山西汾阳-中央领导人

1.3.2 空间几何体的体积

教学目标：
1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；
2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；
3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．

教材分析及教材内容的定位：
通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱 体、锥体和台体的体
积之间的关系，体会数与形的完美结合．

教学重点：
柱、锥、台的体积计算公式及其应用．
教学难点：
运用公式解决有关体积计算问题．

教学方法：
通过分析柱体、锥体和台 体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积
之间的关系，体会数与形的完美结合

教学过程：
一、问题情境
类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面 积，我们可以用单位正方体（棱长为1
个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．
一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多
少． 长方体的长、宽、高分别为
a
，
b
，
c
，那么它的体积 为
V
长方体
=
abc
或
V
长方体
=Sh
（这里，
S
，
h
分别表示长方体的底面积和高．）
二、学生活动
阅读课本P59“祖暅原理”．
思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？

1

三、建构数学
1．柱体的体积．
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿 某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相
等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．
V
2．锥体的体积．
=
sh
柱体
类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．
1
V
锥体
sh

3
3．台体的体积．
上下底面积分别是
S’
,
S
,高是
h
，则
1
V
台体
h(SSS'S')

3

柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？
4．球的体积．
一个底面半径 和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆
锥后，所得几何体的体积与一个 半径为R的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．
1124
V
球


R
2
gR

R
2
gR
< br>R
3
，所以
V
球


R
3
．
2333
四、数学运用
例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是
7. 8kgcm
)六角螺帽共重6kg，已知底面是
正六边形，边长为12mm,内孔直径为10m m，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（
π
取3．14，
可用计算器）？ < br>分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六
角螺帽 的质量．
解：
V
3
310
12
2
610 3.14()
2
102956(mm
3
)2.956(cm
3
)
,
42
所以螺帽的个数为
61000(7.82.956)260
（个）
答：这堆螺帽大约有260个．

2

例2 圆锥形封闭容 器，高为
h
，圆锥内水面高为
h
1
,h
1

面高为
h
2
,求
h
2
．
h
,若将圆锥 倒置后，圆锥内水
3
分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面， 此平面截得的小
圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．
V
S AB
V
SCD
2
h
8
3
()
3

h27
1
解：
1919

19
3

3
3
19
33
倒置后：V
水
:V< br>锥
h
2
:hh
2


h
< br>h

V
锥
27273

27

V
水
例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm，高度为5 cm，
该西瓜体积大约有多大?
练习：
1．直三棱柱
ABC
-
A
′
B
′
C
′各侧棱和底面边长均为
a
， 点
D
是
CC
′上任意一点，连结
A
′
B
，
BD
，
A
′
D
，
AD
，则三棱锥
A－A
′
BD
的体积是多少？
2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高 并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体
积是原三棱柱体积的 倍；
3．表面积为324
π
的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容
1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；
2．球的表面积和体积公式．

3