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2011年山东省高考数学试卷（文科）



一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合 M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（ ）

A．[1，2） B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]

2．（5分）复数z=
A．第一象限
（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（ ）

C．第三象限 D．第四象限

的值为（ ）

B．第二象限
3．（5分）若点（a，9）在函数y=3
x
的图象上，则tan
A．0 B． C．1 D．

4．（5分）曲线y=x
3
+11在点P（1，12） 处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）

A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15

5．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a
2
+b
2
+c
2
≥3”的否命题是（ ）

A．若a+b+c≠3，则a
2
+b
2
+c
2
＜3 B．若a+b+c=3，则a
2
+b
2
+c
2
＜3

C．若a+b+c≠3，则a
2
+b
2
+c
2
≥3 D．若a
2
+b
2
+c
2
≥3，则a+b+c=3

6．（5分）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间
上单调递减，则ω=（ ）

A． B． C．2 D．3

上单调递增，在区间
7．（5分 ）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最
大值为（ ）

A．11 B．10 C．9 D．8.5

8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）

4

销售额y（万元）

2

3

5

49

26

39

54

根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销
售额为（ ）

第1页（共23页）

A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

9．（5分）设M（x
0
，y
0
）为抛物线C：x
2
=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以
F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y
0
的取值范围是（ ）

A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）

10．（5分）函数y=﹣2sinx 的图象大致是（ ）

A． B． C．
D．

11．（5分）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：

①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．

其中真命题的个数是 （ ）


A．3 B．2 C．1 D．0

12．（5分）设A1
，A
2
，A
3
，A
4
是平面直角坐标系中两 两不同的四点，若
（λ∈R），（μ∈R），且
第2页（共23页）

，则 称A
3
，A
4
调和分割A
1
，A
2
，

已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B （1，0），则
下面说法正确的是（ ）

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C，D可能同时在线段AB上

D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上



二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）某高校甲、乙、 丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，
为了解学生的就业倾向，用分层抽样的 方法从该校这四个专业共抽取40名学生
进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ．

14．（4分）执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是 ．


15．（4分）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，
且双曲线的离心率是 椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．

16．（4分）已知函数f（x）=loga
x+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，
函数f（x）的零点x< br>0
∈（n，n+1），n∈N
*
，则n= ．



第3页（共23页）

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
．

（1）求的值；

（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．

18．（12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男
2女．
（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选
出的2名 教师性别相同的概率；

（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选 出的2
名教师来自同一学校的概率．

19．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，D
1
D⊥平面ABCD，底面ABCD
是平行四边形，AB=2AD，AD=A
1
B1
，∠BAD=60°．

（Ⅰ）证明：AA
1
⊥BD；

（Ⅱ）证明：CC
1
∥平面A
1
BD．


20．（12分）等比数列{a
n
}中，a
1
，a
2
，a
3
分别是下表第一、二、三行中的某一
个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．


第一列

3

6

9

第二列

2

4

8

第三列

10

14

18

第一行

第二行

第三行

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b
n
}满足：b
n
=a
n
+（﹣1）
n
lna
n
，求数列{b
n
}的前2n项和S
2n
．

21 ．（12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中
容器的中间为圆柱形，左 右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
第4页（共23页）

立

方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已 知圆柱形部分每
平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设
该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．


22．（14分）在平面直角坐 标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜
率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点， 线段AB的中点为E，
射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．

（Ⅰ）求m
2
+k
2
的最小值；

（Ⅱ）若|OG|
2
=|OD|∙|OE|，

（i）求证：直线l过定点；

（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出 此时△ABG的外接圆方程；若
不能，请说明理由．




第5页（共23页）

2011年山东省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2011•山东）设集合 M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，
则M∩N=（ ）

A．[1，2） B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]

【分析】根据 已知条件我们分别计算出集合M，N，并写出其区间表示的形式，
然后根据交集运算的定义易得到A∩B 的值．

【解答】解：∵M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}=（﹣3，2）

N={x|1≤x≤3}=[1，3]，

∴M∩N=[1，2）

故选A



2．（5分）（2011•山东）复数z=
象限为（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复
数，整理后得到最简 形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正
负得到所在的象限．

【解答】解：∵z==﹣i，

）

∴复数在复平面对应的点的坐标是（
∴它对应的点在第四象限，

故选D



3．（5分）（2011•山东）若点（a，9）在函 数y=3
x
的图象上，则tan
（ ）

第6页（共23页）

的值为

A．0 B． C．1 D．

【分析】先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．

【 解答】解：将（a，9）代入到y=3
x
中，得3
a
=9，

解得a=2．

∴
故选D．



4．（ 5分）（2011•山东）曲线y=x
3
+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵< br>坐标是（ ）

A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15

=．

【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切 线的
斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线
y=x3
+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标．

【解答】解：∵y=x
3
+11∴y'=3x
2

则y'|
x=1
=3x
2
|
x=1
=3

∴曲线y=x
3
+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即 3x﹣y+9=0

令x=0解得y=9

∴曲线y=x
3
+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9

故选C



5．（5分）（2011•山东）已知a，b，c∈R ，命题“若a+b+c=3，则a
2
+b
2
+c
2
≥3”的
否命题是（ ）

A．若a+b+c≠3，则a
2
+b
2
+c
2
＜3 B．若a+b+c=3，则a
2
+b
2
+c
2
＜3

C．若a+b+c≠3，则a
2
+b
2
+c
2
≥3 D．若a
2
+b
2
+c
2
≥3，则a+b+c=3

【分析】若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，
由原命 题“若a+b+c=3，则a
2
+b
2
+c
2
≥3”，我们 易根据否命题的定义给出答案．

【解答】解：根据四种命题的定义，

命题 “若a+b+c=3，则a
2
+b
2
+c
2
≥3”的否命题 是

“若a+b+c≠3，则a
2
+b
2
+c
2< br>＜3”

第7页（共23页）

故选A



6．（5分）（2011•山东）若函数f（x）=s inωx（ω＞0）在区间
增，在区间
A． B． C．2
上单调递减，则ω=（ ）

D．3

时确定最大值，就是，求出ω
上单调递
【分析 】由题意可知函数在x=
的值即可．

【解答】解：由题意可知函数在x=时确定最大 值，就是，k∈
Z，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项．

故选B



7．（5分）（2011•山东）设变量x，y满足约 束条件，则目标函数
z=2x+3y+1的最大值为（ ）

A．11 B．10 C．9 D．8.5

，求z的最大值，【分析】首先做出可行域，将目标函数转化为
只需求直线l：在y轴上截距最大即可．

【解答】解：做出可行域如图所示：

将目标函数转化为
欲求z的最大值，

只需求直线l：
作出直线l< br>0
：
在y轴上的截距的最大值即可．

，将直线l
0
平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过
，

点A时在y轴上的截距最大，此时z最大．

由可求得A（3，1），

第8页（共23页）

将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10

故选B




8．（5分）（2011•山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）

4

销售额y（万元）

2

3

5

49

26

39

54

根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销
售额为（ ）

A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样
本中心点，求出 方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预
报出结果．

【解答】解：∵
=42，

∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程中的为9.4，

=3.5，

∴42=9.4×3.5+a，

∴=9.1，

∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，

∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，

第9页（共23页）

故选：B．



9．（5分）（2011•山东）设M（x
0
，y
0
）为 抛物线C：x
2
=8y上一点，F为抛物线
C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的 圆和抛物线C的准线相交，则y
0
的取值
范围是（ ）

A．（0，2） B．[0，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）

【分析】 由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由y
0
表达，由此可求y
0
的取
值范围

【解答】解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=y
0
+2＞4，所以y
0
＞2

故选C



10．（5分）（2011•山东）函数y=﹣2sinx 的图象大致是（ ）

A． B． C．
D．

【分析】根据函数的解析式，我们根据定义在R上 的奇函数图象必
要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析
四个答案，即可找到满足条件的结论．

【解答】解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0

故函数图象过原点，

可排除A

第10页（共23页）

又∵y'=

故函数的单调区间呈周期性变化

分析四个答案，只有C满足要求

故选C



1 1．（5分）（2011•山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命
题：

①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．

其中真命题的个数是 （ ）


A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】由三棱柱的三视 图中，两个矩形，一个三角形可判断①的对错，由四棱
柱的三视图中，三个均矩形，可判断②的对错，由 圆柱的三视图中，两个矩形，
一个圆可以判断③的真假．本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其 中熟
练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形
的形状是解答 本题的关键．

【解答】解：存在正三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为正三角形满足条
件，故①为真命题；

存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故②为真命题；

对于任意的圆柱，其 三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也
满足条件，故③为真命题；

故选：A



第11页（共23页）

12．（5分）（2011•山东）设A
1
，A
2
，A
3
，A
4
是平面直角坐标系中两两不同的四
点，若（λ ∈R），（μ∈R），且，则称A
3
，
A
4
调和分割A
1< br>，A
2
，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，
0），B（1，0），则下面说法正确的是（ ）

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C，D可能同时在线段AB上

D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

【分析】由题意可得到c和d的关系，
的解的问题即可．

A和B中方程无解 ，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答
案即可．

【解答】解：由已知可得（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），

所以λ=c，μ=d，代入得（1）

，只需结合答案考查方程
若C是线段A B的中点，则c=，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的
中点，A错误；同理B错误；

若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C
和D点重合，与条件矛盾，故C错误．

故选D



二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（2011•山 东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、
300名学生，为了解学生的就业 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽
取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 16 ．

【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到
丙专业要抽取的人数 ．

【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学
第12页（共23页）

生

∴本校共有学生150+150+400+300=1000，

∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查

∴每个个体被抽到的概率是
∵丙专业有400人，

∴要抽取400×
故答案为：16



14．（4分）（ 2011•山东）执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则
输出的y的值是 68 ．

=16

=，


【分析】分析程序中各变量 、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是利用循环计算并输出y值．模拟程序 的运行过程，用表格对程序
运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．

【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：


L

m

n

y

是否继续循
环

循环前


2

3

5


第13页（共23页）

第一圈

第二圈

第三圈

2

2

2

3

3

3

5

5

5

278

173

68

是

是

否

此时y值为68．

故答案为：68．



15 ．（4分）（2011•山东）已知双曲线和椭圆
有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 ，则双曲线的方程为
．

【分析】先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=，< br>再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a=2，即可求双曲线的方程．

【解答】解：由题得，双曲线
（﹣，0），c=：

=
=1．

=⇒a=2．⇒b
2
=c
2
﹣a
2
=3，

的焦点坐标为（，0），
且双曲线的离心率为2×
双曲线的方程为
故答案为：


=1．

16．（4分）（2011•山东）已知函数f（x） =log
a
x+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2＜
a＜3＜b＜4时，函数f（x ）的零点x
0
∈（n，n+1），n∈N
*
，则n= 2 ．
【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，
可以判断两个函数的 交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n的值．

【解答】解：设函数y=log
a
x，m=﹣x+b

根据2＜a＜3＜b＜4，

第14页（共23页）

对于函数y=log
a
x 在x=2时，一定得到一个值小于1，

在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之
间，

∴函数f（x）的零点x
0
∈（n，n+1）时，n=2，

故答案为：2




三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）（2011•山东）在△A BC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已
知
（1）求的值；

．

（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．

【分 析】（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数
求出的值．

（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．

【解答】解：（1）因为所以

即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA

所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA

所以=2

（2）由（1）可知c=2a…①

a+b+c=5…②

第15页（共23页）

b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB…③

cosB=…④

解①②③④可得a=1，b=c=2；

所以b=2



18．（12分）（2011•山东）甲、乙两校 各有3名教师报名支教，期中甲校2男1
女，乙校1男2女．

（Ⅰ）若从甲校和乙校 报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选
出的2名教师性别相同的概率；
（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2
名教师来自同一学校的 概率．

【分析】首先根据题意，将甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校
的男教师用D表示，女教师用E、F表示，

（Ⅰ）依题意，列举可得“从甲校和乙校报名的 教师中各任选1名”以及“选出的2
名教师性别相同”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案 ；

（Ⅱ）依题意，列举可得“从报名的6名教师中任选2名”以及“选出的2名教师
同一个学校的有6种”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案．

【解答】解：甲校 的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D
表示，女教师用E、F表示，

（Ⅰ）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，

有（AD），（AE）， （AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9种；

其中性别相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四种；

则选出的2名教师性别相同的概率为P=；

（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，

有（AB）（AC）（AD）（AE）（A F）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）
（DF）（EF）共15种 ；

其中选出的教师来自同一个学校的有6种；

则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=


第16页（共23页）

．

19．（12分）（2011•山东）如图 ，在四棱台ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，D
1
D⊥平面ABCD，
底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A< br>1
B
1
，∠BAD=60°．

（Ⅰ）证明：AA
1
⊥BD；

（Ⅱ）证明：CC
1
∥平面A
1
BD．


【分析】（Ⅰ） 由D
1
D⊥平面ABCD，可证 D
1
D⊥BD．△ABD 中，由余弦定理
得 BD
2
，勾股定理可得 AD⊥BD，由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD
1
A
1
，
再由线面垂直的性质定理可证 BD⊥AA
1
．

（Ⅱ）连接AC和A
1
C
1< br>，设AC∩BD=E，先证明四边形ECC
1
A
1
为平行四边形，可< br>得CC
1
∥A
1
E，再由线面平行的判定定理可证CC
1∥平面A
1
BD．

【解答】证明：（Ⅰ）∵D
1
D⊥平面ABCD，

∴D
1
D⊥BD．

又AB=2AD，AD=A
1
B
1
，∠BAD=60°，

△ABD中，由余弦定理得

BD
2
=AD
2
+A B
2
﹣2AB•ADcos60°=3AD
2
，

∴AD
2
+BD
2
=AB
2
，

∴AD⊥BD，又 AD∩DD
1
=D，∴BD⊥面ADD
1
A
1
．

由 AA
1
⊂面ADD
1
A
1
，

∴BD⊥AA
1
．

（Ⅱ）证明：连接AC和A
1
C
1
，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，
故E为平行四边形ABCD的

中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A
1
B
1
，可得 EC∥A
1
C
1
，且 EC=A
1
C
1
，

故ECC
1
A
1
为平行四边形，∴CC
1
∥A
1
E，而A
1
E⊂平面A
1
BD，∴CC
1
∥平面A
1
BD．




第17页（共23页）

20．（12分）（2011•山东）等比数列{a
n
}中，a
1
，a2
，a
3
分别是下表第一、二、
三行中的某一个数，且其中的任何两个数 不在下表的同一列．


第一列

3

6

9

第二列

2

4

8

第三列

10

14

18

第一行

第二行

第三行

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b
n
}满足：b
n
=a
n
+（﹣1）
n
lna
n
，求数列{b
n
}的前2n项和S
2n
．

【分析】本题考查的是数列求和问题．在解答时：

（Ⅰ）此问首先要结合所给列表充 分讨论符合要求的所有情况，根据符合的情况
进一步分析公比进而求得数列{a
n
}的 通项公式；

（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）问的结果对数列数列{b
n
}的通项 进行化简，然后结合
通项的特点，利用分组法进行数列{b
n
}的前2n项和的求解．

【解答】解：（Ⅰ）当a
1
=3时，不符合题意；

当a
1
=2时，当且仅当a
2
=6，a
3
=18时符合题意；< br>
当a
1
=10时，不符合题意；

所以a
1
=2，a
2
=6，a
3
=18，

∴公比为q=3，

故：a
n
=2•3
n
﹣
1
，n∈N*．

（Ⅱ）∵b
n
=a
n
+（﹣1）
n
lna
n

=2•3
n
﹣
1
+（﹣1）
n
ln（ 2•3
n
﹣
1
）

=2•3
n
﹣
1
+（﹣1）
n
[ln2+（n﹣1）ln3]

=2•3
n
﹣
1
+（﹣1）
n
（ln2﹣ln3）+（﹣1）
nnln3

∴S
2n
=b
1
+b
2
+ …+b
2n

=2（1+3+…+3
2n
﹣
1
）+ [﹣1+1﹣1+…+（﹣1）
2n
]•（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+…+（﹣1）
2n
2n]ln3


=
=3
2n
+nln3﹣1

第18页（共23页）

∴数列{b
n
}的前2n项和S
2n< br>=3
2n
+nln3﹣1．



21．（12分） （2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：
米），其中容器的中间为圆柱 形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体
积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与 其表面积有关．已知圆
柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3 ）
千元．设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．


【分析】（1）由圆柱和球的体 积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的
表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并 注意到写定义域时，利用
l≥2r，求出自变量r的范围．

（2）用导数的知识解决 ，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存
在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨 论．

【解答】解：（1）由体积V=
∴y=2πrl×3+4πr
2
×c

=6πr×+4cπr
2

，解得l=，

=2π•，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定义域为（0，2]．

（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣，

第19页（共23页）

=
由于c＞3，所以c﹣2＞0

当r
3
﹣
令
所以y′=
=0时，则r=
=m，（m＞0）

，0＜r≤2



①当0＜m＜2即c＞时，

当r=m时，y′=0

当r∈（0，m）时，y′＜0

当r∈（m，2）时，y′＞0

所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当m≥2即3＜c≤时，

当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．

所以r=2是函数y的最小值点．

综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；

当c＞时，建造费用最小时r=


22．（14分）（2011•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如

图 所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB
的中点为E，射线OE 交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．

（Ⅰ）求m
2
+k
2
的最小值；

（Ⅱ）若|OG|
2
=|OD|∙|OE|，

（i）求证：直线l过定点；

（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出 此时△ABG的外接圆方程；若
不能，请说明理由．

第20页（共23页）

【分析】（Ⅰ）设y=kx+t（k＞0），联立直线 和椭圆方程，消去y，得到关于x的
一元二次方程，利用韦达定理，求出点E的坐标和OE所在直线方程 ，求点D的
坐标，利用基本不等式即可求得m
2
+k
2
的最小值；< br>
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知OD所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点G的坐标，
并代 入若|OG|
2
=|OD|∙|OE|，得到t=k，因此得证直线过定点；

（ii）若点B，G关于x轴对称，写出点B的坐标，求出△ABG的外接圆的
圆心 坐标和半径，从而求出△ABG的外接圆方程．

【解答】解：（Ⅰ）设y=kx+t（k＞0），

，得（3k
2
+ 1）x
2
+6ktx+3t
2
﹣3=0，

由题意，t＞0，由方程组
由题意△＞0，

所以3k
2
+ 1＞t
2
，设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

x
1
+x
2
=﹣，所以y
1
+y
2
=，

，y
E
=，
< br>∵线段AB的中点为E，∴x
E
=
此时k
OE
==﹣．

x，

所以OE所在直线方程为y=﹣
又由题设知D（﹣3，m）．

令x=﹣3，得m=，即mk=1，

所以m
2
+k
2
≥2mk=2，

（Ⅱ）（i）证明：由（Ⅰ）知OD所在直线方程为y=﹣
第21页（共23页）

x，

将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G（﹣
又E（，），D（﹣3，），

，），

由距离公式和t＞0，得

|OG|
2
=（﹣）
2
+（）
2
=，

|OD|=，

|OE|=
由|OG|
2
=|OD|∙|OE|，

得t=k，

因此直线l的方程为y=k（x+1），

所以直线l恒过定点（﹣1，0）；

（ii）由（i）得G（﹣，
=．

），

若点B，G关于x轴对称，则B（﹣
将点B坐标代入y=k（x+1），

整理得，

，﹣），

即6k
4
﹣7k
2
+1=0，解得k
2
=或k
2
=1，

验证知k< br>2
=时，
所以k
2
=1，又k＞0，故k=1，

此时B（﹣，﹣），G（﹣，）关于x轴对称，

又由（I）得x
1
=0，y
1
=1，所以点A（0，1），

由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为（d，0），

因此d
2
+1=（d+）
2
+，解得d=﹣，

不成立，故舍去

第22页（共23页）

故△ABG的外接圆的半径为r=
所以△ABG的外接圆方程为
=，

．





第23页（共23页）