（
1
）若关于
x
的不等式
f
（
x< br>）≤
a
有解，求实数
a
的取值范围；

（
2
）若不等式
f
（
x
）≤
|
x
﹣
b
|
﹣
4
对任意
x
∈
R
成立，求实数
b
的取值范围．

参考答案

一、选择题：共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每 小题给出的四个备选项中，只有一
项是符合题目要求的．

1
．已知（
a
+
i
）（
2
﹣
i
）为纯虚数，则实数
a
的值是（ ）

A
．﹣
1

B
．

C
．

D
．
1

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为
0
且虚部不为
0列式求解．

解：∵（
a
+
i
）（
2
﹣
i
）＝（
2
a
+1
）
+
（
2< br>﹣
a
）
i
为纯虚数，

∴
故选：
B
．

2
．已知集合
A
＝
{1
，
2
，
3}
，
B
＝
{a
+
b
|
a
∈
A
，
b
∈A
}
，则集合
B
的子集个数为（ ）

A
．
8

B
．
16

C
．
32

D
．
64

，解得
a
＝﹣．

【分析】根据题意求出
B
中的元素，再求子集个数．

解：∵集合< br>A
＝
{1
，
2
，
3}
，
B
＝
{
a
+
b
|
a
∈
A
，
b
∈
A
}
，

∴
B
＝
{2
，
3
，
4
，
5
，
6}
，

∴集合
B
的子集个数为
32
，

故选：
C
．

3
．已知曲线
f
（
x
）＝
alnx
+
x
2
在点（
1
，
1
）处的切线与直线
x
+
y
＝
0
平行，则实数< br>a
的值为
（ ）

A
．﹣
3

B
．
1

C
．
2

D
．
3

【分析】求得
f
（
x
） 的导数，可得切线的斜率，运用有斜率的两直线平行的条件：斜率
相等，解方程可得
a
的值．

解：
f
（
x
）＝
alnx
+x
2
的导数为
f
′（
x
）＝
+2
x< br>，

可得曲线在点（
1
，
1
）处的切线斜率为
k
＝
a
+2
，

由切线与直线
x
+y
＝
0
平行，可得
k
＝﹣
1
，
即
a
+2
＝﹣
1
，解得
a
＝﹣
3，

故选：
A
．

4
．已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
6
＝
12
，
a
2
＝
5
，则
a
5
＝（ ）

A
．﹣
3

B
．﹣
1

C
．
1

D
．
3

【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．

解：∵
S
6
＝
12
，
a
2
＝
5
，

∴
12
＝
故选：
B
．

5
．已知
a
＝
1.2
0.3
，
b
＝
log
0.3
1.2
，
c
＝
log
1.2
3
，则 （ ）

A
．
a
＜
b
＜
c
B
．
c
＜
b
＜
a
C
．
b
＜
c
＜
a
D
．
b
＜
a
＜
c
，解得
a
5
═﹣
1
．

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．

解：∵
0
＜
1.2
0.3
＜
1.2
1
＝
1.2
，∴
1
＜
a
＜
1.2
，

∵
log
0 .3
1.2
＜
log
0.3
1
＝
0
，∴< br>b
＜
0
，

∵
log
1.2
3＞
log
1.2
1.44
＝
2
，∴
c
＞
2
，

∴
b
＜
a
＜
c
，

故选：
D
．

6
．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）


A
．
2

B
．

C
．

D
．

【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用勾股定理的应用求出 最大棱长
BD
或
AC
．

解：根据几何体的三视图转换为几 何体为：该几何体为三棱锥体
D
﹣
ABC
．

如图所示：

所以
AC
＝
故选：
C
．

7
．函数
A
．﹣
2

B
．﹣
1

＝＝．

的最小值为（ ）

C
．
0

D
．


【分析】先利 用诱导公式、降幂公式、将函数式化成关于
cos2
x
的二次函数，然后求解．
解：
令
t
＝
cos2
x
，则原函数化为
y
＝，该函数在
[
﹣
1
，
]
上递增，在
2
2
x
，

上递减．

易知
t
＝﹣
1
时，
y
min
＝﹣
1
．

故选：
B
．

8
．抛物线
C
：
y
2
＝
2
px
（
p
＞
0
）的焦点为
F
，
A
，
B
是抛物线
C
上两点，且
|
AF
|+|
BF
|
＝
10
，
O
为坐标原点，若△
OAB
的重心为
F
，则
p
＝（ ）

A
．
1

B
．
2

C
．
3

D
．
4

．结【分析】 设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），由
|
AF
| +|
BF
|
＝
10
，可得
合△
OAB
的重 心坐标，即可求得
p
．

解：设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），∵
|
AF
|+|
BF
|
＝
10
，则
∵△
OAB
的重心为
F
，∴
∴
故选：
D
．

9
．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝
3
，则输出的结果为（ ）

，∴
p
＝
4
．

，

．

A
．
511

B
．
1022

C
．
1023

D
．
2046

【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的
x
的值，当
x
＝
2
10
时，不满足条件，退出
执 行循环体，
S
＝
1022
．

解：当
x
＝
1
，
s
＝
0
，此时
x
＝
2
，

满足
lg
2
＜
3
，执行循环体，
s
＝
0+2
＝
2
＝
2
2
﹣
2
，
x
＝
4
＝
2
2
，

满足lg
4
＜
3
，执行循环体，
s
＝
2+4
＝
6
＝
3
2
﹣
2
，
x
＝
8
＝
2
3
，

满足
lg
8
＜< br>3
，执行循环体，
s
＝
6+8
＝
14
＝2
4
﹣
2
，
x
＝
2
4
，
满足
lg
16
＜
3
，执行循环体，
s
＝
14+16
＝
30
＝
2
5
﹣
2
，
x
＝
2
5
，

满足
lg
32
＜
3
，执行循环体，
s
＝
30+32
＝
6 2
＝
2
6
﹣
2
，
x
＝
2
6
，

…

满足
lg
2
9
＜3
，执行循环体，
s
＝
2
10
﹣
2
，
x
＝
2
10
，

不满足
lg
2< br>10
＜
3
，退出循环体，输出此时的
S
＝
2
10
﹣
2
＝
1022
，

故选：
B
．

10
．我们知道，在
n
次独 立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件
A
发生的概率
为
p
，则事件
A
发生的次数
X
服从二项分布
B
（
n，
p
），事实上，在无限次伯努利试验
中，另一个随机变量的实际应用也很广泛， 即事件
A
首次发生时试验进行的次数
Y
，显
然
P
（
Y
＝
k
）＝
p
（
1
﹣
p
）
k
﹣
1
，
k
＝
1
，
2
，
3
，…，我们称
Y
服从“几何分布”，经计算
得．由此推广，在无 限次伯努利试验中，试验进行到事件
A
和都发生后停止，
此时所进行的试验次数记为< br>Z
，则
P
（
Z
＝
k
）＝
p
（
1
﹣
p
）
k
﹣
1
+
（
1
﹣
p
）
p
k
﹣
1
，
k
═
2
，
3
，…，
那么
E
（
Z
）＝ （ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

【分析】
P
（Z
＝
k
）＝
p
（
1
﹣
p
）< br>k
﹣
1
+
（
1
﹣
p
）
p< br>k
﹣
1
，
k
═
2
，
3
，… ，
P
（
Y
＝
k
）＝
p
（
1
﹣
p
）
k
﹣
1
，
k
＝
1
，
2
，
3
，…，可得．于是
P
（
Y
＝< br>k
）＝
p
（
1
﹣
p
）
k
1
，
k
＝
2
，
3
，…，
﹣
﹣
p
．而
E
（
Z
）＝
2
p
（
1< br>﹣
p
）
+2
（
1
﹣
p
）
p
+3
p
（
1
﹣
p
）
2
+3
（
1
﹣
p
）
p
2
+
……
+kp
﹣﹣
（
1
﹣
p
）
k
1
+
k
（
1
﹣
p
）
p
k
1
+
…．＝﹣
p
+2
（
1
﹣
p
）
p< br>+3
（
1
﹣
p
）
p
2
+
… …
+
k
（
1
﹣
p
）
p
k
﹣
1
+
…．设
A
k
＝
2
p
+3< br>p
2
+
……
+
kp
k
﹣
1
．利用错位相减法即可得出
A
k
．

解：
P
（Z
＝
k
）＝
p
（
1
﹣
p
）< br>k
﹣
1
+
（
1
﹣
p
）
p< br>k
﹣
1
，
k
═
2
，
3
，… ，
P
（
Y
＝
k
）＝
p
（
1
﹣
p
）
k
﹣
1
，
k
＝
1
，
2
，
3
，…，可得．

﹣
p
．

∴
P
（
Y
＝
k
）＝
p
（
1
﹣
p
）
k
﹣
1
，
k
＝
2
，
3
，…，
那么
E< br>（
Z
）＝
2
p
（
1
﹣
p
）
+2
（
1
﹣
p
）
p
+3
p
（
1
﹣
p
）
2
+3
（
1
﹣p
）
p
2
+
……
+
kp
（
1
﹣
p
）
k
﹣
1
+
k
（
1
﹣
p
）
p
k
﹣
1
+
…

﹣
＝﹣
p
+2
（
1
﹣
p
）
p
+3
（
1
﹣
p
）
p
2
+……
+
k
（
1
﹣
p
）
p
k< br>1
+
…．

设
A
k
＝
2
p
+3
p
2
+
……
+
kp
k
﹣1
．

pA
k
＝
2
p
2
+3
p
3
+
……
+
（
k
﹣
1
）
p
k
﹣
1
+
kp
k
．

∴（
1
﹣
p
）
A
k
＝
2
p+
p
2
+
p
3
+
……
+
p< br>k
﹣
1
﹣
kp
k
＝
p
+
∴
k
→
+
∞时，（
1
﹣
p
）
Ak
→
p
+
∴
E
（
Z
）＝﹣
p
+
p
+
故选：
A
．

11
．已知 双曲线）的左右焦点分别为
F
1
，
F
2
，
F
1
的直线
l
与
＝
．

﹣
1
．

﹣
kp
k
．

双曲线
C
的两支分别交于
A
，
B
两点，∠
AF2
B
＝
90
，
|
AB
|
＝
4
a
，则双曲线
C
的离心率为
（ ）

A
．

B
．

C
．
2

D
．

【分析】作出示意图，根据双曲线定义可转化得到
BF
2
＝
AF
2
，结合∠
AF
2
B
＝
90
，
|
AB
|
＝
4
a
，可求出
BF
2
＝
AF
2
＝
2
的关系，进而可得到
e
的值．

a
，则
BF
1
＝（
2
﹣
2
）
a
，利用余弦定理表示出
a
2
与
c
2

解：不妨设
A
在
B
的右侧，作出示意图 如图：

根据双曲线的定义：
AF
1
﹣
AF
2＝
2
a
，
BF
2
﹣
BF
1
＝
2
a
，则
BF
2
＝
BF
1
+2< br>a
，

且有
AF
1
＝
AB
+
BF
1
＝
4
a
+
BF
1
，代入可得AF
2
＝
2
a
+
BF
1
，则
BF
2
＝
AF
2
，

因为∠
AF
2
B
＝
90
，则∠
ABF
2
＝∠
BAF< br>2
＝
45
°，且
AB
2
＝
AF
2< br>2
+
BF
2
2
，

则
BF
2
＝
AF
2
＝
2
a
，则
BF
1< br>＝（
2
﹣
2
）
a
，

，即﹣＝在△
BF
1
F
2
中，∠
BF
1
F
2< br>＝
135
°，则
cos135
°＝
，

整理可得
e
2
＝
故选：
B
．

＝
3
，则
e
＝，


12
．已知
A
，
B
，
C
，
D
四点均在半径为
R
（
R
为常数）的球
O
的球面上运动，且
AB
＝< br>AC
，
AB
⊥
AC
，
AD
⊥
BC< br>，若四面体
ABCD
的体积的最大值为，则球
O
的表面积为（ ）

A
．

B
．
2
π

C
．

D
．

【分析】由题意要使四面体的体积最 大，则
D
在底面
ABC
的投影恰好为底面三角形外
接圆的圆心
N
，则外接球的球心在
DN
上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得
R< br>的
值，进而求出外接球的表面积．

解：因为
AB
＝
AC
，
AB
⊥
AC
，
AD
⊥
BC
，作
AN
⊥
BC
于
N
，则
N
为
B C
的中点，且
AN
＝，

若四面体
ABCD
的体积 的最大值时，则
DN
⊥面
ABC
，则外接球的球心在
DN
上 ，设为
O
，

设外接球的半径为
R
，连接
OA，则
OA
＝
OD
＝
R
，

V
D
﹣
ABC
＝•
BC
•
AN
•DN
＝•
2
AN
•
AN
•（
R+
ON
）＝
AN
2
•（
R+
ON
）

＝ （
OA
2
﹣
ON
2
）（
R+
ON
）＝（
R+
ON
）（
R
﹣
ON
）（
R+< br>ON
）

＝（
R+
ON
）（
2R
﹣
2
ON
）（
R+
ON
）
3
＝•（）
，

当且仅当
2R
﹣
2
ON
＝
R+ON
，即
R
＝
3
ON
时取等号，

因为三棱锥的最大体积为，

所以•（）
3
＝，可得
R
＝，

＝，
< br>所以外接球的表面积为
S
＝
4
π
R
2
＝4
故选：
C
．


二、填空题：共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．

13
．已知均为单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为
，然后根据


【分析】根据条件知即可得出
，从而可求出与夹，然后进行数量积的运算即可求出< br>角的余弦值．

解：∵
∴
∴，

，，

＝，

∴．

故答案为：．

14
．已知 的展开式中第
3
项与第
6
项的二项式系数相等，则展开式中

< br>x
的系数为
560


【分析】利用二项式系数的性质求得
n
＝
7
，再利用二项式展开式的通项公式令
x
的指数
为
1
求出人
r
，可得结论．

解：由题意可得＝，求得
n
＝
7
，

•（﹣
2
）
r
•
x
；
r
＝
0
，
1
…
7
；

故展开式第
r
+1
项为T
r
+1
＝
令
7
﹣
r
＝
1< br>⇒
r
＝
4
，

∴展开式中
x
的系数为：
故答案为：
560
．

•（﹣
2
）
4
＝
560
，

15
．正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
AB
＝
2
，
与
CB
1
成角 的大小为

，
D
为棱
A
1
B
1
的中点，则异面直线
AD
【分析】可画出图形，根据条件可得出
据条件即可求出求出
解：如图，

，并求出
，，然后根
，从而根据向量夹角的余 弦公式
，从而可得出异面直线
AD
与
CB
1
成角的大小．< br>

＝，
，侧棱和底面垂直，

，且
∴
，
＝
，

＝

∴
∴，

，且，

∴异面直线< br>AD
与
CB
1
成角的大小为
故答案为：．

．

16
．已知定义在
R
上的函数
f
（< br>x
）满足
f
（
x
+2
）＝
f
（x
），当
x
∈
[
﹣
1
，
1]
时
f
（
x
）＝
e
1
﹣
|
x
|
﹣
2
，则关于函数
f
（
x
）有如下四个结论： ①
f
（
x
）为偶函数；②
f
（
x
）的图象 关于直
线
x
＝
2
对称；③方程
f
（
x）＝
1
﹣
|
x
|
有两个不等实根；④
确结论的 编号是 ①②

【分析】由题意判断
f
（
x
）是周期的函 数，且为偶函数，由此判断所给的命题是否正确
即可．

解：对于①，由题意知
f
（
x
+2
）＝
f
（
x
），所以
f
（
x
）是周期为
2
的函数；

当
x< br>∈
[
﹣
1
，
1]
时，
f
（
x
）＝
e
1
﹣
|
x
|
﹣
2
，
f
（﹣
x
）＝
e
1
﹣
|
﹣< br>x
|
﹣
2
＝
e
1
﹣
|
x< br>|
﹣
2
＝
f
（
x
），

所以
f
（
x
）为偶函数，①正确；

对于②，f
（
x
）是偶函数，对称轴是
x
＝
0
，又f
（
x
）是周期为
2
的函数，

所以
f
（
x
）的图象关于直线
x
＝
2
对称，②正确；< br>
对于③，方程
f
（
x
）＝
1
﹣
|
x
|
化为
e
1
﹣
|
x
|
﹣
2
＝
1
﹣
|
x
|
，

设
t
＝
1
﹣
|
x
|
，则方程化为
e
t
＝
2+
t
，
t
∈
[0
，1]
；

由函数
y
＝
e
t
和
y
＝
2+
t
，
t
∈
[0
，
1]< br>的图象知，图象没有交点，方程无实数根，③错误；

对于④，
f
（< br>x
）是周期为
2
的函数，且为偶函数，在
[0
，
1]
上是单调减函数；

所以
f
（）＝
f
（﹣
8
）＝
f
（﹣）＝
f
（）；

其中所有正
又
0
＜＜＜
1
，所以
f
（）＞
f
（），< br>
即
f
（）＞
f
（），所以④错误．

综上知，正确的命题序号是①②．

故答案为：①②．

三、解答题 ：共
70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17
～
21
题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第
22
、
23
为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共
60
分．

17
．如图，在△
ABC
中，，点
D
在边
AB上．

（
1
）若：
sin
（
C
﹣A
）＝
1
，求
sin
A
的值；

（< br>2
）若∠
CDA
＝
90
°，
BD
＝
4
DA
，求
sin
∠
ACB
的值．

< br>【分析】（
1
）由
A
，
C
的范围，结合
si n
（
C
﹣
A
）＝
1
，所以
C
﹣< br>A
＝
＝
sin
（
A
+
C
）结合二倍 角公式即可求出
sin
A
＝；

，再利用
sin
B
（
2
）设
DA
＝
x
，则
BD
＝< br>4
x
，由
sin
B
＝得
BC
＝
3< br>CD
，由勾股定理求出
CD
＝
而求出
AC
＝
x
，在△
ABC
中，由正弦定理即可求得
sin
∠
ACB< br>得值．

x
，进
解：（
1
）∵
0
＜
A
＜π，
0
＜
C
＜π，

∴﹣π＜
C
﹣
A
＜π，又∵
sin
（
C
﹣
A）＝
1
，

∴
C
﹣
A
＝
∴< br>C
＝
A
+
，

，

）＝
c os2
A
＝
1
﹣
2sin
2
A
＝，

∴
sin
B
＝
sin
（
A
+
C
）＝
sin
（
2
A
+
∴
sin
2
A
＝，又
A
∈（
0
，π），

∴
sin
A
＝；

（
2
）设
DA
＝
x
，则
BD
＝
4
x
，

∴∠
CDA
＝
90
°，
sin
B
＝，∴，∴BC
＝
3
CD
，

x
，

∴
BC
2
＝
BD
2
+
CD
2
，∴< br>9
CD
2
＝
16
x
2
+
CD
2
，∴
CD
＝
∴
AC
2
＝
AD
2
+
CD
2
＝
3
x
2
，∴
AC< br>＝
在△
ABC
中，由正弦定理得：
x
，

，

∴，

∴
sin
∠
ACB
＝．

18．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
PA
⊥面
ABCD
，
AB
∥
CD
，且
CD
＝
2AB
＝
2
，
BC
＝
2
，
M
为
BC
的中点．

（
1
）求证：平面
PDM
⊥平面
PAM
；

（
2
）若二面角
P
﹣
DM
﹣
A
为
30
°，求直线
PC
与平面
PDM
所成角的正弦值．


【分析】（
1
）在直角梯形
ABCD
中，求解三角形 可得
AD
2
＝
AM
2
+
DM
2
， 则
DM
⊥
AM
．再
由
PA
⊥面
ABCD< br>，得
DM
⊥
PA
，利用线面垂直的判定可得
DM
⊥平 面
PAM
，进一步得
到平面
PDM
⊥平面
PAM
；

PM
⊥
DM
，
AM
⊥
DM
，（
2
）由（
1
）知，则∠
PMA
为二面角
P
﹣
DM
﹣
A
的平面角为
30
°，
求得
PA
＝
AM
•
tan30
°＝
1
．以
A
为坐标原点，分别以
AE
，
AB
，
AP
所在直线为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面
P DM
的一个法向量，由与所成角
的余弦值可得直线
PC
与平面
PDM
所成角的正弦值．

【解答】（
1
）证明：在直角梯形
AB CD
中，由已知可得，
AB
＝
1
，
CD
＝
2
，
BM
＝
CM
＝
，

可得
AM
2
＝
3
，
DM
2
＝
6
，

过
A
作
AE
⊥
CD
，垂足为
E
， 则
DE
＝
1
，
AE
＝
则
AD
2< br>＝
AM
2
+
DM
2
，∴
DM
⊥AM
．

∵
PA
⊥面
ABCD
，∴
D M
⊥
PA
，

又
PA
∩
AM
＝< br>A
，∴
DM
⊥平面
PAM
，

∵
D M
⊂平面
PDM
，∴平面
PDM
⊥平面
PAM
；< br>
（
2
）解：由（
1
）知，
PM
⊥
DM
，
AM
⊥
DM
，则∠
PMA
为二面角
P
﹣
DM
﹣
A
的平面角
为
30
°，

则
PA
＝
AM
•
tan30
°＝
1< br>．

，求得
AD
2
＝
9
，

以
A
为坐标原点，分别以
AE
，
AB
，< br>AP
所在直线为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角 坐标系，

则
P
（
0
，
0
，
1< br>），
D
（
，
设平面
PDM
的一个法向量为
， ﹣
1
，
0
），
C
（
，
，

，
1
，
0
），
M
（，
1
，
0< br>），

．

由，取
x
＝
1
，得＝（
1
，，）．
∴直线
PC
与平面
PDM
所成角的正弦值为
|cos
＜ ，＞
|
＝＝
．


19
．新型冠状病毒肺炎
COVID
﹣
19
疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共
同 努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家
在疫情发生初期，由 于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表
是小王同学记录的某国从第一例新型冠 状病毒感染确诊之日开始，连续
8
天每日新型冠
状病毒感染确诊的累计人数．

日期代码
x
累计确诊人数

1

4

2

8

3

16

4

31

5

51

6

71

7

97

8

122

，为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：< br>②＝
dx
+
c
对变量
x
和
y
的关系 进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差
图如下（注：残差，

< br>且经过计算得≈
17.3
，≈
1.9
，其中
z
i＝
x
，
＝
z
i


（
1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
（
2< br>）根据（
1
）中选定的模型求出相应的回归方程；

（
3）如果第
9
天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（
2
）中所求的回归 方程估计该
国第
9
天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．


< br>【分析】（
1
）根据残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高即可得解；
（
2
）因为
z
i
＝
x
，所以，然后结合数 据和公式分别算出，，即可
得到
y
关于
z
的回归方程，进而得到y
关于
x
的回归方程；

（
3
）把
x
＝
9
代入回归方程算出即可得解．

解：（
1
）因 为残差，所以残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的
精度越高，所以模型①的拟合效果更好．< br>
（
2
）因为
z
i
＝
x
且，所以，

由表格中数据可知，
，

，

所以，，

所以，

．

，

故 所求的回归方程为
（
3
）当
x
＝
9
时，有
故估计该国第
9
天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为
156
人．

20
．已知函数
f
（
x
）＝
3
x
﹣（
a
+1
）
lnx
，
g
（
x
） ＝
x
2
﹣
ax
+4
．

（
1）若函数
y
＝
f
（
x
）
+
g
（
x
）在其定义域内单调递增，求实数
a
的取值范围；

（
2
）是否存在实数
a
，使得函数
y
＝
f
（
x
）﹣
g
（
x
）的图象与
x
轴相切？若存 在，求满
足条件的
a
的个数，请说明理由．

【分析】（
1
）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出
a
的取值范围；
< br>（
2
）函数
y
＝
f
（
x
）﹣
g
（
x
）的图象与
x
轴相切，且存在
f
（
x
）的极值等于
0
，根据导
数和函数的极值的关系即可求出．
< br>解：（
1
）
y
＝
f
（
x
）
+
g
（
x
）＝
3
x
﹣（
a
+1< br>）
lnx
+
x
2
﹣
ax
+4
在（< br>0
，
+
∞）上单调递增，

∴
y
′＝
3
﹣
即
a
≤
+2
x
﹣
a
≥0
，在（
0
，
+
∞）上恒成立，

＝＝
2
（
x
+1
）﹣
﹣
1
在（
0
，
+
∞）上为增函数，

﹣
1
＞
2
﹣
4
﹣
1
＝﹣
1
，

﹣
1
，

易知
y
＝
2
（
x
+1
）﹣
∴
y
＝
2
（
x
+1< br>）﹣
∴
a
≤﹣
1
；

（
2
）函数
y
＝
f
（
x
）﹣
g
（
x< br>）＝
3
x
﹣（
a
+1
）
lnx
﹣< br>x
2
+
ax
﹣
4
，

设
h
（
x
）＝
3
x
﹣（
a
+1
）lnx
﹣
x
2
+
ax
﹣
4
，
x
＞
0
，

∴
h
′（
x
）＝3
﹣﹣
2
x
+
a
＝＝﹣＝﹣

，

令
h
′（
x
）＝
0
，解得
x< br>＝或
x
＝
1
，

①当
a
+1
≤
0
时，即
a
≤﹣
1
时，当
x
∈（0
，
1
）时，
h
′（
x
）＞
0
，当
x
∈（
1
，
+
∞）时，
h
′（x
）＜
0
，

∴
h
（
x
）在 （
0
，
1
）上单调递增，在（
1
，
+
∞） 上单调递减，

∴
h
（
x
）
max
＝h
（
1
）＝
a
﹣
2
＝
0
，解 得
a
＝
2
（舍去），

②当
a
＞﹣
1
时，
h
′（
x
）＝
0
，即极值点为
x
＝
∵函数
y
＝
f
（
x
）﹣
g（
x
）的图象与
x
轴相切，

∴
h
（ ）＝
0
或
h
（
1
）＝
0
，

或
x
＝
1
，

当
h
（
1
）＝
0
时，
h
（
1
）＝
a
﹣2
＝
0
，解得
a
＝
2
，

当
h
（
设
）＝
0
时，可得
＝
t
，则
t
＞
0
，

﹣（
a
+1
）
ln
（）﹣（）
2
+
a
×

﹣
4
＝
0
，
则
3
t
﹣
2
tlnt
﹣
t
2
+
（
2
t
﹣
1
）
t
﹣
4
＝
0
，

即
t
2
+ 2
t
﹣
2
tlnt
﹣
4
＝
0
，< br>
设φ（
t
）＝
t
2
+2
t
﹣2
tlnt
﹣
4
，
t
＞
0
，

∴φ′（
t
）＝
2
t
+2
﹣
2
（
1+
lnt
）＝
2
（
t
﹣
lnt
），

再令
m
（
t
）＝
t
﹣
ln t
，
t
＞
0
，

∴
m
′（
t
）＝
1
﹣＝，

当< br>0
＜
t
＜
1
时，
m
′（
t
）＜
0
，函数
m
（
t
）单调递减，

当< br>t
＞
1
时，
m
′（
t
）＞
0
，函数
m
（
t
）单调递增，

∴
m
（< br>t
）≥
m
（
1
）＝
0
，

∴φ′（
t
）≥
0
，

∴φ（
t
）在（
0
，
+
∞）上单调递增，

∵φ（
1
）＝﹣
1
＜
0
，φ（
2
）＝
4
﹣
4
ln
2
＞
0
，
∴存在
t
0
∈（
1
，
2
），使得φ（
t
0
）＝
0
，

即∈（
1
，
2< br>），即
a
∈（
1
，
3
），

综上所 述存在实数一个实数
a
∈（
1
，
3
），得使得函数
y
＝
f
（
x
）﹣
g
（
x
）的图象 与
x
轴

相切．

21
．已知椭圆Γ
的直线被椭圆Γ截得的弦长为
（
1
）求椭圆Γ的方程；

（
2
）设点
A
，
B
均在椭圆Γ上，点
C
在抛物线O
，且△
ABC
的面积为，求点
C
的坐标．

上，若△
ABC
的重心为坐标原点
＞
0
）的离心率为
．
，过椭圆Γ的焦点且垂直于
x
轴
【分析】（
1
）运用 离心率公式和垂直于
x
轴的弦长公式，以及
a
，
b
，
c
的关系解方程可
得
a
，
b
，进而得到所求椭圆方程；< br>
（
2
）设
AB
：
x
＝
my
+
t
，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、三角形的重心

坐标 ，可得
C
的坐标，代入抛物线方程，结合三角形的面积公式，计算可得
C
的坐 标．
解：（
1
）根据题意得，又因为
b
2
＝
a2
﹣
c
2
，解得
a
2
＝
2
， 则
b
2
＝
1
，

所以椭圆Γ的方程为：；

（
2
）设
AB
：
x
＝
my
+t
，联立椭圆方程
x
2
+2
y
2
＝
2
，可得（
2+
m
2
）
y
2
+2
m ty
+
t
2
﹣
2
＝
0
，

△＝
4
m
2
t
2
﹣
4
（
2+< br>m
2
）（
t
2
﹣
2
）＝
8
（
m
2
﹣
t
2
+2
）＞
0
①设< br>A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），
y
1
+
y
2
＝﹣，

，
x
C
＝﹣（
x
1
+
x
2
）＝﹣
[
m
（
y
1
+
y
2
）
+2
t
]
＝﹣
）
2< br>＝•（﹣），则
m
2
＝﹣
，

②（
t
可得
y
C
＝﹣（
y
1
+
y
2
） ＝
由
C
在抛物线
y
2
＝
x
上，可得（＜﹣），

由
S
△
ABO
＝
|
OA< br>|
•
|
OB
|
•
sin
∠
AOB< br>＝
＝
则
S
△
ABC
＝
3
S
△
ABO
＝
|
x
1
y
2
﹣
x2
y
1
|
＝

＝
|
x
1y
2
﹣
x
2
y
1
|
，
|
（
my
1
+
t
）
y
2
﹣（
my
2
+
t
）
y
1
|
＝
|
t
（
y
1
+
y
2
）
|
＝
||
＝，

可得
||
＝③，将②代入③整 理可得
[
t
（
2
t
+1
）
]
2< br>﹣
4
t
（
2
t
+1
）
+3
＝
0
，

解得
t
＝﹣
1
或﹣，相应的m
2
＝
2
或
1
．

所以
C< br>（
1
，±），或
C
（
2
，±
1
）．

（二）选考题：共
10
分．请考生在第
22
、
2 3
题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
[
选修
4 -4
：坐标系与参数方程
]

22
．在平面直角坐标系
xO y
中，以原点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
l
的极坐标方程为，曲线
C
的极坐标方程为ρ
sin
2
θ＝
cos
θ．

（
1
）写出直线
l
和曲线
C
的直角坐标方程；

（
2
）过动点．P
（
x
0
，
y
0
）（
y
0< br>2
＜
x
0
）且平行于
l
的直线交曲线
C于
A
，
B
两点，若
|
PA
|
•
|
PB
|
＝
2
，求动点
P
到直线
I的最近距离．

【分析】（
1
）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角 查的正弦公式，化简可得所求直
角坐标方程；

（
2
）设出过
P
且平行于
l
的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定

理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值．
解：（
1
）直线
l
的极坐标方程为
即ρ
sin
θ﹣ρcos
θ＝
2
，可得
y
﹣
x
＝
2，即
x
﹣
y
+2
＝
0
；

曲 线
C
的极坐标方程为ρ
sin
2
θ＝
cos
θ，即 为ρ
2
sin
2
θ＝ρ
cos
θ，

可得
y
2
＝
x
；

，即为（ρ
sin
θ﹣ρ
cos
θ）＝

，
（
2
）设
P
（
x
0
，
y
0）（
y
0
2
＜
x
0
）且平行于
l的直线的参数方程设为（
t
为
参数），

代入抛物线方程
y
2
＝
x
，可得
t
2
+
t
（< br>y
0
﹣）
+
y
0
2
﹣
x
0
＝
0
，

设
PA
，
PB
对应的参 数分别为
t
1
，
t
2
，可得
t
1
t
2
＝
2
（
y
0
2
﹣
x
0
），

又
|
PA
|
•
|
PB< br>|
＝
2
，即有
|
y
0
2
﹣
x
0
|
＝
1
，

由
y
0
2
＜
x
0
，可得
y
0
2
＝
x0
﹣
1
，即
x
0
＝
1+
y
0
2
，

P
到直线
l
：
x< br>﹣
y
+2
＝
0
的距离
d
＝＝＝
[< br>y
0
﹣）
2+
（

]
，
当
y
0
＝，
x
0
＝时，动点
P
到直线
l的最近距离为
[
选修
4-5
：不等式选讲
]

23
．已知函数
f
（
x
）＝
|
x
+1|+ |
x
﹣
1|
﹣
2|
x
﹣
2|
．< br>
．

（
1
）若关于
x
的不等式
f
（
x
）≤
a
有解，求实数
a
的取值范围；

（
2
）若不等式
f
（
x
）≤
|
x
﹣
b
|
﹣
4
对任意
x
∈
R
成立，求实数
b
的取值范围．

【分析】（
1
）绝对值， 化为分段函数，求出函数的值域，即可求出
a
的范围，

（
2
）画出相对应的函数的图象，结合图象可得
b
的取值范围．

解：（
1
）
f
（
x
）＝
|
x
+1|+|
x
﹣
1|
﹣
2|
x
﹣
2|
＝，

∴
f
（
x
）的值域为
[
﹣
4
，< br>4]
，

∵关于
x
的不等式
f
（
x
）≤
a
有解，

∴
a
≥﹣
4
，

（
2
）
y
＝
f
（
x
）与
y
＝
|
x
﹣
b
|
﹣
4
对的图象如图所示：

由图象知，要 使
f
（
x
）≤
|
x
﹣
b
|
﹣
4
对任意
x
∈
R
成立，

只需要f
（
2
）≤
|2
﹣
b
|
﹣
4
，且
b
＜
0

解得
b
≤﹣
6
，

故
b
得取值范围为（﹣∞，﹣
6]
．