大庆市人事局-西安欧亚学院分数线

空间几何体的结构
【知识要点】
1．简单空间几何体的基本概念：
(1)
(2)特殊的四棱柱：


(3)其他空间几何体的基本概念：
几何体
正棱锥
正棱台
圆柱
圆锥
圆台
球面
球
几何体
基本概念
底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心
正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台
以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体
以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面
围成的几何体
以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成
的曲面围成的几何体
半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面
球面所围成的几何体
性质 补充说明
2．简单空间几何体的基本性质：
(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形
(1)直 棱柱的侧棱长与高相等，侧面
(2)两个底面与平行于底面的截面是全
及对角面都是矩形
等的多边形
(2)长方体一条对角线的平方等于
(3)过不相邻的两条侧棱的截面( 对角面)
一个顶点上三条棱长的平方和
是平行四边形
(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角
形
(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射

影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧
棱和侧棱在底面上的射影也组成一个
直角三角形
(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于(1)过球心的截面叫球的大圆，不过
截面 球心的截面叫球的小圆
(2)球心到截面的距离d，球的半径R，(2)在球面上，两点之间的最短距
离，就是经过这两点的大圆在这两
22
截面圆的半径r满足
rRd

点间的一段劣弧的长度(两点的球
面距离)
棱柱
正棱锥
球
3．简单几何体的三视图与直观图：
(1)平行投影：
1 9

①概念：如图，已知图形F，直线l与平面

相交，过F上任意一点M作直线MM< br>1
平
行于l，交平面

于点M
1
，则点M
1
叫做点M在平面

内关于直线l的平行投影．如果图形
F上的所有点在平 面

内关于直线l的平行投影构成图形F
1
，则F
1
叫图 形F在

内关于直
线l的平行投影．平面

叫投射面，直线l叫 投射线．

②平行投影的性质：
性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
(2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图．
(3)三视图：

①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影．
②三视图 ：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，
投射到这个平面内的图形 叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这
个平面内的图形叫做主视图；和直立、 水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投
射到这个平面内的图形叫做左视图．
将空 间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面
内，这样构成的图形叫 空间图形的三视图．
③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．
4．简单几何体的表面积与体积：
(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：
①S
直棱柱侧面积
＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高．
1
ch
，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高．
2
1
③
S
正棱台侧面积
(cc)h
，其中c＇，c分别是棱台 的上、下底面周长，h＇为正棱台
2
②
S
正棱锥形面积

的 斜高．
④S
圆柱侧面积
＝2Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高．
2 9

⑤S
圆锥侧面积
＝Rl，其中R是圆锥的底面半 径，l是圆锥的母线长．
⑥S
球
＝4R
2
，其中R是球的半径．
(2)柱体、锥体、台体和球的体积：
①V
柱体
＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．
②
V
锥体

③
V
台体
的高．
④
V
球

1
Sh
，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
3
1
，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体
h(SSSS )
，其中S＇
3
4
3
π
R
，其中R是球的半径．
3
【例题分析】
例1 如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b．

(Ⅰ)证明：PA⊥BC；
(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积；
(Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积．
【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过P A(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正
三棱锥的基本性质进行求解．
证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD．
∵P－ABC是正三棱锥，
∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形．
∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD，
∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．
(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，
PD
∴
S
PBC
PB
2
BD
2

1
4b
2
a2
,

2
1a
BC

PD4b
2< br>a
2
.

24
3a
4b
2
a
2
.

4
∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形，
∴三棱锥P－ABC的侧面积是
3a
2
,
∴△ABC是边长为a的 正三角形，∴三棱锥P－ABC的底面积是
4
3a
2
3a3a
4b
2
a
2
(a12b
2
3a
2
)
∴三棱锥P－ABC的表面积为
4
44
3 9

(Ⅲ)解：过点P作PO⊥平面ABC于点O，则点O是正△ABC的中心，
∴
OD
113a3a
AD,

3326
在 Rt△POD中，
POPD
2
OD
2

3
3b
2
a
2
,

3
13a
2
3a< br>2
22
3ba3b
2
a
2
.
∴三 棱锥P－ABC的体积为

4312
3
【评述】1、解决此问题要求同学们熟 悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt
△POD，其中含有棱锥的高PO；如Rt△PBD，其 中含有侧面三角形的高PD，即正棱锥的
斜高；如果连接OC，则在Rt△POC中含有侧棱．熟练运用 这几个直角三角形，对解决正
棱锥的有关问题很有帮助．
2、正n(n＝3，4，6)边形中的相关数据：

边长
对角线长
边心距
面积
外接圆半径
正三角形
a

正方形
a
正六边形
a
长：2a；短：
3a

2a

3
a

6
3
2
a

4
3
a

3
a

2
a
2

3
a

2
33
2
a

2
a
2
a

2
例2 如图，正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，E是AC的中点．

(Ⅰ)求证：平面BEC
1
⊥平面ACC
1
A
1
；(Ⅱ)求证：AB
1∥平面BEC
1
．
【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况 下对空间想象能力提出了
更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．
证明：(Ⅰ)∵ABC－A
1
B
1
C
1
是正三棱柱，∴A A
1
⊥平面ABC，
∴BE⊥AA
1
．
∵△ABC是正 三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC
1
A
1
，又B E

平
面BEC
1
，
∴平面BEC
1
⊥平面ACC
1
A
1
．
(Ⅱ)证明：连接B
1
C，设BC
1
∩B
1
C＝D．
∵BCC
1
B
1
是矩形，D是B
1
C的中点， ∴DE∥AB
1
．
又DE

平面BEC
1
，AB
1

平面BEC
1
，
4 9

∴AB
1
∥平面BEC
1
．
例3 在四 棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角
形，已知BD＝2 AD＝8，
AB2DC45
．

(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．
【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角 度入手分析，如从M是PC上
的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内 “不动”的直线
BD是否垂直平面PAD．
证明：(Ⅰ)在△ABD中，
由于AD＝4，BD＝8，
AB45
，
所以AD
2
＋BD
2
＝AB
2
．
故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD
平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD

平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．
(Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
因此PO为四棱锥P－ABCD的高，
又△PAD是边长为4的等边三角形．因此
P O
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为
梯形ABCD的高，
所以四边形ABCD的面积为
S
3
423.

24885
，即为

5
45
254585
24.
故
5
2
1
V
PABCD
2423163 .

3
例4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图 ．它的主
视图和左视图在下面画出(单位：cm)
(Ⅰ)画出该多面体的俯视图；
(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
5 9

(Ⅲ)在所给直观图中连结BC＇，证明：BC＇∥平面EFG．
【分析】画 三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原
则及相关数据可以画出三视图 ．

证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：

(Ⅱ)所求多面体体积VV
长方体
V
正三棱锥
446(22)2
(Ⅲ)证明：在长方体ABCD－A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'．
因为E，G分别为AA'，A'D'中点， 所以AD'∥EG，
从而EG∥BC '．又BC'

平面EFG， 所以BC'∥平面EFG．
1
3
1
2
284
(cm
2
).

3

例5 有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是3a，4a，5a， 高为
2
，其
a
中a＞0．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形 中，表面积最小的一个是四
棱柱，求a的取值范围．

6 9
< /p>

解：直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的三个侧面的面积分别是6，8，10，底面积是6a
2
，因此每
个三棱柱的表面积均 是2×6a
2
＋6＋8＋10＝12a
2
＋24．
情形①：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：
2×(12a
2
＋24)－2×6a
2
＝12a
2
＋48．
情 形②：将两个直三棱柱的侧面ABB
1
A
1
重合拼在一起，结果可能拼成三棱 柱，也可能
拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a
2
＋24)－2×8＝24a
2
＋32．
情形③：将两个直三棱柱的侧面ACC
1
A
1
重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能
拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a2
＋24)－2×6＝24a
2
＋36．
情形④：将两个直三棱柱的侧 面BCC
1
B
1
重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：
2× (12a
2
＋24)－2×10＝24a
2
＋28
在以上四种情形中，②、③的结果都比④大，所以表面积最小的情形只能在①、④中产
生． < br>依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得24a
2
＋28＜12a
2
＋48，解得
a
所以a的取值范围是
(0,
2
5
,

3
15
)

3
例6 在棱长为a的正方体ABCD －A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别是B B
1
，CD的中点，求三
棱锥F－A
1
ED
1
的体 积．

【分析】计算三棱锥F－A
1
ED
1
的体 积时，需要确定锥体的高，即点F到平面A
1
ED
1
的
距离，直接求 解比较困难．利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如
V
F
AED
V
A
1
EFD
1
，
11
也不易计算，因此可以考虑 使用等价转化的方法求解．
解法1：取AB中点G，连接FG，EG，A
1
G． < br>∵GF∥AD∥A
1
D
1
，∴GF∥平面A
1
ED< br>1
，
∴F到平面A
1
ED
1
的距离等于点G到平面 A
1
ED
1
的距离．
∴
V
FA
1ED
1
V
GA
1
ED
1
V
D< br>1
A
1
EG

1131
S
A
1
EG

A
1
D
1
a
2
a a
3
.

3388

7 9

解 法2：取CC
1
中点H，连接FA
1
，FD
1
，FH， < br>FC
1
，D
1
H，并记FC
1
∩D
1
H＝K．
∵A
1
D
1
∥EH， A
1
D
1
＝EH，∴A
1
，D
1
，H，E四点共面．
∵ A
1
D
1
⊥平面C
1
CDD
1
，∴FC⊥ A
1
D
1
．
又由平面几何知识可得FC
1
⊥D< br>1
H，∴FC⊥平面A
1
D
1
HE．
∴FK的长度 是点F到平面A
1
D
1
HE(A
1
ED
1
)的距离．
容易求得
FK
35115
2
35a1
3a,

V
FA
1
ED
1
S
A< br>1
ED
1

FKaa.

104
33108
练习7－2
一、选择题：
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
3．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm，高为12 cm．现要为100个这种相同规格< br>的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m
2
，
那么为这批笔筒涂色约需涂料( )
(A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg
4．某几何体的一条棱长为< br>7
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
6
的线段，
在该几何 体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最
大值为( )
(A)
22
(B)
23
(C)4 (D)
25

二、填空题：
5．如图，正三棱柱ABC－A
1B
1
C
1
的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A
1
C
1
的中点，则EF
的长等于______．

6．将边长为1的 正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝1，则三棱锥D－ABC的体积
是______． 7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面
上，且该 六棱柱的高为
3
，底面周长为3，则这个球的体积为______．
8 9

8．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，< br>写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①：___________ __________________________________________________ __；
充要条件②：____________________________________ ___________________________．
(写出你认为正确的两个充要条件)
三、解答题：
9．如图，在正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是DD
1
的中点．

(Ⅰ)求证：BD
1
∥平面ACE；
(Ⅱ)求证：平面ACE⊥平面B
1
BDD
1
．

10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高
为4的 等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(Ⅰ)求该几何体的体积V；
(Ⅱ)求该几何体的侧面积S．
11．如图，已知A BCD－A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为3的 正方体，点E在AA
1
上，点F在CC
1
上，
且AE＝FC
1
＝1．

(Ⅰ)求证：E，B，F，D
1
四点共面；
(Ⅱ)若点G在BC上，
BG
2
，点M在BB
1
上，GM⊥BF， 求证：EM⊥面BCC
1
B
1
．
3
9 9