四川工业科技学院-护士节致辞

专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳
1．四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝
B D，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（ ）对．

2．如图，在四棱锥P﹣ABC D中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD＝2AB，
点E、F分别是线段PD、PC 的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点O，使得BO ⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，
并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．

3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝ 90°，PA
⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M为PD的中点．
（Ⅰ） 求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAC．



1

4．如图，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平而A BC，F是BE中点，AE＝AB＝2，
CD＝1．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥DE；
（3）求异面直线AF与BC所成角的余弦值．

5．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面 ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝
CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）求棱锥C﹣ABD的体积．
．


6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝A D＝2，AB
＝1，M为线段PD的中点．
（I）求证：BM⊥PD
（II）求直线CM与PB所成角的余弦值．


2

< br>7．如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，所 有棱长都等于2．
（1）当点M是BC的中点时，
求异面直线AB
1
和MC
1
所成角的余弦值；


3

专题:立体几何最容易错的最难的平行与垂直问题汇编
1．如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧 棱垂直于底面，∠ACB＝90°，2AC＝AA
1
，D，M
分别是棱AA
1
，BC的中点．证明：
（1）AM∥平面BDC
1
（2）DC
1
⊥平面BDC．

2．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（1）证明：平面AEC⊥平面BED．
（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，AB＝2，求点G到平面AED的距离．
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，
AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求四面体PACD的体积．
．

4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
4

（2）若PA＝PD ＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱
锥的侧面积．

5．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
（1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D
不重合的点，且AE⊥EC，求四 面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

6．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF 为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF＝2，
四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC ，O为EF的中点．
（1）求证：AO⊥CF；（2）求O到平面ABC的距离．








5

专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳
1．四面体ABCD中，△ABC是正三角形， △ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝
BD，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（ ）对．

A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：取AC的中点E，连接BE，DE，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴BD在平面ABC上的射影在直线BE上，
∵△ACD是直角三角形，∴∠ADC＝90°，
6

设AB＝2，则BE＝
222
，DE＝AC＝1，BD＝2，
∴DE+BE＝BD，即DE⊥BE，
又BE⊥AC，DE∩AC＝E，
∴BE⊥平面ACD，
∴平面ABC⊥平面ACD．
∵D在平面ABC上的射影为E，B在平面ACD上的射影为E，
∴平面ABD与平面ABC不垂直，平面BCD与平面ABC不垂直，
平面ABD与平面ACD不垂直，平面BCD与平面ACD不垂直，
过A作AF⊥BD，垂足为F，连接CF，
由△ABD≌△CBD可得CF⊥BD，故而∠AFC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，
∵AD＝
∴cos∠ABD＝
＝，
＝，∴sin∠ABD＝，
∴CF＝AF＝＝＝，
∴cos∠AFC＝＝﹣．
∴∠AFC≠90°，
∴平面ABD与平面BCD不垂直．
故选：B．

2．如图，在四棱锥P ﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD＝2AB，
点E、F分别是线段P D、PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点O， 使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，
并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由 ．
7

【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为长方形，
∴CD∥AB，
∵EF∥CD，∴EF∥AB，
又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB． …（6分）
（Ⅱ） 在线段AD上存在一点O，使得BO⊥平面PAC，
此时点O为线段AD的四等分点，满足
∵长方形ABCD中，
∠BAO＝∠ADC＝90°，
∴△ABO∽△ADC，
∴∠ABO+∠CAB＝∠DAC+∠CAB＝90°，
∴AC⊥BO，（10分）
又∵PA⊥底面ABCD，BO⊂底面ABCD，
∴PA⊥BO，
∵PA∩AC＝A，PA、AC⊂平面PAC
∴BO⊥平面PAC．（12分）
＝
，…（8分）

3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC，∠BAD＝90°，PA
8

⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M为PD的中点．
（Ⅰ） 求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAC．

【解答】证明：（I）取PA的中点E，连接ME、BE，
∵ME∥AD，ME＝AD，∴ME∥BC，ME＝BC，
∴四边形BCME为平行四边形，∴BE∥CM，
∵BE⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，
∴CM∥平面PAB；
（II）在梯形ABCD中，AB＝BC＝1，AD＝2，∠BAD＝90°
过C作CH⊥AD于H，∴AC＝CD＝
∵AC+CD＝AD，∴CD⊥AC
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA
∵PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC
222


4．如图，在三棱柱ABC﹣A< br>1
B
1
C
1
中，AB＝AC，A
1
在底面A BC的射影为BC的中点，D是
B
1
C
1
的中点，证明：A
1
D⊥平面A
1
BC．
9

【解答】证明：设E为BC的中点，连接A
1
E，DE，AE，
由题意得A
1
E⊥平面ABC，∴A
1
E⊥AE．∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AE⊥ 平面A
1
BC．
由D，E分别为B
1
C
1
，BC 的中点，得DE∥B
1
B且DE＝B
1
B，
从而DE∥A
1
A且DE＝A
1
A，∴四边形A
1
AED为平行四边形，∴A1
D∥AE．
又∵AE⊥平面A
1
BC，∴A
1
D⊥ 平面A
1
BC

5．如图，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平而 ABC，F是BE中点，AE＝AB＝2，
CD＝1．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥DE；
（3）求异面直线AF与BC所成角的余弦值．

【解答】（1）证明：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线交DE
连结OB，则OG⊥OB，OG⊥OC，
∵△ABC是正三角形，O是AC中点，∴OB⊥OC，
以O为原点，OB、OC、OG所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
10

∵F是BE中点，AE＝AB＝2，CD＝1，
∴A（0，﹣1，0），B（），C（0，1，0），
），
），＝（0，﹣2，1），
D（0，1，1），E（0，﹣1，2），F（
∴＝（< br>＝（﹣
，0），
，1，0），
＝（
＝（0，0，1），
＝（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，
，∴，
∵CD⊥平面ABC，∴
∵＝
又DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC．
（2）证明：∵
∴
＝（），＝（0，﹣2，1），
＝0﹣1+1＝0，
∴AF⊥DE．
（3）解：∵＝（），＝（﹣，1，0），
设AF、BC所成角为θ，
cosθ＝||＝||＝．
． ∴异面直线AF与BC所成角的余弦值

6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是 矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB
＝1，M为线段PD的中点．
（I）求证：BM⊥PD
（II）求直线CM与PB所成角的余弦值．
11

【解答】（I）证明：连接BD，
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，
∴PB＝BD＝
∵M为线段PD的中点，
∴BM⊥PD
（II）解：连接AC，与BD交于O，连接OM，则
∵M为线段PD的中点，
∴MO∥PB
∴∠CMO（或其补角）为直线CM与PB所成角，
在△MOC中，，CM＝＝，
∴cos∠CMO＝＝．
∴直线CM与PB所成角的余弦值为．

7．如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，所有棱长都等于2．
（1）当点M是BC的中点时，
①求异面直线AB
1
和MC
1
所成角的余弦值；
②求二面角M﹣AB
1
﹣C的正弦值；
（2）当点M在线段BC上（包括两 个端点）运动时，求直线MC
1
与平面AB
1
C所成角的
12

正弦值的取值范围．

【解答】解：（1）取AC的中点为O，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则
当M是 BC的中点时，则
①
设异面直线AB
1
和MC
1
所成角为θ ，则
，C（0，1，0），
．
，

．
＝＝．
②，，
，则
，
． 设平面MAB
1
的一个法向量为
∴，令，则y＝﹣1，z＝﹣1，∴
，则
，
， 设平面AB
1
C的一个法向量为
∴，令x＝2，∴，∴．
设二面角M﹣AB
1
﹣C的平面角为θ，则
＝
所以
．
．
．
，∴
13
（2）当M在BC上运动时，设
设M（x，y，z），∴

，

则
设直线MC
1
，∴
与平面AB
1
C所

．
成的角为θ，则
＝．
设，设t＝λ+1∈[1，2]，
所以，t∈[1，2]．
设，∴．
∵，∴，∴
．
，
∴直线MC
1
与平面AB
1
C所成的角的正弦值的取值范围为









14

6．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平 面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝
CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝
（1） 证明：DE⊥平面ACD；
（2）求棱锥C﹣ABD的体积．
．

【解答】解：（1）在直角梯形BCDE中，
∵DE＝BE＝1，CD＝2，∴BC＝
又AB＝2，AC＝
222
＝，
，
∴AB＝AC+BC，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥平面BCDE，又DE⊂平面BCDE，
∴AC⊥DE，又DE⊥DC，AC∩CD＝C，
∴DE⊥平面ACD．
（2）V
C
﹣
ABD
＝V
A
﹣
BCD
＝S
△
BCD
•AC＝＝．
1．如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，2AC＝AA
1
，D，M
分别是棱AA
1
，BC的中点．证明：
（1）AM∥平面BDC
1

（2）DC
1
⊥平面BDC．
15

【解答】证明：（1）如图所示，
取BC
1
的中点N，连接DN，MN．
则MN∥CC
1
，且MN＝CC
1
；
又AD∥CC
1
，且AD＝CC
1
，
∴AD∥MN，且AD＝MN；
∴四边形ADNM为平行四边形，
∴DN∥AM；
又DN⊂平面BDC
1
，AM⊄平面BDC
1
，
∴AM∥平 面BDC
1
…（6分）
（2）由已知BC⊥CC
1
，BC⊥AC，
又CC
1
∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC
1
A
1
，
又DC
1
⊂平面ACC
1
A
1
，
∴DC
1
⊥BC；
由已知得∠A
1
DC
1
＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC
1
＝90°，
∴DC
1
⊥DC；
又DC∩BC＝C，
∴DC
1
⊥平面BDC．…（12分）
16

2．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（1）证明：平面AEC⊥平面BED．
（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，AB＝2，求点G到平面AED的距离．

【解答】解：（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，…（1分）
因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥BE，…（2分）
又因为DB∩BE＝B，所以AC⊥平面BED．…（3分）
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED．…（5分）
（2）取AD中点为M，连接EM．
因为∠ABC＝120°．，AB＝2，
所以AB＝DB＝2，AG＝
因为AE⊥EC，所以EG＝
所以AE＝DE＝，
．设点G到平面AED的距离为为h，
，DG＝1，
＝，所以BE＝，…（6分）
又所以AD中点为M，所以EM⊥AD且EM＝
则三棱锥E﹣ADG的体积为
V＝，
17

即
解得h＝．
，
所以点G到平面AED的距离为．…（10分）

3．如图，在四棱锥P﹣ABC D中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，
AB＝1，AD＝2，AC ＝CD＝
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求四面体PACD的体积．
．

【解答】（1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD， AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB＝A，
∴PD⊥平面PAB；
（2）解：取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵PA⊥PD，PA＝PD，AD＝2，∴PO＝1．
18

在△ACD中，由AD＝2，AC＝CD＝
∴．
，可得．

4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90 °，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱
锥的侧面积．

【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，
∵PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD＝
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∴V
P
﹣
ABCD
＝
＝，PO＝，
19

＝＝＝＝，
，PO＝， 解得a＝2，∴PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2
∴PB＝PC＝＝2，
∴该四棱锥的侧面积：
S
侧
＝S
△
PAD
+S< br>△
PAB
+S
△
PDC
+S
△
PBC

＝
＝
＝6+2．
+++



5．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥
E C，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，
∵△ABC是正三角形，AD＝CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．
解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，
∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，
20

设AD＝CD＝，则OC＝OA＝1，EC＝EA，
∵AE⊥CE，AC＝2 ，∴EC
2
+EA
2
＝AC
2
，
∴EC＝EA＝＝CD，
∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC＝EA＝CD＝，
由余弦定理得：
cos∠CBD＝＝，
即，解得BE＝1或BE＝2，
∵BE＜＜BD＝2，∴BE＝1，∴BE＝ED，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵BE＝ED，∴S
△
DCE
＝S
△
BCE
，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
法二：设AD＝CD＝，则AC＝AB＝BC＝BD＝2，AO＝CO＝DO＝1，
∴BO＝ ＝，∴BO
2
+DO
2
＝BD
2
，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0）， D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），，（0≤λ≤1）， 则（a，b，c﹣1）＝λ（0，，﹣
E（0，，1﹣λ），
∴＝（1，），＝（﹣1，），
∵AE⊥EC，∴＝﹣1+3λ
2
+（1﹣λ）
2
＝0，
由λ∈[0，1]，解得，∴DE＝BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵DE＝BE，∴S
△
DCE
＝S
△
BCE
，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
21
1），解得

5．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平 面AEF⊥平面EFCB，EF＝2，
四边形EFCB是高为
（1）求证：AO⊥CF；
（2）求O到平面ABC的距离．
的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．

【解答】（1）证明：因为△AEF等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF…（1分）
又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，平面AEF∩平面EFCB＝EF，
所以AO⊥平面EFCB，…（4分）
又CF⊂平面EFCB，所以AO⊥CF…（5分）
（2）解：取BC的中点G，连接OG．
由题设知，OG⊥BC…（6分）
由（1）知AO⊥平面EFCB，
又BC⊂平面EFCB，所以OA⊥BC，因为OG∩OA＝O，所以BC⊥平面AOG…（8分）
过O作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥OH，因为AG∩BC＝G，所以OH⊥平面ABC．
…（10分）
因为，所以，
22

即O到平面ABC的距离为．（另外用等体积法亦可）…（12分）

10．直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，若∠BAC＝ 90°，AB＝AC＝AA
1
，则异面直线BA
1
与B
1
C
所成角的余弦值为（ ）
A．0


B． C． D．
23