2013mba国家线-大学生自我总结

第一节：点、线、面的位置关系（小题）
1. ★（2014衡水三调理7）.已知< br>m,n
是两条不同的直线,

,

是两个不同的平面,给出下
列命题:
①若



,m

,则m

;②若
m

,n

，且mn，则




③若
m

，m
< br>，则



;④若
m

，n

，且mn，则




其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

2. ★（河北省保定市八校联合体2014 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设
m,n
是空间两条不同直线,

,

是空间两个不同平面,当
m

,n

时 ,下列命题正确的
是 （
A．若,则 B．若,则
C．
若,则 D．若,则

3. ★（山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联 考）已
知不重合的两条直线
l,m
和不重合的两个平面

,

，下列命题正确的是（ ）
A．
lm,l

,则m

B.



m,l

,则l


C.



，l

,则l

D.
lm,m

,l

,则





4. ★（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）在正 方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中与异面直线
AB
,
CC
1
均垂直的棱有( )条.
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.

5. ★（2014 衡水四调文6）．如图，在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，
N分别是BC
1
，CD
1
的中点，则 下列说法错误的是（ ）
与CC
1
垂直 与AC垂直
）

与BD平行 与A
1
B
1
平行

6. ★（2014石家庄高三调研2）.设

表示直线

,

,

表示不同的平面，则下列命题中正
确的是（ ）
A．若
a

且
ab
，则
b

B．若



且



，则
< br>


C．若
a

且
a

， 则



D．若



且



，则





7．★★ 在正四面体
P
－
ABC
中，
D
，
E
，F
分别是
AB
，
BC
，
CA
的中点，下面四个 结论中
不成立的( )
A．
BC平面PDF
B．
DF平面PAE

C．
平面PDE平面ABC
D．
平面PAE平面ABC


7. ★(2013·临汾模拟) ．已 知
平面

平面

，



＝l ，点A

，Al
，直
线
ABl，直线ACl，直线m
，m

，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
( )
A．
ABm
B．
ACm
C．
AB

D．
AC


8. ★ (2013·南通模拟) ．关于直线
m，n和平面

，

有以下四个命题：
①若< br>m

，n

，



，则m n
；
②若
mn，m

，n

，则



；
③若



＝m，mn，则 n

且n

；
④若
mn，

< br>
＝m，则n

或n

.
其中假命题的序号是________．

＝SCA＝90
，△ABC
是斜边9★★．(2013·南昌模拟)三棱锥
SABC中，SBA
A B＝a
的等腰直角三角形，则以下结论中：

图4
①异面直线
SB与AC
所成的角为90°.
②直线
SB平面ABC
；
③平面
SBC平面SAC
；
1
④点
C到平面SAB

的距离是
a
.
2
其中正确结论的序号是________．


第二节：三视图、表面积、体积
1. ★★（2014新课标I版（理）12）如图，网格纸 上小正方形的边长为1，粗实线画出的
是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （ ）
（A）
62
（B）
6
（C）
62
（D）
4



2．★（2013新课标I版（理）8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π B．8＋8π C． 16＋16π D．8＋16π

3. ★（2012新课标I版 （理）7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几
何体的三视图，则此几何体的体积为 ( )

A．6 B．9 C．12 D．18

4. ★（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）一个体积为
123
的正三棱柱的三视图,如图所示,则此正三棱柱的侧视图面积为

A．
12
B．
83
C．
8
D．
63


6. ★★（河北省唐山市2014届高三摸底考试数学（ 理）试题）某几何体的三视图如图所示,
则它的侧面积为

）
）
（
（

A．
242
B．
125
C．24 D．
123


8. ★★（河 北省邯郸市2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）一个空间几何体的三
视图如图,则该几何体 的体积为
（
A．
23
B．
25
C．
4353
3
D．
3


9. ★（河北省 保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）右图是
一个几何体的三视图,其 中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等
腰梯形,则该几何体的侧面积是
正视图

侧视图

俯视图


（
A． B． C． D．



10. ★（河南省安阳市2014届高三第一次调研）如图是一个几何体的三视图，则这个几何
体的体积是
A．27
B．36
C．33
D．30





）
）

11. ★(2014保定一模理9).一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 55 B. 54 C. 75+410 D. 55+210


12. ★★(2014保定一模理14).二维空间中圆的二 维度(面积)S=r，一维测度(周长)
l
=2r;
三维空间中球的三维
2
4
32
测度（体积）V=r,二维测度（表面积）S=4πr. 若四维空间中“超球”的四维
3
测度W=2r, 根据上述规律，猜想其三维测度（体积）V= .


4
13. ★★（2014唐山二模理9）某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为
113
（A） （B）3
6
53
（C）
3


14. ★★（2014唐山一模文7）．某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为
A．6 B．23
C．3 D．33


15. ★（2014邯郸上学期第二次考试8）.某几何体的三视图
如图所示，则该几何体的体积为( )
A．
2

B．
22

C．

43
（D）
3
2
1
1
正视图
侧视图
3
俯视图

2

D．
3
3

16. ★（2014衡水上学四调6）.右图 是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一
个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该 几何体的侧面积是（ ）
A．
24

B．
6

C．
18

D．
12



17. ★★（2014衡水五调3）. （2014衡水五调理3）.一个几何体按比例绘制的三视图如
图所示（单位：m）,
则该几何体的体积为（ ）
m
3
．
A．


7

3
7

2
B.
9

2
9
4

C．






D.
18. ★★（2014衡水四调文8）. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等
于（ ）
A.


160
B. 160 C.
64322
D.
8882

3

19. ★（2014石家庄高三调研5）.把边长为
2
的正方形
ABCD
沿对角线
BD
折起，连
结AC
，得到三棱锥
CABD
，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如 图所示），
则其侧视图的面积为（ ）
A．
1
32
B． C．
1
D．
2
2

2



20. ★★（2014唐山上学期高三期末7）.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
为（ ）
A．
8

16
B．
8

16
C．
8

8
D．
16

8



21. ★★（2014唐 山一中高三下学期开学调研15）．把边长为1的正方形
ABCD
沿对角线
BD
折起，形成三棱锥
C
－
ABD
，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面 角
C
－
AB
－
D
的正切
值为 ．

22. ★（2014邯郸市二模理7）.如图是一个几何体的三
视图，则该几何体的体积是
A．54
B．27
C．18
D．9




23. ★（2014邯郸市二模文5）．如图，正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各棱长均为2，其正（主）
视图如图所示，则此 三棱柱侧（左）视图的面积为
A.
22
B.
4
C.
3
D.
23







24. ★★（2014衡水高三 下学期二调理6）.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视
图，侧视图均是由三角形与半圆构成 ，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可
得此几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.

25. ★★（2014衡 水高三下学期二调文6）．把边长为2的正方形ABCD沿对
角线BD折起，连结AC，得到三棱锥C- ABD，其正视图、俯视图均为全等
的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为( )
A．
3

2

1
B．
2
C．1 D．
2

2
俯视图
正视图


26. ★★（2014衡水中学高三下学期期中7）．右图是某四棱锥的三 视图，则该几何体的表
．
面积等于 （ ）
．．





A．
3465
B．
66543

4
C．
663413
D．
1765

3< br>主视图
3
侧视图
2
2
俯视图
6
第三节：球体 与组合体
第7题图
第7题
1. ★★（2013新课标I版（理）6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容
器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，
如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．


A．
5 00π
3
866π
3
1372π
3
2048π
3< br>cm B．cm C．cm D．cm
3333

2. ★★★（2012新课标I版（理）11）已知三棱锥
S
－
ABC的所有顶点都在球
O
的球面上，
△
ABC
是边长为1的正三角形 ，
SC
为球
O
的直径，且
SC
＝2，则此棱锥的体积为( )

A．

2322
B． C． D．
6632
3. ★★★（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试 题）正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
内接于半径为 1的球,则当该棱柱体积最大时,高
h
（ ）
A．
6
3
B．
6
6
C．
3
D．
23
3


4. ★★（2014唐山一模9）．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为
A．8 B．16 C．32 D．64

5．★★（河北省邯郸市2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）正三角形
ABC
的
边长为2,将它沿高
AD
翻折,使点
B
与点< br>C
间的距离为1,此时四面体
ABCD
外接球的
表面积为______ _______.

6．★★（河北省唐山市2014届高三摸底考试数学（理）试题）直 三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的六
个顶点都在球O的球面上.若AB=BC=1, ∠ABC=120
o
,AA
1
=2
3
,则球O的表面积为
A．
4

B．
16

C．
24

D．
8



7. ★ ★★（2014邯郸上学期第二次考试文15）.已知三角形
PAD
所在平面与矩形
A BCD
所在平面互相垂直，
PAPDAB2
，
APD90

，若点
P、A、B、C、D
都在
同一球面上，则此球的表面积等于 .

8. ★★★（2014衡水上学四调16）.如图，已知球O是棱长为1的正方体< br>ABCDA
1
BC
11
D
1
的内切球，则平面ACD
1
截球O的截面面积为 .

） （

9. ★★★（2014衡水四调文15）．如图，已知 球
O
是棱长为
1
的正方体
ABCDA
1
BC11
D
1
的内切球，则平面
ACD
1
截球
O< br>的截面面积为 .








D
1
A
1
·
O

D
C
B
1
C
1
A B
10. ★★★（2014唐山高三上学期期末8）.如图，直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的六个顶点都
在半径为1的半球面上，
ABAC
，侧面
BCC
1
B
1
是半球底面圆的内接正方形 ，则侧面
ABB
1
A
1
的面积为（ ）
A．2 B．1 C．
2
D．

11. ★★★（2014唐山一中高三 下学期开学调研10）．如图，正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的
棱长为
3
，以顶点
A
为球心， 2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到
的两段弧长之和等于( )
2

2
A
．
5

2

7


B
．
C
．


D
．
636

12. ★★★（2014邯郸市二模理11）. 已知三棱锥
ABC
中
D
,

ABACBDCD2,BC2AD
, 直线
AD
与底面
BCD
所成角为，则此时三棱
3
锥外接球的表面积为
A．
4

B．
8

C．
16

D．
82


3

13. ★★★（2014邯郸市二模文11）．已知四面体
PABC
的外接球的球 心
O
在
AB
上，
且
PO
平面
ABC，
AB2AC
，若四面体
PABC
的体积为
积为
93
，则该球的表面
16
9
32

A.

B.
3
2

C.
16

D.
9


14. ★★★（2014衡水下学期期中文15）.正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点 ，
过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 ____________.

15. ★★（2014衡水高三下学期高三一调理14）.如果把四个面都是直角三角形的四面体称< br>为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的
四个顶 点的概率为 .

16. ★★（2014衡水高三下学期 高三一调理15）.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩
形ABCD折成一个直二面角 B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为 。

17. ★ ★（2014衡水高三下学期高三一调文15）.四面体
ABCD
中，
ABCD 4,BCACADBD5,
则四面体外接球的表面积为 ．

18. ★★★（2014河北冀州中学高三3月月考12）.四面体
ABCD< br>中，
AD
与
BC
互相垂
直,
AD2BC4
,且
ABBDACCD214
,则四面体
ABCD
的体积的最大< br>值是 ( ) .
A.4 B.2
10
C.5 D.
30


19. ★★★（2014河北邯郸一模理15）．已知直角 梯形
ABCD
,
ABAD
，

CDAD
，

AB2AD2CD2
沿
AC< br>折叠成三棱锥
，
当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球
的体积

20．★★★（2014河北邯郸一模文14）．已知
A、B、C
三点在 球心为
O
的球面上，
ABAC2
，
BAC90
< br>，球心
O
到平面
ABC
的距离为
2
，则球
O
的表面积为
_________ ．

21．★★(2013·成都模 拟)已知正四棱锥
S
—
ABCD
中，
SA
＝23，那么当该 棱锥的体积最大
时，它的高为( )
A．1 B.3 C．2

D．3


23．★★设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a
，顶点都在一个球面上，则该
球的表面积为________．

24. ★★ （山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试）已知球的直径SC=4，A，B是该
球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为( )
A．

3

3
B．
23

3
C．
43

3
D．
53

3
25. ★★★（唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试）如图，直三 棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的六个顶点都在半径为 1的半球面上，
ABAC
，侧面
BCC
1
B
1
是 半球底面
圆的内接正方形，则侧面
ABB
1
A
1
的面积为（ ）
A．2 B．1 C．
2
D．
2

2

26. ★★★ （河南省郑州市201 4届高中毕业年级第一次质量预测试题）已知三棱柱
AB2
，各项点都在同一球面上，若该棱 柱的体积为
3
，
ABCA
1
B
1
C
1< br>的侧棱垂直于底面，
AC1
，
BAC60
0
，则此球的 表面积等于 .

27. ★★（山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中 、长治二中四校2014届高三第二次联考）
已知三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC ⊥CD,BC=CD=4,AB=AD=
23
，则三棱锥
A-BCD的外接球的大圆面 积为（ ）
A.
36



28. ★★ （河南省信阳市第四高级中学2014届高三综合测试一）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球
的表面积 为（ ）
A．
12

B．
43

C．
3

D．
123


B.
27

C.
12

D.
9




30. ★★★（山西省太原市太原五中2014届高三12月月考）一个三棱锥
P
－
ABC
的三条侧
棱
PA
、
PB
、PC
两两互相垂直，且长度分别为1、
6
、3，则这个三棱锥的外接球的表面积< br>为 （ ）
A.
16

B.
32

C.
36

D.
64


31. ★★★（河北省 唐山市一中2014届高三12月月考试卷）长方体
ABCDA
1
B
1C
1
D
1
的
各个顶点都在表面积为
16
的球
O
的球面上，其中
AB:AD:AA
1
2:1:3
，则四棱锥
OABCD
的体积为( )
A.
626
B. C.
23
D.
3

33
32. ★★ （山西省太原市太原五中2014届高三12月月考）如图，将边长为5+
2
的正方
形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是（ ）.
A
230
263060

C

D


B
333
3




33. ★★（唐山市2013 -2014学年度高三年级第一学期期末考试）如图，直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的六个顶点都在半径为1的半球面上，
ABAC
，侧面< br>BCC
1
B
1
是半球底面
圆的内接正方形，则侧面
A BB
1
A
1
的面积为（ ）
A．2 B．1 C．
2
D．
2
2


34. ★★（ 河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试）如图，已知球
O
是棱长为
1
的正
O
的截面面积为 . 方体
ABCDA
1BC
11
D
1
的内切球，则平面
ACD
1
截球

35. ★★（河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题） 已知三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的侧棱垂直于底 面，各项点都在同一球面上，若
AA
1
2
，
AB2
，< br>AC1
，
BAC60
0
，则此球的表面积等于 .

36. ★★★ （山西省忻州一中、康杰一中、临汾一中、长治二中四校2014届高 三第二次联
考）已知正四棱锥
SABCD
的所有棱长均为
2
，则过 该棱锥的顶点
S
及底面正方形各
边中点的球的体积为 .

38. ★★（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）平行四边形ABCD
中,

AB

·

BD

=0,沿BD折成直二面角A一BD-C,且4AB
2
+2BD
2
=1,则三棱锥A-BCD的外
接球的表面积为 （
A．

B．

2

4
C．

48
D．
2
24





第四节：平行、垂直、体积问题
1. ★（2014衡水四调文19）.如图所示的几何体ABCDFE中，
△ABC，△DFE都是等
边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2
的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）求几何体ABCDFE的体积；
（Ⅱ）证明：平面ADE∥平面BCF；


）

2. ★★ （河南省郑州市2 014届高中毕业年级第一次质量预测试题）（本小题满分12分）
AB1
，
AA< br>D
在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，侧面
ABB
1
A
1
为矩形，
1
的中点，
1
2
，为
AA
BD
与
AB
1
交于点< br>O
，
CO
侧面
ABB
1
A
1
.
（1）证明：
BCAB
1
；
（2）若
OCOA
，求三棱锥
C
1
ABC
的体积.



3. ★★（山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试）如图，三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
侧棱与底面垂直，
ABBC< br>，
ABBCBB
1
2
，
M,N
分别是
AB,AC
的中点
1
（1）求证：
MN
∥平面
BCC1
B
1
；
（2）求证：
MN
⊥平面
A
1
B
1
C
；
（3）求三棱锥的体积
MA
1
B
1
C
的体积．

4. ★★ （唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试）（本题满分12分）
如图，在三棱锥
PABC
中，
PAPBABBC
，
PBC90
0
，D为AC的中点，
ABPD
.
（1）求证：平面
PAB
平面
ABC
；
（2）如果三棱锥
PBCD
的体积为3，求
PA
.



6．★（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）如图, 在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中,
A C3
,
AB5
,
BC4
,点
D
是
A B
的中点,

(1)求证:
平面ACC
1
平面BC C
1
;
(2)求证:
AC
1
平面CDB
1










7. ★（2014唐山二模文19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是平行四边形，且
PA底面ABCD
，
BDP C
，
E是PA
的中点．
（Ⅰ）求证：平
面PAC平面EBD
；
（Ⅱ）若
PA＝AB＝AC＝2
，求三棱锥
PEBD
的体积．

P
E
A
B
C
D






8. ★★（2014唐山一模文19）．（本小题满分12分）
O是AC
的中点， 如图，在斜三棱柱
ABCA
1
B
1< br>C
1
中，
AO平面ABC，BCA90
，
1
AA
1
ACBC
.
（I）求证：
AC
1
平面A
1
BC
;

（II ）若
AA
1
2
，求三棱锥
CA
1
AB
的高的大小．














A
A
1
C
1
B
1
O

B
C




9. ★★（2014邯郸上学期第二次考试文20）.（本小题满分 12分）如图所示，矩形
ABCD
中，
DA平面ABE
，
AEE BBC2
，
F为CE上的点
，且
BF平面ACE
，
A C和BD
交于点
G
.
(Ⅰ)求证：
AE平面BFD
；
（Ⅱ）求三棱锥
CBFG
的体积．

10. ★★（2014衡水三调理17）. （本小题满分12分）在三棱柱
AB CA
1
B
1
C
1
中，侧面
ABB
1A
1
为矩形，
AB1,AA
1
2
，
D为
AA
1
交于点
O
，
CO
1
的中点 ，
BD
与
AB
侧面
ABB
1
A
1
．
（Ⅰ）证明：
BCAB
1
;
（Ⅱ）若
OCOA< br>，求三棱锥
B
1
ABC
的体积．


C
1
C



B


B
1

O



A
A
1
D









11. ★★（2014邯郸市二模文19）．如图,在三棱锥
SABC
中,
SA
底面
ABC
，
ABC90
, 且
SAAB
,点
M
是
SB
的中点,< br>ANSC
且交
SC
于点
N
.
（I）求证:
SC
平面
AMN
；
（II）当
A B=BC
1
时，求三棱锥
MSAN
的体积.

12. ★★（2014衡水高三下学期二调文19）. 如图，在四棱锥
PABCD
中，
ABCACD90
,
BACCAD60
, PA
平面
ABCD
,
E
为
PD
的中点，PA2AB2
.
(I ) 求证：
CE
∥平面
PAB
;
( II ) 求四面体
PACE
的体积.








13. ★★（2014衡水下学期期中文19）.（本小题满分12分）如图 ,
ABCD
是边长为
2
的
正方形，
ED
平面ABCD
，
ED1
，
EFBD
且
B
C
A
M
E
P
D
EF
1
BD
.
2
（1）求证:平面
EAC
平面
BDEF

（2）求几何体
ABCDEF
的体积










14. ★★★（2014衡水高三下学期高三一调文19）.（本题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PD，
BAD60
，E是AD的中点，
点Q在侧棱PC上．













15. ★★（2014河北冀州中学高三3月月考文19）．（本小题满分12分）
如右图,在底面为平行四 边形的四棱柱
ABCDA
1
BC
11
D
1
中,< br>D
1
D

底面
ABCD
,
（Ⅰ）求证：AD

平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ;
（Ⅲ）若
V
PBC DE
2V
QABCD
，试求
CP
的值．
CQ
AD1
,
CD2
,
DCB60
．
（Ⅰ)求证:平面
A
1
BCD
1

平面
B DD
1
B
1
；
（Ⅱ）若
D
1
DBD< br>,求四棱锥
DA
1
BCD
1
的体积．

16．★★ (20 13·青岛模拟)在如图5所示的多面体
ABCDE
中，
AB平面ACD
，
1
.
DE平面ACD
，且
AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝

图5
(1)请在线段
CE
上找到点
F
的位置，使得恰有直线
BF 平面ACD
，并证明这一结论；
(2)求多面体
ABCDE
的体积．









17．★★ (2013·黄冈模拟)如图6，三棱柱
ABC—A
1
B
1
C
1
的侧面
AA
1
B
1
B
为 正方形，
侧面
BB
1
C
1
C
为菱形，
C BB
1
＝60，ABB
1
C
.
(1)求证：平面AA
1
B
1
B平面BB
1
C
1
C< br>；
(2)若
AB＝2
，求三棱柱
ABC—A
1
B< br>1
C
1
的体积．

图6







18. ★★（河北省唐山市一中2014届高三12月月考试卷）（本题满分12分）[来
右图为一组合体， 其底面
ABCD
为正方形，
PD平面ABCD
，
ECPD
，且
PDAD2EC2

（Ⅰ）求证：
BE平面PDA
；
（Ⅱ）求四棱锥
BCEPD
的体积；
（Ⅲ）求该组合体的表面积．








19. ★★（山西省四校2014届高三第二次联考）
已知梯形
ABCD
中
ADB C
，
ABCBAD

2
，
ABBC2AD4
，
E
、
F
分别是
AB
、
CD
上的 点，
EFBC
，
AEx
．沿
EF
将梯形
AEFD
翻折，使平面

AEFD
⊥平面
EBCF
(如图)．< br>G
是
BC
的中点．
（1）当
x2
时，求证：
BD
⊥
EG
；
（2）当
x
变化时，求三棱锥
DBCF
体积的最大值．







第五节：空间向量（线面角、二面角、空间距离）
1. ★★（2014新课标I版（理）19）(本小题满分12分)
如图，三棱柱
ABCA1
B
1
C
1
中，侧面
BB
1
C
1
C
为菱形，
ABB
1
C
.
（Ⅰ）证明：
ACAB
1
;

（Ⅱ）若
AC AB
1
，
CBB
1
60
,
ABBC
,求二
面角
AA
1
B
1
C
1
的余弦值 .

2. ★★（2013新课标I版（理）18）如图，三棱柱
ABC－ACA＝ CB，AB＝AA
1
，
1
B
1
C
1
中，< br>BAA
1
＝60
.

(1)证明：
ABAC
；
1
(2)若平面
ABC平面AA

，AB＝CB
，求直线
AC
1
B
1
B
1
与平面BB
1
C
1
C
所成角的正弦值．






3. ★★（2012新课标I版（理）19）如图，直三棱柱
ABC－A
1
B
1
C
1
中，
AC＝BC＝
1
AA1
，
2
D是棱AA
1
的中点，DC
1
BD< br>．
(1)证明：
DC
1
BC
；
(2)求二面角
A
1
－BD－C
1
的大小．

4．★★（河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）如图,
在 底面是直角梯形的四棱锥
P—ABCD
中,
DAB90

,PA
平面ABCD,
PAABBC3
,梯形上底
AD1
.
(1)求证:
BC
平面PAB;
(2)求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值;
(3)在PC上是否存在一点E,使得DE平面PAB?若存在,请找出;若不存在,说明理由.










5．★★★（河北省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面是直角三角形,
 ACB90
,侧棱与底面所成角为

,点
B
1
在
底面上的射影
D
落在
BC
上.
(1)求证:
AC
平面
BB
1
C
1
C
;
(2)若
cos


,且当
ACBCAA
1
3
时,求二面角
CABC
1
的大小.

1
3

7．★★★（河北省邯郸市2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）已知四棱锥PABCD
中,底面
ABCD
为菱形,
DAB60,PD底面
ABCD
,
E
为
AB
的中点.
(1)证明:
DC
平面
PDE
;
(2)若
PD 3AD
,求面
DEP
与面
BCP
所成二面角的余弦值.









8. ★★★ （河北省唐山市2014届高三摸底考试数学（理）试题）在如图所示的几何体中,
四边形
AB CD、ADEF、ABGF
均为全等的直角梯形,且
BCAD,

ABAD2BC
.
(I)求证:
CE平面ABGF
;
(II)求二面角
GCED
的余弦值.

9．★★★（ 河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）如图,三棱柱
ABC—A
1
B
1
C
1
中, 侧棱与底面垂直,
ABBC2AA
1
,ABC90
,
M是BC
中
点.
(Ⅰ)求证:
A
1
B平面AMC
1
;
(Ⅱ)求直线
CC
1
与平面AMC
1
所成角的正弦值; < br>(Ⅲ)试问:在棱
A
1
B
1
上是否存在点
N,使AN 与MC
1
成角60
?若存在,确定点N的位置;
若不存在,请说明理由.









1 0．★★（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）如图,四棱锥
SABCD
中,
SD面ABCD
,
BCAD
,
ABD90
,
BCSD
1
AD1
.
2

(1)证明:
AB平面SDB
;
(2)若M
为
BS
中点,求二面角
MCDB
的余弦值.









11．★★（ 河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）如图所示,四面
体
ABCD
中,
ABBD、ACCD
且
ADCD2
.
(1)求证:
ADBC
;
(2)求二面角
BACD
的余弦值.









12．★★（河南省商丘市2013 届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图,三棱锥
PABC
中,底面
ABC为边长为
23
的正三角形,平面
PBC
平面
ABC
,
PBPC2,D

为
AP
上一点,
AD2DP,O
为底面三角形的中心.

(1)求证:
DO
平面
PBC
; (2)求证:
BDAC
;
(3)设
M
为
PC
的 中点,求二面角
MBDO
的余弦值.








13. ★★★（2014保定一模19）. (本小题满分12分）
如图，在三棱柱
ABC
1
中
C
， 已知
AB
侧面
BB
1
C
1
C
，
A
1
B
ABBC1，BB
1
2，BCC
1

(1)求证：
C
1
B平面ABC
；

3
.

（2）设
C
且 平面
AB
1
E与BB
1
E
所成的锐二面角的大小为30°，
EC

C
1
(0

1)
，
试求的值.

14. ★★★（2014唐山二模19）（本小题满分12分）
如图，在四 棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是平行四边形，且
PA底面A BCD
，
BDPC
，
E是PA
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面PAC平面EBD
；
1
（Ⅱ）若
PA＝AB＝2
，直线
PB与平面EBD
所成角的正弦值为，求四棱锥
PA BCD
4
的体积．
P
E
A
B
C
D








15. ★★（2014唐山一模理19）．（本小题满分12分）
BCA90
，
O是AC
的中点，
AO
如图，在斜三 棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
平面A BC
，
1
AA
1
ACBC
.
（I）求证：
A
1
BAC
1
;
（II）求二面角
ABB
1
C
的余弦值．

16. ★★★（2014衡水上学四调19）.正方 形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，
1
ADCD
，
ABCD，
ABADCD2
，点M在线段EC上且不与E，C重合.
2
（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：
BM
平面ADEF；
（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
6
时，求三棱锥M- BDE的体积.
6








17. ★★★（2014衡水上学期五调理19）.（本小题满分12分）直四棱柱
ABCDA
1
BC
11
D
1
中，底面
ABCD
为菱形，且
BAD60

,A
1
E
面
1
AAB,E
为
BB
1
延长线上的一点，
D
D
1
AC
.设
AB2
.

(Ⅰ)求二面角
EACD
1
的大小；
(Ⅱ)在
D< br>1
E
上是否存在一点
P
，使
A
1
P
面
EAC
?若存在，求
D
1
P:PE
的值;不存在，说明理由.

18. ★★★（2014衡水五调理19）. （本小题满分12分）直四棱柱
ABCDA
1
BC
11
D
1
中，
底面
ABCD
为菱形，且
BAD60

,A
1
AAB,E
为BB
1
延长
线上的一点，
D
1
E
面
D
1
AC
.设
AB2
.

(Ⅰ)求二面角
EACD
1
的大小；
(Ⅱ)在
D< br>1
E
上是否存在一点
P
，使
A
1
P
面
EAC
?
若存在，求
D
1
P:PE
的值;不存在，说明理由.









19. ★★（2014石家庄高三调研20）.(本小题满分12分)
如图，四棱锥
PABCD< br>中，底面
ABCD
是直角梯形，
CD
平面
PAD
，
BCAD
，
PAPD
，
O,E
分别为
AD,PC
的中点，
POAD2BC2CD
.
（1）求证：
ABDE
；
（2）求二面角
APCO
的余弦值.

20. ★★（2014唐山高三上学期期末18）.（本题满分12分）
0
如图， 在三棱锥
PABC
中，
PAPBABBC
，
PBC90
，D为AC的中点，
ABPD
.
（1）求证：平面
PAB
平面
ABC
；
（2）求二面角
BPDC
的余弦值.

﹣ABCD
中，
PA平面ABCD
，21. ★★（2014唐山一中高三 12月月考19）在四棱锥
P
ABC
是正三角形，
AC与BD
的交 点M恰好是AC中点，又
PAAB4
，
CDA120
.
（1）求证：
BDPC
；
（2）设
E为PC
的中点，点 F在线段AB上，若直线
EF平面PAD
，求AF的长；
﹣PC﹣B
的余弦值． （3）求二面角
A








22. ★★（2014唐山一中高三下学期开学调研19 ）．（本小题满分12分）如图，四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
为平 行四边形，
AB2AD2
，
BD3
，
PD
⊥底面ABCD
．
(1)证明：平面
PBC
平面
PBD
；
(2)若二面角
PBCD
为

，求
AP
与平面
PBC
所成角的正弦值．
6

23. ★★（2014邯郸市二模理19）. (本小题满分12分)如图,在三棱锥
SABC
中,
SA底面ABC
，点
B
为以
AC
为直径的圆上任意一动点 , 且
SAAB
,点
M
是
SB
的中点,
ANS C
且交
SC
于点
N
.
（I）求证:
SC面AMN

（II）当
AB=BC
时，求二面角
NMAC
的余弦值.
















M
A
S
N
B
C

24. ★★★（2014河北省五名校联盟里19）.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱
ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
中，侧棱
AA
1
1，
1
底面ABCD
，
ABDC
，< br>AA
AB3k，
AD4k，BC5k，DC6k(k0)
．
（Ⅰ）求证：
CD平面ADD
1
A
1
；
（Ⅱ） 若直线
AA
1
与平面ABC
1
所成角的正弦值为
6
，求
k
的值.
7











25. ★★（2014衡水中学高三下学期期中理19）. （本小题满分12分）
如图，五面体
A BCC
1
B
1
中，
AB
1
4
．底面< br>ABC
是正三角形，
AB2
．四边形
BCC
1
B< br>1
是矩形，二面角
ABCC
1
为直二面角．
（Ⅰ）D
在
AC
上运动，当
D
在何处时，有
AB
1< br>平面BDC
1
,并且说明理由；
（Ⅱ）当
AB
1
平面BDC
1
时，求二面角
CBC
1
D
余弦值．

26. ★★（2014衡水高三下学期高三一调理18）.（本题12分）
在如图所示的几何体中，四边形
ABDE
为梯形，
AEBD
，
AE 平面ABC
，
ACBC
，
ACBCBD2AE
，
M 为AB
的
中点.
（I）求证：
CMDE
；
（II）求锐二面角
DECM
的余弦值.










27. ★★★（2014河北邯郸一模理19）. (本小题满分12分)如图,在斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
ABC
成60°的角,
AA
1
2
.底面
ABC
是中,侧面
AA
1
B
1
B底面ABC
,侧棱
AA
1
与底面
边长为2的正三角 形,其重心为
G
点,
E
是线段
BC
1
上一点,且< br>BE
(1)求证:
GE侧面AA
1
B
1
B
;
(2)求平面
BGE
与底面
ABC
所成锐二面角的余弦值;
1
1
BC
1
.
3

AB为直径的O
28．★★★(本小题满分13分)如图7所示，
PA平面ABC
，点
C在以
PB
的中点，上，
CBA＝ 30，PA＝AB＝2
，点
E为线段
点
M在弧AB
上，且
OMAC
.
(1)求证：
平面MOE平面PAC.

(2)求证：
平面PAC平面PCB
.
(3)设二面角
MBP C
的大小为

，求cos

的值．








29．★★★(本小题满分13分) (2013·天津高考)如图8，四棱柱
ABCD—A
1
B
1
C1
D
1
中，
侧棱
A，ABDC，ABAD，AD＝CD＝， 1AA
1
＝AB＝2，E为棱AA
11
A底面ABCD
的中点．
(1)证明
B
1
C
1
CE
；
(2)求二面角
B
1
-CE-C
1
的正弦值；
( 3)设点
M在线段C
1
E
上，且直线
AM与平面ADD
1< br>A
1
所成角的正弦值为
2
，求线段
6
AM
的 长．

30. ★★（山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考）
如图，四边形
ABCD
与
BDEF
均为菱形，设
AC
与
BD
相交于点
O
，若
DABDBF60
0，且
FAFC
.
（1）求证：
FC∥平面EAD
；
（2）求二面角
AFCB
的余弦值.









31. ★★（河南省郑州市201 4届高中毕业年级第一次质量预测试题）（本小题满分12分）
AB1
，
AA
D
在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中， 侧面
ABB
1
A
1
为矩形，
1
的中点，
1
2
，为
AA
BD
与
AB
1
交于点
O
，
CO
侧面
ABB
1
A
1
.
（1）证明：
BCAB
1
；
（2）若
OCOA
，求直线
C
1
D
与平面
ABC
所成角的正弦值.

32. ★★★ （山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试）如图1，在直角梯形
AB CD
中，
ABCDAB90

，
CAB30

，
BC2，AD4
，. 把
DAC
沿对角线
AC折
起
PAC
到的位置,如图2所示,使得点
P
在平面
ABC
上的正投影
H
恰好落在线段
AC
上，
连接
P B
,点
E,F
分别为线段
PA,AB
的中点．
(1) 求证：平面
EFH平面PBC
；
(2)求直线
HE
与平面
PHB
所成角的正弦值；
(3) 在棱
PA
上是否存在一点
M
,使得
M
到点
P,H, A,F
四点的距离相等？请说明理由.