英语四级复习资料-大学辅导员工作计划

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 3-3导数的实际应用课后
强化作业 新人教B版
基础巩固强化
一、选择题
1．正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
3333
A.V B.2V C.4V D．2V
[答案] C
[解析] 设正三棱柱底面边长为 a，高为h，则体积V＝
3
2
343V
a
＋3ah＝
a2
＋，
22a
43V
3
由S′＝3a－
2
＝ 0，得a＝
4V，故选C.
a
2．(文)(2013·日照模拟)已知某生产厂家的 年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)
1
的函数关系式为y＝－x
3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
3
A．13万件
C．9万件
[答案] C
1
[解析] ∵y＝－x
3
＋81x－234，
3
∴y′＝－x
2
＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.
[点评] 利用导数求函数最值时，令y′＝0得 到x的值，此x的值不一定是极大(小)值
时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定．
(理)(2014·吉安质检)某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，
1


400x－
2
x
2
，0≤x≤400，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝

则总利

< br>80000， x＞400.
润最大时，每年生产的产品是( )
B．11万件
D．7万件
3
2
4V
ah，∴h＝
，表面积S＝
4
3a
2


1

A．100
C．200
[答案] D
B．150
D．300
[解析] 由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝
x


300x－
2
－20000，0≤x≤400，




60000－100x，x＞400，
2



300－x，0≤x≤400，
P′＝


－ 100，x＞400.


令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润 最大．
3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
aa
2
bb
2
A. B. C. D.
bbaa
[答案] C
[解析]


如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR
2
h.
V2bV
设造价为y，则y＝2πR
2
a＋2πRhb＝2πaR
2
＋2πRb·< br>2
＝2πaR
2
＋，
πR
R
2bV
∴y′＝4πaR－
2
.
R
2Rb
令y′＝0并将V＝πR
2
h代入解得，
＝
.
ha
(理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( )
A.
C.
S

3π
6πS

6π
B.3πS
D．3π·6πS
[答案] C

2

[解析] 设圆柱底面半径为r，高为h，
S－2πr
2
∴S＝2πr
2
＋2πrh，∴h＝，
2π r
rS－2πr
3
S－6πr
2
又V＝πr
2
h＝
，则V′＝，令V′＝0，
22
得S＝6πr
2
，∴h＝2r，r＝
6πS
.
6π
xf ′x－fx
4．(2013·沈阳模拟)设f(x)是定义在R上 的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有
x
2
<0恒成立，则不等式x
2
f(x)>0的解集是( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[答案] D
xf ′x－fx
fx
[解析] 令F(x)＝
，∵x>0时，F′(x)＝< br><0，∴F(x)在(0，＋∞)上为减函
xx
2
数，
又f(x)为奇函数，∴F(－x)＝
∴F(x)为偶函数，
∴F(x)在(－∞，0)上为增函数，
∵f(2)＝0，∴F(2)＝0，F(－2)＝0，
∴在(－∞，－2)和(2，＋∞)上 F(x)<0，在(－2,0)和(0,2)上F(x)>0，从而在(－∞，－2)
和(0,2)上f (x)>0，∴不等式x
2
f(x>0)的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．
5．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为( )
A．R
4
C.R
3
[答案] C
[解析] 设圆锥的高为h，底面 半径为r，则R
2
＝(h－R)
2
＋r
2
，∴r
2
＝2Rh－h
2
，
1
π
2
π
∴V＝πr
2
h＝h(2Rh－h
2
)＝
πRh
2
－
h
3
，
3333
44
V′＝
πRh－πh
2
，令V′＝0得h＝
R.
33

3
B．(－2,0)∪(0,2)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
f－x
fx
＝＝F(x)，
x
－x
B．2R
3
D.R
4

(理)要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为2 0cm，要使其体积最大，则高为( )
A.
3
cm
3
103

3
203

3
163

3
[答案] D
[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为
1
其体 积为V＝
πx(400－x
2
) (0＜x＜20)，
3
20
2
－x
2
，
1203
V′＝
π(400－3x
2
)，令V′＝0，解得x＝.
33
203203
当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，
33
203
所以当x＝时，V取最大值．
3
1
6．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f ′(x)>，则满足2f(x)2
的x的集合为( )
A．{x|－1C．{x|x<－1或x>1}
[答案] B
[解析] 令g(x)＝2f(x)－x－1，
1
∵f ′(x)>，∴g′(x)＝2f ′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1) ＝2f(1)－1
2
－1＝0，
∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)二、填空题
7． (文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：
1，该长方体的 最大体积是________．
[答案] 3m
3

9
93
－3x

[解析] 设长方体的宽为x，则长为2x，高为
－3x (0)，故体积为V＝2x
2< br>

2

22
＝－6x
3
＋9x
2
，
V′＝－18x
2
＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，
B．{x|x<1}
D．{x|x>1}

4

3
∵02
∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积V
max
＝3m
3
.
(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边
比另一边 长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为________．
[答案] 1.2m
[解析] 设容器的短边长为xm，
则另一边长为(x＋0.5)m，
14.8－4x－4x＋0.5
高为＝3.2－2x.
4
由3.2－2x>0和x>0，得0设容器的容积为ym
3
，
则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0整理得y＝－2x
3
＋2.2x
2
＋1.6x，
∴y′＝－6x
2
＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，有－6x
2
＋4.4x＋1.6＝0，即15x
2
－11x－4＝0，
4
解得x
1
＝1，x
2
＝－(不合题意，舍去)，
15
∴高为3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8.
8．(2 013·开封第一次模拟)已知函数f(x)＝x
3
－ax
2
＋bx＋3(a ，b∈R)，若函数f(x)在[0,1]
上单调递减，则a
2
＋b
2
的最小值为________．
9
[答案]
5
[解析]


5

依题意，当x∈[0,1]时，
f ′(x)＝3x
2
－2ax＋b≤0，


f ′0＝b≤0
即

，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，如图所示，


f ′1＝3－2a＋b≤0
结合图形不难得知，该平面区域内的点(a，b)与原点的 距离的平方即为a
2
＋b
2
，其最小值等
9
于原点到直线3 －2a＋b＝0的距离的平方，即等于
.
5
9．(文)面积为S的矩形中，其周长最小的矩形边长是______．
[答案] S

S
[解析] 设矩形的一边边长为x，则另一边边长为
，
x
2S2S
其周长为l＝2x＋，x＞0，l′＝2－
2
，
xx
令l′＝0，解得x＝S，易知，当x＝S时，其周长最小．
(理)对于三次函 数y＝ax
3
＋bx
2
＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数y＝f(x)的导数，
f ″(x)是f ′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实 数解x
0
，则称点(x
0
，f(x
0
))为函数y＝f(x )的“拐
点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称115
中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x
3
－x
2
＋3x－，请你根据这一发现，求：
3212
115
(1)函数f(x)＝x3
－x
2
＋3x－的对称中心为________；
3212
12342013
(2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝________.
20142014
1
[答案] (1)(，1) (2)2013
2
1111
3
11
2
[解析] (1)f ′(x)＝x< br>2
－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝，f(
)＝×()
－
×()
223222
151
＋3×－＝1，由拐点的定义知f(x)的拐点 即对称中心为(，1)．
2122
2014－k
kkk
(2)∴f()＋f (1－)＝f()＋f()＝2(k＝1，2，…，1007)，
2014
∴f(
1 2221006
)＋f()＋…＋f()＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()< br>20142014
10081007
＋f(
)]＋f()＝2×1006＋1＝ 2013.
20142014
三、解答题

6

10．(文)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门更多的关注，据有关统计数
据显示，从上 午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(min)与车辆进入该路段
的时刻t之间的关系 可近似地用如下函数给出：

－
1
8
t
3
－3
4
t
2
＋36t－
629
4
6≤t＜9，
y＝


t

＋
59
9≤

84
t≤10，
－3t
2
＋66t－345 10＜t≤12.


求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．
[解析] (1)当6≤t<9时，
y′＝－
3
8
t
2< br>－
3
2
t＋36＝－
3
8
(t＋12)(t－8)．
令y′＝0得，t＝－12(舍去)或t＝8.
当6≤t<8时，y′>0，当8∴t＝8时，y有最大值y
max
＝18.75(min)．
(2)当9≤t≤10时，y＝
159
8
t＋
4
是增函数，
∴当t＝10时，y
max
＝16(min)．
(3)当102
＋18，
∴t＝11时，y
max
＝18(min)．
综上所述，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．
(理)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？
[解析] 如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，

由于x
2
＋x
2
＋h
2
＝d
2
，
∴x
2
＝
1
2
(d
2
－h
2)．

7

∴球内接正四棱柱的体积为
1
V＝x
2
·h＝(d
2
h－h
3
)，02
13
V′＝(d
2
－3h
2
)＝0，∴h＝d.
23
在(0，d)上，函数变化情况如下表：
h
V′
V

0，
3
d


3

＋
↗
3
d
3
0
极大值
3
d.
3

3
d，d



3

－
↘
由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为
能力拓展提升
一、解答题
1 1．(2013·辽宁沈阳四校期中)设函数f(x)＝x(e
x
－1)－ax
2.
1
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
2
(2)若x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
11
[解析] (1)a＝
时，f(x)＝x(e
x
－1)－
x
2
，
22
f ′(x)＝e
x
－1＋xe
x
－x
＝(e
x
－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调增加，在(－1,0)上单调减少．
(2)f(x)＝x(e
x
－1－ax)．
令g(x)＝e
x
－1－ax，则g′(x)＝e
x
－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时 ，
g(x)≥0，即f(x)≥0，故a≤1.
12．(2013·厦门一中期末)某商场销 售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：
千克)与销售价格x(单位：元千克)满足关系 式y＝
a
＋10(x－6)
2
，其中3x－3
已知销售价格为5元千克时，每日可售出该商品11千克．

8

(1)求a的值；
(2)若该商品的成本价为3元千克，试确定销售价格x的 值，使商场每日销售该商品所
获得的利润最大．
[解析] (1)因为x＝5时y＝11，
a
所以＋10＝11⇒a＝2.
2
2
(2)由(1)知该商品每日 的销售量y＝
＋10(x－6)
2
，所以商场每日销售该商品所获得的
x－3
利润：
2
f(x)＝(x－3)[
＋10(x－6)
2
] ＝2＋10(x－3)(x－6)
2,
3x－3
从而，f ′(x)＝10[(x－6)
2
＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)
于是，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f ′(x)
f(x)
(3,4)
＋
单调递增
4
0
极大值42
(4,6)
－
单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点；
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42
元． < br>13．(2013·湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本价为30元，
并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x
元(3 5≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e
x
(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩 具
的出厂价为40元时，日销售量为10件．
(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．
kk
[解析] (1)设日销售量为
x
，则
40
＝10，∴ k＝10e
40
，
ee
10e
40
10e
40< br>则日销售量为
x
件，∴日利润y＝(x－30－t)·
x
.
ee
10e
40
x－30－t
∴y＝
(35≤x≤41)．
e
x

9

10e
40
31＋t －x
(2)y′＝
，令y′＝0得x＝31＋t.
e
x
①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35，
∴当35≤x≤41时，y′≤0.
∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e
5
.
②当4递减．
∴当x＝t＋31时，y取最大值10e
9
－
t
.
∴当2≤t≤4，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e
5
元；
当49
－
t
元．
14．(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100kmh，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(kmh)的函数关系是P＝
15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
400400P
v
3
5v
2
[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用
v
h，故全程运输成本为Q＝
v
＝－＋6000
482
(0v
2
(2)Q′＝
－5v，令Q′＝0得，v＝80，
16
2000
∴当v＝80kmh时，全程运输成本取得最小值，最小值为元． 3
(理)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合
于图中的 点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等
腰直角三角形斜边的两 个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
11
v
4
－
v
3< br>＋
19200160


10

(1)若广告 商要求包装盒的侧面积S(cm
2
)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装 盒容积V(cm
3
)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底
面边长的比值 ．
[解析] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得
60－2x
a＝2x，h＝
＝2(30－x)，02
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)
2
＋1800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a
2
h＝22(－x
3
＋30x
2
)，V′＝62x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
h11
此时＝
.即包装盒的高与底面边长的比值为.
a22

考纲要求
1．能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题．
2．会利用导数解决某些简单的实际问题．
补充材料
1．利用导数解决含参数函数的单调性问题一般转化为不等式恒成立问题．
2．不等式的证明、方程根的个数的判定可转化为函数的单调性与极值问题．
3．实际问题转 化为函数问题后，要注意定义域的限制，结果要符合实际情况，若实际
问题目标函数只有一个极值点，该 点就是最值点．
备选习题
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )

A．无极大值点、有四个极小值点

11

B．有三个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[答案] C
[解析] 设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x
1
、x
2
、x
3
、x
4
，
当x1
时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，
当x
1
2
时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，
则x＝x
1
为极大值点，
同理，x＝ x
3
为极大值点，x＝x
2
，x＝x
4
为极小值点． 2．(2013·伊春模拟)如图，在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱体积的最大
值是 ( )

23
3
A.
πR

9
23
3
C.
πR

3
[答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则r
2
＋h
2
＝R2
，体积设为V，则V＝πr
2
·h＝π(R
2
－h
2
)·h＝πR
2
h－πh
3
，∴V′＝πR
2
－3 πh
2
.令V′＝0得h＝
23
3
值为
πR
. < br>9
3．某工厂要围建一个面积为128m
2
的矩形堆料场，一边可以用原有的墙 壁，其他三边
要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．
[答案] 16m 8m
128
[解析] 设场地宽为xm，则长为m，
x
128
因此新墙总长度为y＝2x＋
(x＞0)，
x
R
，易知此时V取得最大值，最大
3
43
3
B.
πR

9
4
D.
πR
3

9

12

128
y′＝2－
2
，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.
x
因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，
所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.
即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省．
4．将边长为1m的正三角 形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是
梯形的周长
2
梯形，记 s＝，则s的最小值是________．
梯形的面积
[答案]
323

3

[解析] 设DE＝x，
则梯形的周长为：3－x，
133
梯形的面积为：
(x＋1)·(1－x)＝(1－x
2
)，
224
2
43
x
－6x＋9
∴s＝＝
·
， x∈(0,1)，
2
3
3
1－x
1－x
2
< br>4
3－x
2
x
2
－6x＋9－6x
2
＋ 20x－6
设h(x)＝，h′(x)＝
.
222
1－x1－x
1
令h′(x)＝0，得：x＝或x＝3(舍)，
3
1

43323
∴h(x)
最小值
＝h

＝8，∴s
×8＝.
最小值
＝

3

33
lnx
5．(2013·云南省名校统考)已知f(x)＝，在区间[2,3]上任取一点 x
0
，使得f ′(x
0
)>0的
x
概率为________．
[答案] e－2
1－lnx
[解析] f ′(x)＝
2
，由f ′(x)>0得0x

13

由f ′(x)<0得x>e，∴在[2,3]上任取一点x
0
，使得f ′(x
0
)>0的概率为P＝
＝e－2.
3－2
6.
e－2

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m
2
的正四棱 锥形有盖容器(如右图)．设容
器的高为hm，盖子边长为am.
(1)求a关于h的函数解析式；
(2)设容器的容积为Vm
3
，则当h为 何值时，V最大？求出V的最大值．(容器的厚度忽
略不计)

[解析] (1)如 右图，作PO⊥平面ABCD，O为垂足，作OE⊥BC于E，连结PE，则PE
⊥BC，正四棱锥的全 面积为
1
2＝4××a×
2
所以a＝
1
a
h2
＋

2
＋a
2
.
2
(h>0)．
1＋h
2
11h
(2)V＝a
2
h＝·(h>0)， 33
1＋h
2
2
1－h
2
1
1＋h－h 2h
V′＝·
＝
.
2222
3
1＋h31＋h
所以当00.所以V(h)在(0,1]上为增函数．
当h>1时，V′<0，所以V(h)在[1，＋∞)上为减函数．
故h＝1为函数V(h)的唯一极大值点也是最大值点，
1
∴V
max
＝.
6

14

1
答：当高h＝1m时，容积取最大值
m
3
.
6

15