感恩卡片制作-山东财经学院东方学院

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文
2015年上海市文科试题

一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在 答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个
空格填对得4分，否则一律零分）
1.函数
f(x)13sinx
的最小正周期为.
2.设全集
UR
.若集合
A{1,2,3,4}
，
B{x|2x3}
，则
A

(C
U
B)
.
3.若复数
z
满足
3zz1i
，其中
i
是虚数单位，则
z
.
4.设
f
1
2
(x)
为
f(x)
x
1
的反函数，则
f(2)
.
2x1
5.若线性 方程组的增广矩阵为



2
3
c
1
< br>
x3

解为，则
c
1
c
2

.



0
1
c
2


y5
6.若正三棱柱的所有棱长均为
a
，且其体积为
163，则
a
.
7.抛物线
y2px(p0)
上的懂点
Q
到焦点的距离的最小值为1，则
p
.
8. 方程
log2
(9
x1
2
5)log
2
(3
x1
2)2
的解为.

xy0

9.若
x, y
满足

xy2
，则目标函数
fx2y
的最大值为 .

y0

10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加 义务献血，要求男、女教师都有，则不同的
选取方式的种数为 （结果用数值表示）.
11.在
(2x
1
6
)
的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.
x
2
x
2
y
2
1，若
C
2
的一条渐近线的斜率是
C
1
的一12.已知双 曲线
C
1
、
C
2
的顶点重合，
C
1
的方程为
4
条渐近线的斜率的2倍，则
C
2
的方程为
13.已知平面向量
a
、
b
、
c
满足
a b
，且
{|a|,|b|,|c|}{1,2,3}
，则
|abc|< br>的最大值是
14.已知函数
f(x)sinx
.若存在
x
1
，
x
2
，

，
x
m满足
0x
1
x
2
x
m
6
，且
|f(x
1
)f(x
2
)||f(x
2
)f(x
3
)||f(x
m1
)f(x
m
)|12
(m12,mN

)
，则
m
的 最小值
为

二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且 只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号
上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零 分.
15. 设
z
1
、
z
2
C
，则“
z
1
、
z
2
均为实数”是“
z
1
z
2
是实数”的（ ）.

A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16. 下列不等式中，与不等式
2
x8
2
解集相同的是（ ）.
x
2
2x3
2
A.
(x8)(x2x3)2
B.
x82(x2x3)

x
2
2x31
12

C.
2
D.

x82
x2x3x8
17. 已知点
A
的坐标 为
(43,1)
，将
OA
绕坐标原点
O
逆时针旋转
（ ）.
A.

至
OB
，则点
B
的纵坐标 为
3
3353
B.
22
C.
1113
D.
22
n
(nN

)
与圆
x
2< br>y
2
2
在第一象限的交点，则极限
n1
18. 设P
n
(x
n
,y
n
)
是直线
2xy 
lim
n
y
n
1

( ).
x
n
1
A.
1
B.

1

2
C.
1
D.
2


三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必 须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图，圆锥的顶点为
P
，底面圆为
O
，底面的一条直径为
AB
，
C
为半圆弧
AB
的中点，
E
为劣
弧
C B
的中点，已知
PO2,OA1
，求三棱锥
PAOC
的体积， 并求异面直线
PA
和
OE
所成角的
大小.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
1
，其中
a
为常数
x
(1)根据
a
的不 同取值，判断函数
f(x)
的奇偶性，并说明理由；
(2)若
a(1,3 )
，判断函数
f(x)
在
[1,2]
上的单调性，并说明理由.
已知函数
f(x)ax
2

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，
O, P,Q
三地有直道相通，
OP3
千米，
PQ4
千米，
O Q5
千米，现甲、乙两警员
同时从
O
地出发匀速前往
Q
地 ，经过
t
小时，他们之间的距离为
f(t)
（单位：千米）.甲的路线是OQ
，
速度为
5
千米小时，乙的路线是
OPQ
，速度为
8
千米小时，乙到达Q地后在原地等待.设
tt
1
时，
乙 到达
P
地，
tt
2
时，乙到达
Q
地.
(1)求
t
1
与
f(t
1
)
的值； (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当
t
1
tt
2< br>时，求
f(t)
的表达式，并判断
f(t)
在
[t
1
,t
2
]
上的最大值是否超过3？说明理由.

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6
分.
已知椭圆
x2y1
，过原点的两条直线
l
1
和
l
2
分别与椭圆交于点
A
、
B
和
C
、D
，记
AOC
的面积为
S
.
(1)设
A( x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)
，用
A
、并证明
S
C
的坐标表示点
C
到直线< br>l
1
的距离，
22
1

x
1
y2
x
2
y
1
；
2

33

1
,
（2）设
l
1
:ykx
，
C

，
S
，求
k
的值;
3

33< br>
(3)设
l
1
与
l
2
的斜率之积为
m
，求
m
的值，使得无论
l
1
和
l
2< br>如何变动，面积
S
保持不变.
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8
分.
已知数列

a
n

与

b
n
满足
a
n1
a
n
2(b
n1
b
n
),nN*
.
(1)若
b
n
3n 5,
且
a
1
1
,求

a
n
< br>的通项公式;
(2)设

a
n

的第
n< br>0
项是最大项,即
a
n
0
a
n
(nN* )
,求证:

b
n

的第
n
0
项 是最大项;
n
(3)设
a
1
3

0
,
b
n


(nN*)
,求

的取值范 围,使得对任意
m,nN*
，
a
n
0
，且
a< br>m

1



,6


a
n

6


答案
一、（第1题至第14题）

1.

2.{1.4} 3.

112
i
4.

5.16 6. 4 7. 2 8. 2
423
x
2
y
2
1
13.
35
14.8 9. 3 10. 120 11.240 12.
44
二、（第15题至第18题）
15 .A 16.B 17.D 18.A
三、（第19题至第23题）
111
2

323
因为
ACOE
,所以PAC
为异面直线
PA
与
OE
所成的角或其补角
19 .[解]
V
PAOC


由
PO2,OAOC1
,得
PAPC
在
PAC
中，由余弦定理得
cosPA C
5
,
AC2

1010
,故异面直线
PA< br>与
OE
所成的角的大小为
arccos

1010
2 0.[解]（1）
f(x)
的定义域为
{xx0,xR}
,关于原点对称 ，
11
ax
2

，
xx
当
a0
时，
f(x)f(x)
为奇函数 < br>当
a0
时，由
f(1)a1,f(1)a1
，知
f(1)f(1)
，故
f(x)
即不是奇函数也不是偶函数。
（2）设
1x
1
＜x
2
2
，则
f( x)a(x)
2

f(x
2
)f(x
1
) ax
2
2


111

ax
1
2
(x
2
x
1
)

a(x
1x
2
)

，
x
2
x
1
xx

12

由
1x
1
＜x
2
2
，得
x
2
x
1
＞0， 2＜
x
1
x
2
＜4, 1＜
x
1
x
2
＜4，
11
＜-
，又1＜
a
＜3,所以2＜
a(x
1
x
2
)
＜1 2,
x
1
x
2
4
1
得
a(x
1
x
2
)
-＞0，从而
f(x
2
)f(x
1
)
＞0，即
f(x
2
)＞f(x
1
)
，故当
a(1,3)
时，
x
1
x
2
f(x)
在[1,2]上单调递增。
1＜

21.[解]（1）
t
1

3

8

记乙到P时甲所在地为R，则OR=
15
千米。
8
3
41
（千米）
8
在
OPR
中，PR
2
=OP
2
+OR
2
2OP·ORcos

O,所以
f(t
1
)PR
（2）
t
2
7
,
8
如图建立平面直角坐标系。设经过
t
小时，甲、乙所在位置分别为M,N.
当
t

,

时，
M(3t,4t),N(3,8 t3),

88

37



f(t )(3t3)
2
(4t3)
2
25t
2
42 t18


37

f(t)
在

,
上的最大值是

88


22.[证]（1）直线< br>l
1
：
yxxy0
，点
C
到
l
1
的距离
d

3

341
，不超过3
f


8

8

y
1
x
2
x
1
y
2
xy
2
1
2
1


因为
OA
所以
S
x
1
2
y
1
2
，
11
OAdx
1
y
2
x
2
y
1
.
22

ykx1
2
x
[解]（2）由

2
,得
1
2
2
12k

x2y1

由（1），
S
3k1
1133

x
1
y
2
x< br>2
y
1
x
1
kx
1

2
2233
612k
由题意，

1
1

，解得
k
或-1
5
612k
2
3
m
x
.
k
3k1
[解]（3）设
l
1
：
ykx
，则
l< br>2
：
y
设
A(x
1,
y
1
),
C(x
2
,y
2
)

由


ykx
22

x2y1
1k
2
2
同理
x
2

、

2
2
k2m

m

12


k

，得
x
1

2
1

2
12k
由（1）, 2
k
2
m
11
x
1
mx
2
1
km
,
Sx
1
y
2
x
2y
1
x
2
kx
1
x
1
x
2
=
222
22k2k
212kk2m
242222 22
整理得
(8S1)k(4S16Sm2m)k(8S1)m0
< br>
2
1
S
2


8S10
1


8
由题意知S与k无关，则

2
，得，所以
m

2
2


m
1
< br>4S16Sm2m0

2
23.[解](1)由
b
n 1
b
n
3
，得
a
n1
a
n6
，
所以

a
n

是首项为1，公差为6的等差数列，
故

a
n

的通项公式为
a
n
=
6n5
,
nN

[证]（2）由
a
n1
 a
n
2

b
n1
b
n

， 得
a
n1
2b
n1
a
n
2b
n

所以

a
n
2b
n

为常数 列，
a
n
2b
n
a
1
2b
1
，即
a
n
2b
n
a
1
2b
1
因为
a
n0
a
n
，
nN
,所以
2b
n0
a
1
2b
1
2b
n
a
1
2b
1
，即
b
n0
b
n

故

b
n

的第
n
0
项是最大项
nn1n
[解]（3）因为
b
n


，所以a
n1
a
n
2(



)，
当
n2
时，
a
n


a
n
a
n-1



a
n-1
an-2

+…+

a
2
a
1
a
1

=
2


n
n


n1

2


n1


n2


…
2


2
< br>

3


=
2




当
n1
时，
a
1
3

，符合上式
n
所以
a
n
2




因为
a
1
3

＜0，且对任意
nN
,
于是




a
1

1


,6

，故
a
n
＜0，特别地
2



＜0
a
n

6


1

,0



2


此时对任意
nN
，
a
n
0

当

1
2n2n1
＜

＜0时，
a
1n
2





,a
2n1
2




，由指数函数的单调性知，
2


a
n

的最大值为
a
2
2

2


0
，最小值为
a
1
3

，由题意，
a
m
的最大值及最小值分别为
n
a
a
1
3
2

1131

。由<6,解得


0


及
a
2
2
1
362

14
综上所述，

的取值范围为



1

,0

.
4
