6
，继续代入；
S2


I5
第二次代入后

，符合
I6
，继续代入，
S4


I 7
第三次代入后

，不符合
I6
，输出结果
S8
，
S8

故最后输出
S
的值为
8
.

【考点】伪代码
5.【答案】
[2,)

7 21


logx1≥0
【解析】

2
，解之得
x≥2
，即
[2,)
.
x0

【考点】函数的定义域，对数函数
6.【答案】
3

10
【解析】假设
3
名女生为< br>a,b,c
，男生为
d,e
，恰好选中
2
名女生的情况有：选
a
和
b
，
a
和
c
，
b
和
c
三种。
总情况有
a
和
b
，
a
和
c
，
a
和
d
，
a
和
e
，
b
和
c
，
b
和
d
，
b
和
e
，
c
和
d
，
c
和
e
，
d
和
e
这
10
种，两
者相比即为答案
3

10
【考点】古典概型
7.【答案】：



6
【解析】函数的对称轴为

2
+k


2
+k

(kZ)
，
故把
x

3< br>代入得
2



k

,

k


326
因为


2




2
，所以
k0,



6
.
【考点】正弦函数的图像和性质
8.【答案】2
【解 析】由题意画图可知，渐近线
y
b
x
与坐标轴的夹角为
60
。
a
故
b
c
3,c
2
a
2
b
2
4a
2
，故
e2
.
a
a
【考点】双曲线的几何性质
9.【答案】
2

2
【解析】因为
f(x4)f(x)
，函数的周期为
4
，
所以
f(15)f(1),f(1)1
11


22

2

1

∴
ff(f(15))f
cos
.
42

2

【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解

8

10.【答案】
【解析】平面
A BCD
将多面体分成了两个以
2
为底面边长，高为
1
的正四棱锥，
所以其体积为
2212
4
3
1
3
4.
3

【考点】空间几何体的结构，体积的计算
11.【答案】
3

【解析】
f(x)2x
3
ax
2
1a2x
1

x
2
令
g (x)2x
1
'
2
,g(x)202x
3
3 x
2
1

23
xx
在
(0,1)
上单调 递减，在
(1,)
上单调递增
∵有唯一零点∴
ag(1)21 3f(x)2x
3
3x
2
1

求导可知在
[1,1]
上，
f(x)
min
f(1)4,f(x)
m ax
f(0)1

∴
f(x)
min
f(x)
max
3

【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用
12.【答案】3
【解析】∵
AB
为直径∴
ADBD

∴
BD
即
B
到直线
l
的距离。
BD
025
12
22
25

∵
CDACBCr
，又
CDAB

∴
AB2BC210

设
A(a,2a)

A B(a5)
2
4a
2
210a1
或
3
（舍去）.
【考点】直线方程，圆的方程以及直线与圆的位置关系
13.【答案】9
9 21

【解析】由面积得：
acsin120
1
2
11
asin60csin60

22
化简得
acacc
a
(0a1)

a1
4ac4a
a1
14(a1)5
a1(a1)
1
59
a1

≥24(a1)
当且仅当
4(a1)
13
，即
a,c3
时取等号。
a12
【考点】三点共线，基本不等式的应用
14.【答案】27
【解 析】
B{2,4,8,16,32,64,128}
与
A
相比，元素 间隔大。所以从
S
n
中加了几个
B
中元素考虑。
1
个：
n112,S
2
3,12a
3
24
2
个：
n224,S
4
10,12a
5
60

3
个：
n437,S
7
30,12a
8
108

4
个：
n8412,S
12
9 4,12a
13
204

5
个：
n16521,S
21
318,12a
22
396

6
个：n32638,S
38
1150,12a
39
780

发现
21≤n≤38
时
S
n
12a
n+1
发生变号，以下用二分法查找：
S
30
687,12a
31
 612
，所以所求
n
应在
2229
之间.
S
2 5
462,12a
26
492
，所以所求
n
应在
2529
之间.
S
27
546,12a
28
54 0
，所以所求
n
应在
2527
之间.
a
26
503,12a
27
516.

∵S
27
12a
28
，而
a
26
12a27
，所以答案为
27
.
【考点】等差数列，等比数列
二、解答题
15.【答案】（Ⅰ）∵平行六面体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1

∴面
ABCD
面< br>A
1
B
1
C
1
D
1

∵
AB
面
ABCD

∴
AB
面
A
1
B
1
C
1
D
1

又面
ABA
1
B
1
面
A
1
B
1
C< br>1
D
1
A
1
B
1

且
AB
面
ABA
1
B
1


10

∴
ABA
1
B
1

又
A
1
B
1

面
A
1
B
1
C,AB
面
A
1
B
1
C

∴
AB
面
A
1
B
1
C

（Ⅱ）由
1
可知：
BCB
1
C
1

∵
AB
1
B
1
C
1

∴
AB
1
BC

∵平行六面体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1

∴
ABA
1
B
1

又由
1
得
ABA
1
B
1

∴四边形
ABB
1
A
1
为平行四边形
∵
AA
1
AB
1

∴平行四边形
ABB
1
A
1
为菱形
∴
AB
1
A
1
B

又
A
1
BBCC

∴
AB
1

面
A
1
BC

∵
AB
1

面
ABB
1
A
1

∴面
ABB
1
A
1

面
A
1BC

【考点】空间直线与平面平行、垂直的正面
16.【答案】（Ⅰ）方法一：
∵
tan


4sin

3
∴
c os


4
3

又
sin
2

cos
2

1

∴
sin
2


16
25
,cos
2


9
25

∴
cos2

cos
2

sin
2


7
25< br>
方法二：
11 21

cos2

cos
2

sin
2

c os
2

sin
2

1tan
2
< br>

cos
2

sin
2

1 tan
2


4

1

7
3


2

25

4

1


3

（Ⅱ）方法一：
2
cos2


7

24

,

为锐角


sin2

0sin2


254225
∵
cos(


)

5
,

,

均为锐角，
< br>





5
2
∴
si n(



)
25

5
115

25
25

25
∴
cos(



)cos(2

(



))cos2< br>
cos(



)sin2

sin(



)
∴
sin(


< br>)sin(2

(



))sin2

cos(



)cos2

sin(


)
∴
tan(


)
方法二：
sin

(



)2

< br>cos(



)11
∵

为锐角
cos2


7
∴
2

(0,
)

25
24

25
∴
sin2
< br>1cos
2
2


∴
tan2


24

7
5

5
∵

,< br>
为锐角∴



(0,

)
又 ∵
cos(



)
∴
sin(
< br>

)
25

5
∴
tan(



)2

∴
tan(



)tan(2

(



))
tan2

tan(



)

1tan2

tan(



)
12

7
(2)
2
25


11
7

1(2)




25
< br>
【考点】同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换
17.【答案】（Ⅰ）过
N
作
MN
垂直于交圆弧
MPN
于，设
PO
交CD
于
H

BC40sin

10,AB24 0cos

80cos

,PH4040sin


S
矩形ABCD
=ABBC(40sin

10)80co s

3200sin

cos

800cos


11
S
CDP
ABPH80cos


4040sin


1600cos

1600sin

cos

.
22
当
C点落在劣弧
MN
上时，
ABMN
，与题意矛盾。
所以点
C
只能落在劣弧上.
所以
MN1
≤40sin
＜OP
，即
sin

1

24
（Ⅱ）设甲种蔬菜年产值为
4k(k0)
，则乙种蔬菜年产值为
3k
，设总 年产值为
y

ksin

cos

cos

）
则
y4kS
矩形ABCD
+3kS
△CDP
8000（

222
设
f



s in

cos

cos

,f'

< br>
cos

sin

sin

2 sin

sin

1

令
f

(

)0
，解得
sin

1
或
1
1



，根据
1
舍去
1
，记
sin

0
,

0


0,< br>

4
2

2





,



62



f

(

)






0
,


6



6
0

极大值
极大值


单调递增
单调递增


单调递减
单调递减
f(

)

y

答：当



6
时，年总产值最大.
【考点】三角函数、导数在实际问题中的应用
x
2
18.【答案】（Ⅰ）
y
2
1

4
（Ⅱ）①
(2,1)
②
y5x32

13 21


c
2
a
2
 b
2
3

【解析】（Ⅰ）由题意



1

31
点3，代入1



2
< br>a
2
4b
2


解得
a
2
4
，
b
2
1

x
2
即椭圆标准方程为
y
2
1

4< br>（Ⅱ）设
P(m,n)
，则
m
2
n
2
3

显然
l
斜率存在，设，
l:ykxp,k
OP
=
n
，

m
则
k
m
m
，
l:yp
n
n
m
2
3
将
P(m,n)
代入，得
pn

nn
∴
l:y
m3
x
与椭圆方程联立
nn
得
(4m
2
n
2
)y
2
6ny9 4m
2
0

①与椭圆相切，则
0
，即
36 n
2
4(4m
2
n
2
)(944m
2)0


m
2
0

m
2
2
将
mn3
代入，解得

2
(舍去)或
< br>2


n3

n1
22
由于
P
在第一象限，则
m2
，
n1

即
P(2,1)

②设
l
与轴交点为
M

在
l:y
m3
3

3

x
中令
y0
，得
x
，即
M

,0
< br>
nn
n

n

假设
A
的纵坐标大 于
B
的纵坐标
S
△OAB
S
△OAM
S△OBM

13
|y
A
y
B
|
< br>2m
而
|y
A
y
B
|(y
A
 y
B
)
2
4y
A
y
B

6n< br>94m
2
2
，
y
A
y
B

22
a4,b
2
1

y
A
y
B< br>
22
4mn
4mn
3
即
2m

2

6n

4(94m)26



22

22
4mn4mn7

2
14

将
m
2
n
2
3
代入
化简得
3
2m
16
22
m(m2)
26
3


m
2
17
解此方程，得
m
220
，(由已知条件，
m(0,3)
舍)或
5
1
，
n
2


2
2
由于
P
在第一象限 ，则
m
102
，
n

22
回代入
l: y
m3
x
，得
l:5x32

nn
【考点】直线方程，圆的方程，椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆、圆的位置关系
19.【答案】（Ⅰ）
f

(x)1
，
g
(x)2x2


x
0
2
2x2x
0
…(1)

若存在，则有


12x+2…(2)
0

根据2得到
x
0

代入1不符合，因 此不存在
1
2
（Ⅱ）
f

(x)2ax
，g

(x)
1

x

ax
0
1lnx
0
…(1)

根据题意有

且有
x
0
0

1
2ax…(2)
0

x0

根据2得到
x
0

1
e
代入1得 到
a

2a
2
be
x
(x1)
（Ⅲ）
f

(x)2x
，
g

(x)
< br>2
x

be
x
2
…(1)

x< br>0
a
x

0
根据题意有


x
0
be(x1)

2x
0
…(2)
0
2

x
0

2x
0
2
00x< br>0
1
根据2有
be
x
0
1
x
0
2x
0
2
0
转化为
x
0
a
x
0
1
2
15 21

∵
0x
0
1

∴x
0
3
x
0
2
a(x
0
1) 2x
0
2
0

m(x)x
0
2
3x
0
2
a(x
0
1)0

转化为
m(x)
存在零点
x
0
，
0x
0
1

又
m(0)a0
，
m(1)2

∴恒存在零点大于0小于1
∴对任意均存在
b0
，使得存在“
S
点”.
【考点】函数的新定义，导数与函数的综合应用
20.【答案】（Ⅰ）由题意得
|a
n
b
n
|≤1
对任意
n1,2,3,4
均成立
故当
a
1
0
，
q2b
1
1
时

|01|≤1

1≤d≤3


|d2 |≤1

5

3

可得

即
< br>≤d≤

2

|2d4|≤1

2
75< br>

|3d8|≤1

≤d≤

2
3
所以
≤d≤

（Ⅱ）因为
a
1
b
1
0
，
|a
n
b
n
|≤b
1
对
n2,3,…m1
均能成立
把
a
n
，
b< br>n
代入可得
|b
1
(n1)db
1
q
n1
|≤b
1
(n2,3,…,m1)

n1
b< br>1
q
n1
b
1
b
1
n1
化简后 可得
2b
1
(q2n2)(2
m
2n2)≤0(n 2,3,…,m1)

n1n1n1
7
3
5
2因为
q(1,2]
，所以
2
m
n1
m
≤2
，
22n≤(n2,3,…,m1)

b
1
q
n1
而
0(n2,3,…,m1）
n1
所以存在
dR
，使得
|a
n
b
n|≤b
1
对
n2,3,…,m1
均成立
当
m1
时，
(22)b
1
≤d≤2b
1

b
1
q
n
b
1
q
n1
(q1)nq
b< br>1
q
n1
b
1
q
n1
(n2,3 ,…m)
当
m≥2
时，设
c
n

，则
c
n1
c
n

nn1n(n1)
n1
设< br>f(n)(q1)nq
，因为
q10
，所以
f(n)
单调递增，又因为
q(1,
m
2]


1

m
m

1


(m1)2
所以f(m)(q1)mq≤(m1)

m
2


1
m1


1

m

16

设
11
1
1
1

，那么
g
'
(x)2
x
ln2

xx,x

0,

，且设
g(x)2
x

2
mm
(x1)
x1

2
1
≥4

(x1)
2
因为
2
x
ln 2≤2ln2
，
所以
g
'
(x)2
x
ln2< br>1

1

在
x
0

0,

上恒成立，即
f(x)
单调递增。
(x1)
2
< br>2


1

所以
g(x)
的最大值为
g

220
，所以
f(m)0


2

∴
f(n)0
对
2≤n≤m
均满足，所以
{c
n
}
单调递减
mm

b

（
1
q2）b
1
q
,
∴
d


mm

【考点】等差数列，等比数列以及数列与不等式的综合应用
21.
【选做题】

A.
【答案】2
【解析】先连圆心与 切点得直角三角形，求出
PO
，即得
B
为中点，再根据直角三角形斜边上中线 长等于斜
边一半的性质得结果
.
详解：证明：连结
OC
．因为PC
与圆
O
相切，所以
OCPC
.
又因为
PC23
,
OC2
,
所以
OPPC
2
OC
2
4

又因为
OB2
，从而
B
为
RtOCP
斜边的中点，所以
BC2
.
【考点】圆与三角形等基础知识


23

1
B.【答案】（1）
A


12

1

（2）点
P
的坐标为

3，
【解析】（1）因为
A


23

，
det

A

221310
，所以
A
可逆，


12


23
1
A
从而

12

．

17 21

（2）设
P(x，y)
，则，所以，
–1)
． 因此，点
P
的坐标为
(3，
【考点】矩阵的运算、线性变换等基础知识
C.【答案】直线
l
被曲线
C
截得的弦长为
23

【解析】因为曲线
C
的极坐标方程为
p4cos

，
所以曲线
C
的圆心为，直径为4的圆．
（2，0）
因为直线
l
的极坐标方程为
psin（

）2
，

6
则直线
l
过
A
，倾斜角为
（4，0）

，
6
所以
A
为直线
l
与圆
C
的一个交点．
设另一个交点为
B
，则
OAB

6
．
连结
OB
，因为
OA
为直径，从而
OBA

2
，
所以
AB4cos

6
23
．
因此，直线
l
被曲线
C
截得的弦长为
23
．
【考点】曲线的极坐标方程
D.【答案】4
222222
【解析】证明： 由柯西不等式，得
xyz122

x2y2z

．

2
因为
x2y2z6
，所以
x
2< br>y
2
z
2
4
，
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以
x
2
y
2
z
2
的最小值为4．
【考点】柯西不等式等基础知识

18

22.【答案】（1）
310

20
（2）
5
< br>5
【解析】如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C< br>1
中，设
AC,AC
11
的中点分别为
O,O
1，则
OBOC
，
OO
1
OC
，
OO
1
OB
，以
OB,OC,OO
1
为基底，建立空间直角坐标系< br>Oxyz
．

因为
ABAA
1
2
，
所以
A< br>
0,1,0

B

3,0,0

A1

0,1,2

B
1

3,0,2

C
1

0,1,2

．

（1）因 为
P
为
A
1
B
1
的中点，所以
P


31


2
,
2
,2
< br>
，

从而
BP


31


2
,
2
,2


,AC
1< br>

0,2,2

，

故
cosBP, AC
BPAC
1
1

BPAC

14
310
1
522

20
．
因此，异面直线
B P
与
AC
310
1
所成角的余弦值为
20
． （2）因为
Q
为
BC
的中点，所以
Q

31


2
,
2
,0


，

因此
AQ


33
,0



2
,
2


，

AC
1


0,2,2

,CC
1

0,0,2

．
19 21

（x，y ，z）
设
n
为平面
AQC
1
的一个法向量，

33


AQn0

xy0
则

即

2

2
ACn0


2 y2z0

1

不妨取
n

3,1,1< br>，

设直线
CC
1
与平面
AQC
1
所成角为

，
则
sin

cosCC
1,n
CC
1
n
CC
1
n

252

5
，
5
5
．
5
所以直线
CC
1
与平面
AQC
1
所成角的正弦值为
【考点】 空间向量、异面直线所成角和线面角
23.【答案】（1）2 5
n
2
n2
（2）
n5
时，
f
n

2
< br>

2
【解析】（1）记
i

abc
为排列
abc
的逆序数，对1,2,3的所有排列，有
i

12 3

0,i

132

1,

i
213

1,i

231

2,i
312

2,i

321

3
，
所以
f
3

0

1,f
3

1

f
3

2

2
． < br>对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是 最后
三个位置．
因此，
f
4

2

f
3

2

f
3

1

f
3

0

5
．
（2）对一般的
（
的情形，逆序数为0的排列只有一个：
12
nn4）
逆序数为1的排列只能 是将排列
12
n
，所以
f
n

0

1
．
n
中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以
f
n

1

n1
．
，，,n
的排列及其逆序数确 定后，将
n1
添加进原排列，
n1
在新排列中的位置只能为计算
f
n1

2

，当
12
是最后三个位置．

20

因此，
f
n1
2

f
n

2

f
n

1

f
n

0

f
n

2

n
．
当
n5
时，
fn

2



f
n

2< br>
f
n1

2




f
n1

2

f
n2
2






n1



n2


n
2
n2
，
4f
4

2


2


f
5

2

f
4

2



f
4

2


n
2
n2
因此，
n5
时，
f
n

2


．
2
【考点】数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知 数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、
联想(联想常见的数列)等方法

21 21