阿坝师范学院-政务公开总结

2001年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
第Ⅰ卷
(选择题共60分)

注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出 答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案，不能答在 试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式
S
台侧

s inacos


cosasin


cosacos

1

sin





sin







21

sin





sin






2
1
cos





cos






2
1

cos





cos






2
1
(c

c)l

2
其中c′、c分别表示上、下底面周
长， l表示斜高或母线长
台体的体积公式
V
台体

sinasin



1
(S

S

SS)h

3
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合 题目要求的
(1) 若siniθcosθ＞0，则θ在
(A) 第一、二象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、四象限
( )
(D) 第二、四象限
( ) (2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是
(A) (x－3)
2
＋(y＋1)
2
= 4
(C) (x－1)
2
＋(y－1)
2
= 4
(B) (x＋3)
2
＋(y－1)
2
= 4
(D) (x＋1)
2
＋(y＋1)
2
= 4
(3) 设｛a
n
｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6
( )
第
1
页

(4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x) = log
2a
(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是

(A)(
0，
)
( )
1
2
(B)

0，


2


1


(C) (
1
，＋∞)
2
(D) (0，＋∞)
(5) 极坐标方程
2sin(



4
)
的图形是 ( )
(6) 函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是
(A) y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2)
(C) y = arc cos (x－1)(0≤x≤2)
(B) y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2)
(D) y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2)
( )
(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F
1
(1，0) F
2
(3，0)，则其离心率为
(A)
( )
(D)
3

4
(B)
2

3
(C)
1

2
1

4
( ) (8) 若0＜α＜β＜
(A) a＜b

，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则
4
(B) a＞b (C) ab＜1 (D) ab＞2
(9) 在正三棱柱ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，若
AB

(A) 60° (B) 90°
2BB
1
，则AB
1
与C
1
B所成的角的大小为
( )
(C) 105° (D) 75°
(10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：




① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增；
② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增；
③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；
④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减．
其中，正确的命题是
(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
( )
(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜 ；②双向倾斜；③四向倾斜．记
三种盖法屋顶面积分别为P
1
、P
2
、P
3
．
第
2
页

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则
(A) P
3
＞P
2
＞P
1
(B) P
3
＞P
2
= P
1

( )
(C) P
3
= P
2
＞P
1


(D) P
3
= P
2
= P
1

(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它
们有网线相联．连线标注的数 字表示该段网线单位时间内可以通
过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开
沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
(A) 26

(B) 24 (C) 20 (D) 19
( )
第Ⅱ卷
(非选择题共90分)


二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
3
，则这个圆锥的侧面积是
x
2
y
2
1
的两个焦点为F
1
、F< br>2
，点P在双曲线上．若PF
1
⊥PF
2
，则点P到(14) 双曲线
916
x轴的距离为
(15)设｛a
n
｝ 是公比为q的等比数列，S
n
是它的前n项和．若｛S
n
｝是等差数列，则
q =
(16)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17) (本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA =
AB = BC = 1，
AD
1
．
2
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
第
3
页

(18) (本小题满分12分)









(19) (本小题满分12分)
设抛物线y
2
=2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在
已知复数z
1
= i (1－i)
3
．
(Ⅰ)求arg z
1
及
z
1
；
z
1
=1，求
zz
1
的最大值． (Ⅱ)当复数z满足
抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．







(20) (本小题满分12分)


已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
(Ⅰ)证明
nP
m
mP
n
；
(Ⅱ)证明(1＋m)
n
＞ (1＋n)
m
．
第
4
页
iiii

(21) (本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产
业．根据规 划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
1
．本年度当地旅游业收入
5
估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增
加

1
．
4
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为a
n
万元，旅游业总收入为b
n
万元．写出a
n
，b
n的表达式；
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？








(22) (本小题满分14分)
设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x
1
，x
2
∈[0，
1
]
2
都有f (x
1
＋x
2
) = f (x
1
) · f (x
2
)．且f (1) = a＞0．
(Ⅰ)求f (
11
) 及f ()；
24
1
)，求
lim

lna
n< br>
．
n
2n
(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数；
(Ⅲ)记a
n
= f (2n＋
第
5
页

2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案

第Ⅰ卷
(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．圆< br>(x1)y1
的圆心到直线
y
22
3
x
的距 离是
3
C．1 D．
3
A．
1

2
B．
3

2
2．复数
(
13
3
i)
的值是
22
B．
i
C．
1
D．1 A．
i

3．不等式
(1x)(1|x|)0
的解集是
A．
{x|0x1}

C．
{x|1x1}

B．
{x|x0
且
x1}

D．
{x|x1
且
x1}

4．在
(0,2

)
内，使
sinxcosx
成立的
x
的取值范 围是
第
6
页


5

B．
(
,

)

,)

(

,)

4
424

5


5

3

C．
(,
D．
(,

)

()

,)

44442
k1k1
5．设集合
M{x|x, kZ}
，
N{x|x,kZ}
，则
2442
A．
MN
B．
MN
C．
MN
D．
MN

A．
(


xt
2
6．点
P(1,0)
到曲线

（其中参数
tR
）上的点的最短距离为

y2t
A．0 B．1 C．
2
D．2
7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好 与半球的体积相等，那么这个圆锥轴
截面顶角的余弦值是
A．
3

4
B．
4

5
C．
3

5
D．

3

5
8．正六棱柱
ABCDE FA
1
B
1
C
1
D
1
E
1F
1
的底面边长为1，侧棱长为
2
，则这个棱柱侧面对
角线E
1
D
与
BC
1
所成的角是
A．
90

2
B．
60
C．
45
D．
30

9．函数
yxbx c
（
[0,)
）是单调函数的充要条件是
A．
b0

10．函数
y1







11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
12．据2002年3月5日九届人大五次会议 《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到
95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十 •五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值
都按此年增长率增长，那么到“十•五”末 我国国内年生产总值约为
A．115000亿元

B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元
O
1
1
x
O
B．
b0
C．
b0
D．
b0

1
的图象是
x 1
y
y
y
y
1
1
1
-1
Ox< br>1
x
-1
Ox
(A)
(B)
(C)
(D)< br>第II卷
(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
第
7
页

13．函数
ya
在
[0,1]
上的最大值与最小值这和为3，则
a
＝
14．椭圆
5xky5
的一个焦点是
(0,2)
，那么
k
27
3
x
22


15．
(x1)(x2)
展开式中
x
的系数是 < br>x
2
111
16．已知
f(x)
，那么
f(1) f(2)f()f(3)f()f(4)f()
＝
2
1x
234

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 ．已知
sin2

sin2

cos

cos 2

1
，

(0,





18．如图，正方形
ABCD
、
ABEF
的边长都是1， 而且平面
ABCD
、
ABEF
互相垂直点
M
在
AC
上移动，点
N
在
BF
上移动，若
CM
2

2
)
，求
sin

、
tg

的值
C
D
P
M
B
N
A
BNa
（< br>0a2
）
Q
E
F
（1）求
MN
的长；
（2）
a
为何值时，
MN
的长最小；
（3）当
M N
的长最小时，求面
MNA
与面
MNB
所成二面角

的大小












19．设点
P
到点
(1,0)
、
(1,0)
距离之差为
2m
，到
x
、
y
轴 的距离之比为2，求
m
的取值范
围



第
8
页

20．某城 市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，
并且每年新增汽 车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每
年新增汽车数量不应超过多 少辆？








21 ．设
a
为实数，函数
f(x)x|xa|1
，
xR

（1）讨论
f(x)
的奇偶性；
（2）求
f(x)
的最小值
2











22．设数列
{a
n
}
满足：
a
n1
（I）当
a
1< br>（II）当
a
1
a
n
na
n
1
，
n1,2,3,

2
2
时，求
a
2,a
3
,a
4
并由此猜测
a
n
的一个通项公式 ；
3
时，证明对所的
n1
，有
（i）
a
n
n2

（ii）
11111




1a
1
1a
2
1a
3
1a
n
2




第
9
页

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学
（理工农医类）
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

1
1
sin

cos
[sin(



)sin(


)]

S
台侧
(c

c)l
其中
c

、
c
分别表示
2
2
1
cos

sin

[sin(



)sin(



)]
上、下底面周长，
l
表示斜高或母线长.
2
1
4
cos< br>
cos

[cos(



)co s(



)]
球体的体积公式：
V
球


R
3
，其中R < br>3
2
1
sin

sin

[cos(



)cos(



)]
表示球的半径.
2
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷
（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的
1．已知
x(

2
，0），
cosx
4
，则
tg2x
（ ）
5
7
（C）
24
（D）
24
（A）
7
（B）

< br>7
24
24
7
8sin

的准线方程是 （ ）
2
cos

（A）

cos

2
（B）

cos

2
（C）

sin

2
（D）

sin

2

2．圆锥曲线



2
x
1
x0

3．设函数
f (x)

1
，若
f(x
0
)1
，则
x
0
的取值范围是 （ ）
2
x0


x
（A）（
1
，1） （B）（
1
，

）
第
10
页

（C）（

，
2
）

（0，

） （D）（

，
1
）

（1，

）
4．函数
y2sinx(sinxcosx)
的最大值为 （ ）
（A）
12
（B）
21
（C）
2
（D）2
5．已知圆C：
(xa)
2(y2)
2
4
（
a0
）及直线
l
：< br>xy30
，当直线
l
被C截得
的弦长为
23
时 ，则
a
（ ）
（A）
2
（B）
22
（C）
21
（D）
21

9
4
6 ．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
（A）
2

R
（B）

R
2
（C）

R
2
（D）

R
2

7．已知方程
(x
2
2xm)(x
2
2xn)0
的四个根组成一个首项为
1
的的等差数列，则
4
2
8
3
3
2
|mn|
（ ）
（A）1 （B）
3
（C）
1
（D）
8
2
4
8．已知双曲线中 心在原点且一个焦点为F（
7
，0），直线
yx1
与其相交于M、N两< br>点，MN中点的横坐标为

3
2
，则此双曲线的方程是 （ ）
3
22
xy
x
2
y
2
x2
y
2
x
2
y
2
（A）
1

1
（C）
1
（D）
1
（B）
25
4352
34

3< br>
1
9．函数
f(x)sinx
，
x[,]
的 反函数
f(x)
（ ）
22
（A）
arcsinx

x[1
，1] （B）


（C）

arcsinx

x[1
，1]
arcsinx

x[1
，1] （D）

arcsinx

x[1
，1]
10． 已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB
的中 点
P
0
沿与AB的夹角

的方向射到BC上的点
P
1
后，依次反射到CD、DA和AB上的
点
P
2
、
P
3
和
P
4
（入射角等于反射角），设
P
4
的坐标 为（
x
4
，0），若
1x
4
2
，则
t g

的取值范围是 （ ）
2
1
21
（A）（
1
，1） （B）（，
2
） （C）（，） （D）（
2
，）
33
3
52
3
5
222
C
2
C
3
2
C
4


C
n
11．
lim
（ ） < br>n
n(C
1
C
1
C
1


C
1
)
234n
（A）3 （B）
1
（C） （D）6
6
3
第
11
页
1

12．一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
（A）
3

（B）
4

（C）
33

（D）
6


2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学
（理工农医类）
第Ⅱ卷
（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上
9
13 ．
(x
2

1
)
9
的展开式中
x
系数是
2x
14．使
log
2
(x) x1
成立的
x
的取值范围是
15 ．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有
4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
3
种（以数字作答）
2
1
4
5
16．下列5个正方体图形中，
l
是正方体的一条对
角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，
能得出
l
面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）
P P
P
M
N
l
M
l
M
N
P
M
N
l
l
N
M
l
N
P
① ② ③ ④ ⑤

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知复数
z
的辐角为
60
，且
|z1|
是
|z|
和
|z2|
的等比中项 ，求
|z|





18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱
ABCA
1B
1
C
1
中，底面是等腰直角三角
形，
ACB90 
，侧棱
AA
1
2
，D、E分别是
CC
1
与
A
1
B
的中
点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
E
K
第
12
页
C
A
D
G
C
B
A
F
B

（I） 求
A
1
B
与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
（II） 求点
A
1
到平面AED的距离









19．（本小题满分12分） 已知
c0
，设
P：函数
yc
x
在R上单调递减 Q：不等式
x|x2c|1
的解集为R
如果P和Q有且仅有一个正确，求
c
的取值范围







20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于
线
O
海
岸
y
北
东
x

2
）方向300km的海面P< br>10
处，并以20kmh的速度向西偏北
45
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10kmh的速度不断增大，问
城市O（如图）的东偏南< br>
(

arccos
几小时后该城市开始受到台风的侵袭？







21．（本小题满分14分）
已知常数
a
r
P
45
P
0
，在矩形ABCD 中，
AB4
，
BC4a
，O为AB的中点，点E、F、
BECF DG
，P为GE与OF的交点（如图），问是

BCCDDA
否存在两个定 点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若
不存在，请说明理由

G分别在BC、CD、DA上移动，且
第
13
页

y

D
F
P
G
A
O
C
E







22．（本小题满分12分，附加题4 分）
（I）设
{a
n
}
是集合
{22|

st
B
x
0st
且
s,tZ
}中所有的 数从小到大排列成的数列，
即
a
1
3
，
a
25
，
a
3
6
，
a
4
9
，
a
5
10
，
a
6
12
，…
将数列
{a
n
}
各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5 6
9 10 12
— — — —
…………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求
a
100








（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）
设
{b
n
}
是集合{2
r
2
s
2
t
|0rst
，且< br>r,s,tZ}
中所有的数从小到大排列成的数
列，已知
b
k
1160
，求
k
.









第
14
页

2004年高考试题全国卷2
理科数学（必修＋选修Ⅱ）
(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的．
（1）已知集 合M＝{x|x
2
＜4
}
，N＝{x|x
2
－2x－3＜0
}
，则集合M∩N＝
（A）{x|x＜－2
}
（B）{x|x＞3}
（C）{x|－1＜x＜2
}
（D）{x|2＜x＜3
}

x
2
x2
（2）
lim
2
＝
n1
x4x5
1
（B）1
2
21
（C） （D）
54
（A）
（3）设复数ω＝－
1
＋
3
i ，则1＋ω＝
2
2
1

（A）–ω （B）ω
2

（C）

1

（D）

2
（4）已知圆C与圆(x－1)
2
＋y
2
＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为
（A）(x＋1)
2
＋y
2
＝1 （B）x
2
＋y
2
＝1
（C）x
2
＋(y＋1)
2
＝1 （D）x
2
＋(y－1)
2
＝1
（5）已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(
（A）－


6
（B）


6


,0)，则φ可以是
12

（C）－
12
（D）


12
（6）函数y＝－e
x
的图象
（A）与y＝e
x
的图象关于y轴对称 （B）与y＝e
x
的图象关于坐标原点对称
（C）与y＝e
x
的图象关于y轴对称 （D）与y＝e
x
的图象关于坐标原点对称
－－
（7）已知球O的半径为1 ，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为
O到平面ABC的距离为
（A）

，则球心
2
1
（B）
3
（C）
2
（D）
6

3
3
3
3
（8）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点 B(3，1)距离为2的直线共有
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
第
15
页

（9）已 知平面上直线
l
的方向向量
e
A
1
，则
O
1
A
1
＝

（A）

43
(,)，点O(0,0)和A(1,-2)在
l
上的射影分别是O
1
和
55

e
，其中

＝
11
（B）－
11
（C）2 （D）－2
55
（10）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数
（A）(

3

，
22
) （B）(

，2

) （C）(
3

5

，) （D）(2

，3

)
2
2
（11）函数y＝s in
4
x＋cos
2
x的最小正周期为
（A）


4
（B）


2
（C）

（D）2


（12）在由数字1，2，3， 4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于
43521的数共有
（A）56个 （B）57个 （C）58个 （D）60个

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）从 装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ
的概率分布为
ξ
P

（14）设x，y满足约束条件
0

1

2


x0
，

< br>
xy
，

2xy1
，

则z＝3x ＋2y的最大值是 ．
（15）设中心在原点的椭圆与 双曲线2x
2
－2y
2
＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，
则该椭圆的方程是 ．
（16）下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．

三、 解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17） (本小题满分12分)
已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝
(Ⅰ)求证：tanA＝2tanB；
(Ⅱ)设AB＝3，求AB边上的高．


第
16
页
3
，sin(A－B)＝
1
．
55

（18）(本小题满分12分)
已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．求
(Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率；
(Ⅱ)A组中至少有两个弱队的概率．








（19）(本小题满分12分)
数列{a
n
}的前n项和记为S
n
，已知a
1
＝1，a
n
＋
1
＝
n2S
n
（n＝1，2，3，…）．证明：
n
(Ⅰ)数列{
S
n
}是等比数列；
n
(Ⅱ)S
n
＋
1
＝4a
n
．












（20）(本小题满分12分) ．
如图，直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，∠ACB＝90
o
，AC＝1，CB＝2
，侧棱AA
1
＝1，侧面
AA
1
B
1
B的两条对角线交点为D，B
1
C
1
的中点为M．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；
(Ⅱ)求面B
1
BD与面CBD所成二面角的大小．





第
17
页

（21）(本小题满分12分)
给定抛物线C：y
2
＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
(Ⅰ)设l的斜率为1，求
OA
与
OB
夹角的大小；
(Ⅱ )设
FB
＝

AF
，若

∈[4，9]，求l在y 轴上截距的变化范围．









(22)(本小题满分14分)
已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(




ab
)＜(b－a)ln2．
2





2005年高考理科数学全国卷（二）

（必修+选修II）
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
第
18
页

P(A+B)=P(A)+P(B)
S4

R
2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
V
4

R
3

3
k
P
k
(1P)
nk
其中R表示球的半径 次的概率
P
n
(k)C
n

一、选择题：
1. 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ）

A. B. C. π D.
42
2π
2. 正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，P、Q、R分别是AB、AD、B
1
C
1
的中点.
那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形
D. 六边形
3. 函数
y
3
x
2
1(x0)
的反函数是（ ）
A.
y(x1)
3
(x1)

C.
y(x1)
3
(x0)

4. 已知函数
ytan

x在(


B.
y(x1)
3
(x1)

D.
y(x1)
3
(x0)

,)
内是减函数，则（ ）
22
A. 0<

≤1 B. －1≤

<0
C.

≥1 D.

≤－1
abi
5. 设a、b、c、d∈R，若为实数，则（ ）
cdi
A. bc+ad≠0 B. bc－ad≠0
C. bc－ad=0 D. bc+ad=0
x
2
y
2
1< br>的焦点为F
1
、F
2
，点M在双曲线上且MF
1
⊥x 轴，6. 已知双曲线
63

则F
1
到直线F
2
M的距离为（ ）
A.
5

6
36

5
B.
56

6
C.
6

5
D.
7. 锐角三角形的内角A、B满足tanA－
A. sin2A－cosB=0
1
=tanB，则有（ ）
sin2A
B. sin2A+cosB=0
第
19
页

C. sin2A－sinB=0 D. sin2A+sinB=0
8. 已知点A（
3< br>，1），B（0，0）C（
3
，0）.设∠BAC的平分线AE与
BC相交于E ，那么有
BC

CE,其中

等于（ ）
A. 2

B.
1

2
C. －3
1
D. －
3
9. 已知集合M=|x|x
2
－3x－2 8≤0|N={x|x
2
－x－6>0|，则M∩N为（ ）
A. |x|－4≤x<－2或3B. |x|－4C. |x|x≤－2或x>3|
D. |x|x<－2或x≥3|
10. 点P在平面上作匀速 直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动
方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位 ）.设开始时点P的坐标为（－
10，10），则5秒后点P的坐标为（ ）
A. （－2，4） B. （－30，25）
C. （10，－5） D. （5，－10）
11. 如果a
1
，a
2
，…，a
8
为各项都大于 零的等差数列，公差d≠0，则
（ ）
A. a
1
a
8
＞a
4
a
5
B. a
1
a
8
＜a
4
a
5

C. a
1
＋a
8
＞a
4
＋a
5
D. a
1
a
8
＝a
4
a
5

12. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四
面体的高的最小值为（ ）
A.
326

3









第Ⅱ卷
B.
2
26

3
3
C.
4
26

3
D.
4326

注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚.
3. 本卷共10小题，共90分.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线
上.）
13. 圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为 .
sin3

13
,则tan2

. 14. 设

为第四象限的角，若
sin

5
15. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被
5整除的数共有 个.
16. 下面是关于三棱锥的四个命题：
第
20
页

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱
锥.
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角都相等 ，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱
锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编
号）.

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤）
17. （本小题满分12分）
设函数









18. （本小题满分12分）
已知
{ a
n
}
是各项均为正数的等差数列，
lga
1
、
l ga
2
、
lga
4
成等差数列，又
的x取值范围。

（Ⅰ）证明
{b
n
}
为等比数列；
（Ⅱ）如果 无穷等比数列
{b
n
}
各项的和
S
d.
（注：无穷数列各项的和即当
n
时数列前n项和的极限）










第
21
页
1
，求数列
{a< br>n
}
的首项a
1
和公差
3

19. （本小题满分12分）
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局 比赛甲队胜乙队的概率
为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比 赛
相互间没有影响.令

为本场比赛的局数,求

的概率分布和数学 期望.（精确到
0.0001）




20. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，< br>AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）设AB=
2
BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.











21. （本小题满分14分）
y
2
1
上，F为椭圆在y轴正半 轴上的焦P、Q、M、N四点都在椭圆
x
2
2

点.已 知
PF与FQ共线,MF与FN线,且PFMF0.
求四边形PMQN的面积的最
小值和最大值。

第
22
页

22. （本小题满分12分）
已知
a0,函数f(x)(x
2
2ax)e
x
.

（Ⅰ）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设
f(x)
在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.













2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）
数学（理工农医类）
第Ｉ卷

参考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么




径


球的体积公式
球的表面积公式
P(AB)P(A)P(B)

如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么
S4

R
2

其中Ｒ表示球的半
P(A.B)P(A).P(B)

如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么
n
次独立重复试验中恰好发生
k
次的概率是
kk
P
n
(k)C
n
P(1P)
nk

4
V

R
3
3
一．选择题

第
23
页

（
1
）已知集合
M{x|x3},N

x|log
2
x1

，则
MN
( )
（
D
）（
A
）

（
B
）

x|0x3


（
C
）

x|1x3



x|2x3


（
2
）函数
ysin2xcos2x
的最小正周期是
( )
（
A
）
2

（
B
）
4

（
C
）


4
（
D
）


2
（
3
）
3

( )
(1i)
2
（
A
）
33
i
（
B
）
i
（
C
）
i
（
D
）
i

22
（
4
）过球的一条半径 的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
( )
（
A
）
39
3
9

（
B
） （
C
） （
D
）
8
1616
32
x
2
（
5
）已知
ABC
的 顶点
B
、
C
在椭圆
y
2
1
上，顶点< br>A
是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
3
外一个焦点在
BC
边上， 则
ABC
的周长是
( )
（
A
）
23
（
B
）
6
（
C
）
43
（
D
）
12
（
6
）函数
ylnx1(x0)
的反函数为
( )
（
A
）
ye
（
C
）
ye
x 1
(xR)
（
B
）
ye
x1
(xR)

x1
(x1)
（
D
）
ye
x1
(x1)

（
7< br>）如图，平面

的角分别为

平面

，
A

,B

,AB
与两平面

、

所成

A
B'
A'
B


和。过A
、
B
分别作两平面交线的垂线，垂足为
A'
、
46< br>B',
则
AB:A'B'
( )
（
A
）
2:1
（
B
）
3:1

（
C
）
3:2
（
D
）
4:3

（
8
）函数
yf(x)
的图像与函数
g(x)log< br>2
x(x0)
的图像关于原点对称，则
f(x)
的表
达式为
( )
（
A
）
f(x)
1
1
(x0)
（
B
）
f(x)(x0)

log
2
x
log
2
(x)
（
C
）
f(x)log
2
x(x0)
（
D
）
f(x)log
2
(x)(x0)

第
24
页

4
x< br>2
y
2
（
9
）已知双曲线
2

2< br>1
的一条渐近线方程为
yx
，则双曲线的离心率为
( )
3
ab
（
A
）
5
453
（
B
） （
C
） （
D
）

3
342
（
10
）若
f(sinx)3cos2x,
则
f(cosx)
( )
（
A
）
3cos2x

B
）
3sin2x

（
C
）
3cos2x
（
D
）
3sin2x

（
11
）设
S< br>n
是等差数列

a
n

的前
n
项和 ，若
S
S
3
1
,
则
6

( )
S
12
S
6
3
（
A
）
3111
（
B
） （
C
） （
D
）

389
10
（
12
）函数
f(x)

xn
的最小值为
( )
n1
19
（
A
）
190
（
B
）
171
（
C
）
90
（
D
）
45
第
II
卷

二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。

（13
）在
(x
4
1
)
10
的展开式中常数项 是＿＿＿＿＿。（用数字作答）

x
（
14
）已知
ABC
的三个内角
A
、
B
、
C
成等差数列，且
A B1,BC4,
则边
BC
上的中线
AD
的长为＿＿＿＿＿＿＿。

（
15
）过点
(1,
22
2)
的直线< br>l
将圆
(x2)y4
分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，
直线
l
的斜率
k____.

（
16
）一个社会 调查机构就某地居民的月收入调查了
10000
人，并根据所得数据画了样本的频
率分 布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这
10000
人中再用分层抽样方法抽出
100
人作进一步调查，则在
[2500,3000)< br>（元）月收入段应
抽出＿＿＿＿＿人。

频率组距
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
月收入（元）
10001500
2
35004000

三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第
25
页

（
17
）（本小题满分１２分）

已知向量
a(sin< br>
,1),b(1,cos

),
（
I
）若ab,
求

;

（
II
）求
ab
的最大值。






（
18
）（本小题满分１２分）

某批产品成箱包装，每箱
5
件，一用户在购进该批产品前先取出
3
箱，再从每 箱中任意出取
2
件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有
0
件、< br>1
件、
2
件二等品，其余为一等品。

（
I
）用

表示抽检的
6
件产品中二等品的件数，求

的分布列 及

的数学期望；

（
II
）若抽检的
6
件产品中有
2
件或
2
件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品< br>被用户拒绝的概率。









（
19
）（本小题满分１２分）

如图，在直 三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AB BC,D
、
E
分别为
BB
1
、
AC
1的中点。

（
I
）证明：
ED
为异面直线
BB
1
与
AC
1
的公垂线；

（
II
）设
AA
1










第
26
页
C
A
C
1
A
1
D
E
B
B
1

2




2
.

AC2AB,
求二面角
A
1
ADC
1
的大小。

（
20
）（本小题１２分）

设函数
f(x) (x1)ln(x1).
若对所有的
x0,
都有
f(x)ax
成立，求实数
a
的取值范
围。





（
21
）（本小题满分为１４分）

已知抛物线
x4y< br>的焦点为
F
，
A
、
B
是抛物线上的两动点，且
AF

FB(

0).
过
A
、
B< br>两点分别作抛物线的切线，设其交点为
M
。

（
I
）证明

为定值；

（
II
） 设
ABM
的面积为
S
，写出
Sf(

)
的表达式，并求
S
的最小值。












（
22
）（本小题满分１２分）

设数列
2
a
n

的前
n
项和为
S
n
，且方程< br>
x
2
a
n
xa
n
0

有一根为
S
n
1,n1,2,3,...

（
I
）求
a
1
,a
2
;

（
II
）求





第
27
页

a
n

的通项公式

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国
卷Ⅱ)
理科数学（必修+选修Ⅱ）
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共6 0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
参考公式：
如果事件
A，B
互斥，那么







球的表面积公式

S4πR

2
P(AB)P(A)P(B)

如果事件
A，B
相互独立，那么 其中
R
表示球的半径
球的体积公式
P(AB)P(A)P(B)

如果事件
A
在一次试验中发生的概率是
p
，那么
n
次独立重复试验中事件
A
恰好发生
k
次的概率
kk
P
n
(k)C
n
p(1p)
nk
(k 0，1，2，…，n)

4
3
π
R

3
其中
R
表示球的半径

V
一、选择题
1．
sin210
（ ）
A．
3

2
B．

3

2
C．
1

2
D．

1

2
2．函数
ysinx
的一个单调增区间是（ ）
C．

，

A．





3

，

B．

，













D．


3

，2





3．设复数
z
满足
A．
2i

12i
i
，则
z
（ ）
z
B．
2i

B．
ln(ln2)

C．
2i
D．
2i

4．下列四个数中最大的是（ ）
A．
(ln2)

2
C．
ln2
D．
ln2

第
28
页

5．在< br>△ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，若
AD2D B，CD
（ ）
A．
1
CA

CB
， 则


3
D．

2

3
B．
1

3
C．

1

3

2

3
6．不等式
x1
0
的解集是（ ）
x
2
4
B．
(2，)
C．
(21)，
A．
(2，1)


(2，)
D．
(，2)(1，)

7．已知正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的侧棱长与底面边长相等， 则
AB
1
与侧面
ACC
1
A
1
所成角的< br>正弦值等于（ ）
A．
6

4
D．
B．
10

4
C．
2

2


3

2
x
2
1
3lnx
的一条切线的斜 率为，则切点的横坐标为（ ） 8．已知曲线
y
4
2
A．3
x
B．2 C．1 D．
1

2
3)
平移 ，得到
yf(x)
的图像，则
f(x)
（ ） 9．把函数ye
的图像按向量
a(2，
A．
e
x3
2 B．
e
x3
2
C．
e
x2
3
D．
e
x2
3

10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星
期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．40种

B．60种 C．100种
D．120种
x
2
y
2
11．设
F
1
，F
2
分别是双曲线
2

2
的左、右焦点，若双曲线上存在点
A
，使
F
1
AF
2
90
ab
且
AF
1
3AF
2
，则双曲线的离心率为（ ）
5

2
B．A．
10

2
C．
15

2
D．
5

第
29
页

12．设
F
为抛物线
y4x
的焦点，
A，B，C
为该抛物线上三点 ，若
FAFBFC0
，
则
2
FAFBFC
（ ）
B．6 C．4 D．3 A．9
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
1

2

13．
(12x)

x
< br>的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
x

，
)(

0)
．若

在
(0，1)
内取值的概率14．在某项测量中，测量结果

服从正态分布
N(1
2
8
2)
内取值的概率为 ． 为0.4，则

在
(0，
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面 边长为1cm，
那么该棱柱的表面积为 cm．
16．已知数列的通项
a
n
5n2
，其前
n
项和为
S
n< br>，则
lim
2
S
n

． < br>n→
n
2
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在
△ABC
中，已知内 角
A

，边
BC23
．设内角
Bx
，周长为
y
．

（1）求函数
yf(x)
的解析式和定义域；
（2）求









18．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽 取1件，假设事件
A
：“取出的2件产品
中至多有1件是二等品”的概率
P( A)0.96
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率
y
的最大值．
p
；
第
30
页

（2）若该批产 品共100件，从中任意抽取2件，

表示取出的2件产品中二等品的件数，求
的分布列．








19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
SABCD
中，底面
ABCD
为正方形，
侧棱
SD⊥
底面
ABCD，E，F
分别为
AB，SC
的中 点．
（1）证明
EF∥
平面
SAD
；
（2）设
SD2DC
，求二面角
AEFD
的大小．












20．（本小题满分12分）
在直角坐标系
xOy
中，以
O
为圆心的圆与直线
x
（1）求圆
O
的方程；
（2） 圆
O
与
x
轴相交于
A，B
两点，圆内的动点
P使
A
C
D
E B
F
S
3y4
相切．
PA，PO，PB
成等比数列，求
PAPB
的取值范围．








第
31
页

21．（本小题满分12分）
设数列
{a
n
}
的首项
a
1
(0，1)，a
n
（1）求
{a
n< br>}
的通项公式；
（2）设
b
n









22．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)xx
．
（1）求曲线
yf(x)
在点
M(t，f(t))
处的切线方程；
（2）设
a0
，如果过点
(a，b)
可作曲线
yf(x )
的三条切线，证明：
abf(a)
．















3

3a
n1
，n2，3，4，…
．
2< br>a
n
32a
n
，证明
b
n
b
n1
，其中
n
为正整数．
2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第
32
页

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
P
n
(k)=C
n
P
k
(1－P)
nk

－
球的表面积公式
S=4

R

其中R表示球的半径，
球的体积公式
V=
2
4
3

R
，
3
k
其中R表示球的半径


本卷12小题，每小题5分 ，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
一．选择题
（1）设集合
M{mZ3m2}N{nZ1n3}
,,则
M N

A．
{0,1}
B.
{1,0,1}
C.
{0,1,2}
D
{1,0,1,2}

(2)设a，b∈R且b≠0，若复数
(abi)
是实数，则
A．
b3a
B.
a3b
C.
b9a
D.
a9b

(3)函数
22222222
3
f(x)
1
x
的图像关于
x
A． y轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x
(4)若
x(e,1)
，
a lnx
,
b2lnx
,
clnx
,则
A．
abc
B.
cab
C.
1
3
bac
D.
bca

y x,
（5）设变量x,y满足约束条件：
x2y2,
则
zx3y< br>的最小值为：
x2
A．-2 B.-4 C. -6 D.-8
（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男
同学又有女同学的概率为
A．
9101920
B. C. D.
29292929
第
33
页

（7）< br>
1x

1x

的展开式中x的系数是
64
A．-4 B.-3 C.3 D.4
（8）若动直线xa
与函数
f(x)sinx
和
g(x)cosx
的图像 分别交于M、N两点，则
MN
的最大值为
A．1 B.
2
C.
3
D.2
x
2
y
2
（9）设
a1
，则双曲线
2
1
的离心率e的取值 范围是
2
a(a1)
A．
(2,2)
B.
(2,5)
C.
(2,5)
D.
(2,5)

（10）已知正四棱锥S- ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成
的角的余弦值为
A．
23
1
2
B. C. D.
33
3
3
（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为
x y20
和
x7y40
，原点在等
腰三角形的底边上，则底边所在 直线的斜率为
A．
3
B.
11
2
C.

D.


32
（12）已知球的半 径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为
2，则两圆的圆心距等于
A．
1
B.

2
C.
3
D.
2

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）
把答案填在答题卡上。
（13）设向量a=（1，2），b=（2，3）.若向量λa+b与向量c=（4，-7）共线，则λ=
.
(14)设曲线
ye
ax
在点（0，1）处的切线与直线
x2y10
垂直，则a= .
第
34
页

(15)已知F 为抛物线C：
y4x
的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设
2
FAFB
.则
FA
与
FB
的比值等于 .
(16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ;
充要条件② .
(写出你认为正确的两个充要条件)
三．解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤。
(17)（本小题满分10分）
在△ABC中，
cosB
(Ⅰ)求
sin

54
，
cosC
.
135
33
,求BC的长.
2
A
的值；
ABC
(Ⅱ)求△ABC的面积
S







（18）（本大题满分12分）
购买某种保险，每个投保人 每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内
出险，则可以获得10000元的赔偿 金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人
10
是否出险相互独立.已知 保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为
10.999
.
4
(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业 务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于
0，求每位投保人应交纳的最低保费（单 位：元）.





第
35
页

(19)( 本大题满分12分)
如图，正四棱柱
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
2AB4
,点E在上且
C
1
E3EC
.
(Ⅰ)证明：
A
1
C
平面
BED
;
(Ⅱ)求二面角
A
1
-DE-B
的大小.












(20) （本大题满分12分）
设数列
{a
n
}
的前n 项和为
S
n
.已知
a
1
a
，
a
n1
S
n
3
，
nN*
.
(Ⅰ)设
b
n
S
n
3
，求数列
{b
n
}的通项公式；
(Ⅱ) 若
a
n1
a
n
，
nN*
，求a的取值范围.










(21) （本大题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它 的两个顶点，直线
ykx(k0)
与AB相交于点
D，与椭圆相较于E、F两点.
n
n
第
36
页

(Ⅰ)若
ED6DF
,求k的值；
求四边形AEBF面积的最大值.









(22) （本大题满分12分）
设函数
f(x)
sinx
.
2cosx
(Ⅰ)求
f(x)
的单调期间；
(Ⅱ)如果对任何
x0
，都有
f(x)ax
，求a的取值范围.











2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）
理科数学
第I卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
P

AB

P

A



B


S=4

R
2

如果事件
A、B
相互独立，那么 其中
R
表示球的半径

P

AB
P

A



B

球的体积公式
第
37
页

4
p
,
V

R
3

3
那么
n
次独立重复试验中事件
A
恰好发生
k
次的概率 其中
R
表示球的半径
如果事件
A
在一次试验中发生的概率是
kk
P
n

k

C
n
P
< br>1p

nk

k0,1,2...n

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要 求的。
一、 选择题：
10i


2-i
A.
-2+4i

1.
B.
-2-4i
C.
2+4i
D.
2-4i

2. 设集合
A
x|x3

,B

x|


x 1

0

，则
AB
=
x4

C. A.

B.

3,4



2,1

D.

4.


3. 已知
ABC
中，
cot
A.
A
12

13
x
4.曲线
y
在点

1,1
处的切线方程为
2x1
A.
xy20

12
， 则
cosA

5
5
B.
13
C.

5

13
D.

12

13
B.
xy20
C.
x4y50
D.
x4y50

5. 已 知正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
2AB，
E
为
AA
1
中点，则异面直线
BE
与
CD
1
所成的角的余弦值为
A.
10

10
B.
1

5
C.
310

10
D.
3

5
6. 已知向量
a
A.

2,1

,ab10,|ab|5
B.
2
，则
|b|

C.
5


C.
D.
5

10

25

7. 设
alog
3

,blog2

,clog
3
A.
2
，则
w.w.w..s.5.u.c.o.m
abc



B.
acb

bac
D.
bca

8. 若将函数
ytan


x


4




0
< br>的图像向右平移

6
个单位长度后，与函数


y tan


x

的图像重合，则

的最小值为
6

第
38
页

A．
1

6
B.
1

4
C.
1

3
D.
1

2
9. 已知直线
yk

x2

k0
与抛物线
C:y
2
8x
相交于
A、B
两点 ，
F
为
C
的焦点，


2

3
若
|FA|2|FB|
，则
k
A.
1

3
B.C.
2

3
D.
22

3
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共
有
A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
x
2
y
2
11. 已知双曲线
C：
2
< br>2
1

a0,b0

的右焦点为
F
, 过
F
且斜率为
3
的直线交
C
于
ab
A、B
两点，若
AF4FB
,则
C
的离心率为
A．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

6

5
B.
7

5
C.
5

8
D.
9

5
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分 别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的
一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的 平面图形，则标“

”的面的方位是


A. 南
C. 西
B. 北
D. 下


第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
13.
xyyx

的展开式中
xy
的系数为 。
4
33
14. 设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
a
5
5a
3
则
S
4
5
S

.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

15.设
OA
是 球
O
的半径，
M
是
OA
的中点，过
M
且与
OA
成45°角的平面截球
O
的表面得
到圆
C
。若 圆
C
的面积等于
2
7

，则球
O
的表面积 等于
4
2
16. 已知
AC、BD
为圆
O
:
xy4
的两条相互垂直的弦，垂足为
M

1,2

,则四边形
ABCD
的面积的最大值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17（本小题满分10分）
设
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边长分别为
a
、
b
、
c，
cos(AC)cosB
3
，
2
b
2
ac
，求
B
。
第
39
页

18（本小题满分12分）
如图，直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
ABAC,D
、
E
分别为
AA
1
、
B
1
C
的中点，
DE
平面
BCC
1
（I）证明：
AB

.5.u.c.o.m

AC

所
（II）设二面角ABDC
为60°，求
B
1
C
与平面
BCD
成的角的大小。








19（本小题满分12分）
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
已知
a
1
1,
S
n1
4a
n
2

（I）设
b
n
a
n1
2a
n
，证明数列
{b
n
}
是等比数列
（II）求数列
{a
n
}
的通项公式。









20（本小题满分12分）

w.w.w..s.5.u.c.o.m
某 车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现
采用分层抽样方法 （层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术
考核。
第
40
页

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
w.w.w..s.5.u.c.o.m

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记

表 示抽取的3名工人中男工人数，求

的分布列及数学期望。










（21）（本小题满分12分）
3
x
2
y
2
已知椭圆
C:
2

2
1(ab0)
的离心率为，过右 焦点F的直线
l
与
C
相交
3
ab
于
A、
B
粮店，当
l
的斜率为1时，坐标原点
O
到
l
的距离为
（I）求
a
，
b
的值；
（I I）
C
上是否存在点P，使得当
l
绕F转到某一位置时，有
OPO AOB
成立？
若存在，求出所有的P的坐标与
l
的方程；若不存在，说明理由。









22.(本小题满分12分)
设函数
2
2
w.w.w..s.5.u.c.o.m

f

x

x
2
aIn

1x

有两个极值点
x
1
、x
2
，且
x
1x
2

f

x

的单调性；
w.w.w..s.5.u.c.o.m
（I）求
a
的取值范围，并讨论< br>（II）证明：
f

x
2


12In2
4

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


第
41
页

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）（数
学理）

3i

（1）复数




1i

（A）
34i
（B）
34i
（C）
34i
（D）
34i

【答案】A
【命题意图】本试题主要考查复数的运算.
2

3i


(3i)(1i)

2
【解析】


(12i)34i
.


2

1i


（2）.函数
y
（A）
2
2
1ln(x1)
(x1)
的反函数是
2
ye
2x1
1(x0)
（B）
ye
2x1
1(x0)

2x1
（C）
ye

【答案】D
1(xR)
（D）
ye
2x1
1(xR)

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即
∴在反函数中
，又
，故选D.
； 
x≥1,

（3）.若变量
x,y
满足约束条件

y≥x,
则
z2xy
的最大值为

3x2y≤5，

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.
第
42
页

【解析】 可行域是由
A(1,1),B(1,4),C(1,1)
构成的三角形，可知目标函数过 C时最大，
最大值为3，故选C.
（4）.如果等差数列

a
n< br>
中，
a
3
a
4
a
5
12< br>，那么
a
1
a
2
...a
7


（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】
a
3
a
4
a
5
3a
4
12,a
4
4,a
1
a
2
a
7

7(a
1
a
7
)
7a
4
28

2
x
2
x6
＞0
的解集为 （5）不等式
x1
（A）
xx＜2,或x＞3
（B）
xx＜2，或1＜x＜3

（C）
x2＜x＜，或1x＞3
（D）

【答案】C
【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.


11＜x＜3



x2＜x＜，或
【解析】
法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C

利用数轴穿根
（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信 封中．若每个信封放2张，其
中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

【答案】B
【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.
【解析】标号1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个
有

种方法，共有种，故选B.
（7）为了得到函数
ysin(2x
)
的图像，只需把函数
ysin(2x)
的图像
36

第
43
页



个长度单位 （B）向右平移个长度单位
44


（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
22
（A）向左平移
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.
【解析】
ysin(2x< br>
6
)
=
sin2(x)
，
ysin(2x)
=
sin2(x)
，所以将
1236


< br>


ysin(2x)
的图像向右平移个长度单位得到
ysin(2x)
的图像，故选B.
4
63
uuruur
（ 8）
VABC
中，点
D
在
AB
上，
CD
平 方
ACB
．若
CBa
，
CAb
，
a1，
uuur
b2
，则
CD

（A）
12213443
ab
（B）
ab
（C）
ab
（D）
ab

33335555
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.
【解析】因为
C D
平分
ACB
，由角平分线定理得
ADCA
2
=
，所以D为AB的三等分
DBCB1
点，且
AD
选B.
222 121
AB(CBCA)
，所以
CDCA+ADCBCAab
，故
33
3333
（9）已知正四棱锥
SABCD
中，
S A23
，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（A）1 （B）
3
（C）2 （D）3

【答案】C
【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.
【解析】设底面边长为a，则高所以体积
，
设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4
时，体积最大，此时，故选C.
第
44
页

1


（10）若曲线
yx
在点

a,a
2< br>
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
a



1
2
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
【答案】A
【命题意图】本试题主要考 查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，
考查考生的计算能力..
3 13

1

3
11
【解析】
y'x
2
,ka
2
，切线方程是
ya
2
a
2
(xa)
，令
x0
，
222
1

3

1
13
ya
2
，令
y0
，
x3a
，∴三角形的面积是
s3aa
2
18
，解得
a64
.故
222
选A.
（11）与正方体
ABCDA1
B
1
C
1
D
1
的三条棱
AB
、
CC
1
、
A
1
D
1
所在直线的距离相 等的点
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个

【答案】D
【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则
分别作
，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线
定理可得，PN⊥PM⊥；P Q⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以
，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC
1
、A
1
D
1.
所在直线
的距离相等所以有无穷多 点满足条件，故选D.
x
2
y
2
3
（12）已知椭圆C:
2

2
1(a＞b＞0)
的离心率为，过右焦点
F
且斜率为
k(k＞0)
的
ab
2
直线与
C
相交于
A、B
两点．若
AF
（A）1 （B）

【答案】B
【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
第
45
页
3FB
，则
k

2
（C）
3
（D）2

【解析】设 直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA
1
，BB
1
垂直于 l，A
1
，B
为垂足，过B作BE垂直于AA
1
与E，由第二定义得 ，，由
，得，∴

即k=

第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
2．本卷共10小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）已知
a
是 第二象限的角，
tan(

2a)
【答案】

，故选 B.
4
，则
tana
．
3
1

2
【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切 的二倍角公式和解方程，考查考生的
计算能力.
44
2tan

4
得
tan2a
，又
tan2a
，解得

2
33
1tan

3
11
tan

或 tan

2
，又
a
是第二象限的角，所以
tan


.
22
a
9
3
（14）若
(x )
的展开式中
x
的系数是
84
，则
a
．
x
【解析】由
tan(

2a)
【答案】1
【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.
【解析】展开式 中
x
的系数是
C
9
(a)84a84,a1
.
（15）已知抛物线
C:y2px(p＞0)
的准线为
l
，过
M(1,0)
且斜率为
3
的直线与
l
相交于
点A
，与
C
的一个交点为
B
．若
AMMB
，则
p
．
【答案】2
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.
2
3
333
第
46
页

【解析】 过B作BE垂直于准线
l
于E，∵
AMMB
，∴M为中点，∴
BM 
0
率为
3
，
BAE30
，∴
BE
1
AB
，又斜
2
1
AB
，∴
BMBE
， ∴M为抛物线的焦点，∴
2
p
2.
（16）已知球
O
的 半径为4，圆
M
与圆
N
为该球的两个小圆，
AB
为圆
M
与圆
N
的公共
弦，
AB4
．若
OM
【答案】3
【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.
【解析】设 E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵
AB4
，所以
ON3< br>，则两圆圆心的距离
MN

．

AB< br>
OER
2


23
，∴
ME=3< br>，由球的截面性质，有
OMME,ONNE
，

2
∵
OM
2
ON3
，所以
MEO
与
NE O
全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形
MEMO
3

OE
中，由面积相等，可得，
MN=2
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答 应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
ABC
中，
D
为边
BC
上的一点，
BD33
，
sinB 
用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【参考答案】

53
，
cosADC
，求
AD
．
135【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应
由co s∠ADC=＞0，知B＜.
由已知得cosB=，sin∠ADC=.
从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.
由正弦定理得 ，所以=.
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点 ，在高考试题中频繁出现.这
类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类 题型仍会保留，不会
有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边 角或将边角
互化.
第
47
页

（18）（本小题满分12分）
已知数列

a
n

的前
n
项和
S
n
(n
2
n)3
n< br>．
（Ⅰ）求
lim
a
n
；
n
Sn
（Ⅱ）证明：
a
n
a
1
a
2
… ＞3
n
．
222
12n
【命题意图】本试题主要考查数列基本公 式
a
n

s
1
(n1)


的 运用，数列极限和数列不

s
n
s
n1
(n2)等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.
【参考答案】


第
48
页

【点评】201 0年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式
放缩法问题作为押轴 题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基
本技能,重视两纲的导向作用， 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的 基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、
数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持 续.
（19）如图，直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
ACBC
，
AA
1
AB
，
D
为
BB
1
的中点，
E
为
AB
1
上 的一点，
AE3EB
1
．
（Ⅰ）证明：
DE
为异面直线
AB
1
与
CD
的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线
AB
1
与
CD
的夹角为45°，求二面角
A
1
AC< br>1
B
1
的大小．
【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空 间角的求解，考查考生的空间想象与推理计
算的能力.
【参考答案】
(19)解法一：
（I）连接A
1
B，记A
1
B与AB< br>1
的交点为F.
因为面AA
1
BB
1
为正方形，故 A
1
B⊥AB
1
，且AF=FB
1
，又AE=3EB
1
，所以FE=EB
1
，又D为BB
1
的中
点，故DE∥ BF，DE⊥AB
1
. ………………3分
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面ABC⊥面AA
1
B
1
B.连接DG，则DG∥AB
1
，故DE⊥DG，由三垂线 定理，得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB
1
与CD的公垂线.
（I I）因为DG∥AB
1
，故∠CDG为异面直线AB
1
与CD的夹角，∠CD G=45°
设AB=2，则AB
1
=，DG=，CG=，AC=.
作B< br>1
H⊥A
1
C
1
，H为垂足，因为底面A
1
B
1
C
1
⊥面AA
1
CC
1
，故B
1
H⊥面AA
1
C
1
C.又作HK⊥AC
1
，K 为垂
足，连接B
1
K，由三垂线定理，得B
1
K⊥AC
1< br>，因此∠B
1
KH为二面角A
1
-AC
1
-B
1
的平面角.
第
49
页

第
50
页

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题
的有效方 法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式
来处理立体几何问 题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难
度，使解题变得程序化，这是用 向量解立体几何问题的独到之处.
（20）（本小题满分12分）
如图，由
M
到
N
的电路中有4个元件，分别标为
T
1
，
T
2
，
T
3
，
T
4
，电流能通过
T
1
，
T
2
，
T
3
的
概率都是p
，电流能通过
T
4
的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已 知
T
1
，
T
2
，
T
3
中至
少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求
p
；
（Ⅱ）求电流能在
M
与
N
之间通过的概率；
（Ⅲ）

表示
T
1
，
T
2
，
T
3
，
T
4
中能通过电流的元件个数，求

的期望．
< br>【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期
望，考 查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】
第
51
页

【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题
的前3题 的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高
度重视.

（21）（本小题满分12分）
x
2
y
2
己知斜率为1的直线
l
与双曲线
C
：
2

2
1

a＞0，b＞0

相交于
B
、
D
两点，且
BD
ab
的中点为
M

1,3

．
（Ⅰ）求
C
的离心率；
（Ⅱ）设
C
的右顶点为
A
，右焦点为
F
，
轴相切．
【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知
识 掌握情况，又可以考查综合推理的能力.
【参考答案】
DFBF17
，证明：过
A
、
B
、
D
三点的圆与
x
第
52
页

第
53
页

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背
景来考查 ，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.
（22）（本小题满分12分）
设函数
f

x

1e
x
．
x
；
x1
（Ⅰ）证明：当
x＞-1
时，
f
x


（Ⅱ）设当
x0
时，
f

x


x
，求
a
的取值范围．
ax1
【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力
及 分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】

第
54
页

< br>【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础
知识 、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会
减弱。作为压 轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常
伴随对参数的讨论，这也 是难点之所在.







第
55
页

2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
第Ⅰ卷
一、选择题
（1）复数
z1i
，
z
为
z的共轭复数，则
zzz1

（A）
2i
（B）
i
（C）
i
（D）
2i

（2）函数
y2x(x≥0)
的反函数为
x
2
x
2
（A）
y(xR)
（B）
y(x≥0)

4
4
（C）
y4x
2
(xR)
（D）
y4x
2
(x≥0)

（3）下面四个条件中，使
a＞b
成立的充分而不必要的条件是
（A）
a＞b1
（B）
a＞b1
（C）
a
2
＞b
2
（D）
a
3
＞b
3

（4）设
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，若
a
1
1
，公差
d2
，
S
A2
Sn
24
，则
k

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
（5）设函数
f(x)cos

x(

＞0)
，将
yf(x)
的图像向右平移个单
位长 度后，所得的图像与原图像重合，则

的最小值等于
（A） （B）
3
（C）
6
（D）
9

(6)已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B
∈β，BD⊥ι，D为 垂
[来源:Z§xx§]

3
1
3


第
56
页

足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于
(A)
236
(B) (C) (D) 1
333
(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4
本赠送给4位朋友
每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
[来源:学科网]
(8)曲线y=
e
 2x
+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的
三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
(9)设
f(x)
是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，
f(x)
=
2x(1x)
，
则
f()
=
(A) - (B)

(C) (D)
(10)已知抛物线C：
y
2
4x
的焦点为F，直线y2x4
与C交于
A，B两点．则
cosAFB
=
(A) (B) (C)

(D)


(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成
60
0
二面角的
平面 β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4

，
则圆N的面积为
(A)7

(B)9

(C)11

(D)13


(12)设向量a，b，c满足
a
=
b
=1，
ab
=

，
ac,bc
=
60
0
，则
c
的最大值等于
(A)2 (B)
3
(c)
2
(D)1
第
57
页
1
3
1
2
2
3
5
2
1
2
1
4
1
4
1
2
4
5
3
5
3
5
4
5
1
2

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题
中横线上 (注意：在试卷上作答无效)
．．．．．．．．
(13)(1-
x
)
20
的二项展开式中，x的系数与x
9
的系数之差为:
.
2
y
2

(14)已知a∈(，

)， sinα=

2
5
，则tan2α=
5
y
2
x
2
(15)已知F
1
、
F
2
分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈
27
9
C，点M的坐标为(2，0 )，AM为∠F
1
AF
2
∠的平分线．则|AF
2
|
= .
(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A
1
B
2
C
3
D
4
的棱BB
1
、CC
1
上，且B
1
E=2EB, CF=2FC
1
，则面AEF与面ABC所成的二面角的
正切值等于 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤
(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
．．．．．．．．．
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—
C=90°，a+c=
2
b，求C.



(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
新 课 标第 一 网

．．．．．．．．．
第
58
页

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购
买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0 ．3,设各车主购买保险相
互独立
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主
数。求X的期望。




（19）如图，四棱锥
SABCD
中，
p()
19
9
10
1
ABCD
,
BCC D
，侧
e
2
面
SAB
为等边三角形，
ABBC 2,CDSD1
.
（Ⅰ）证明：
SDSAB
;
[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（Ⅱ)求
AB
与平面
SBC
所成角的大小.





（20）设数列

a
n

满足
a
1
0
且
（Ⅰ）求

a
n

的通项公式；
11
1.

1a
n1
1a
n
第
59
页

（Ⅱ）设
b
n




[来源:学#科# 网Z#X#X#K]
1a
n1
n
,记S
n


b
k
,证明：S
n
k1
n
1.




y
2
（21）已知O为坐标原点，F为椭圆
C:x1
在y轴正半轴上的
2
2
焦点，过F且斜率为
-2
的直线
l
与C交与A、B两点，点P满足
OAOBOP0.

(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在
同一圆上.





[来源:学科网]


（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．
（Ⅰ）设函数
f(x)ln(1x)
2x
，证明：当
x＞0
时 ，
f(x)＞0
；
x2
第
60
页

（Ⅱ）从 编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放
回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的 20个号码互不相同的概
率为
p
.证明：
p()
19
































第
61
页
9
10
1

2
e

2001年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题参考解答及评分标准
说明：
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和 能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则．
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的 解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一 半；如果
后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C
（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C
（11）D （12）D
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
（13）2π （14）
三.解答题：
（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻 辑推理能力．满分12
分．
解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是
M
底面

16
（15）1 （16）2n (n－1)
5
1

BCAD

 AB
10.5
1
3
， ……
2
224
分
∴ 四棱锥S—ABCD的体积是









1
VSA
M
底面

3
13

1

34



1
．
……
4分
4
第
62
页

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱．
……
6分
∵ AD∥BC，BC = 2AD，
∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，
∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，
又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，
故SB是CS在面SEB上的射影，
∴ CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角．
……
10分
∵
SBSA
2
AB
2
2
，BC =1，BC⊥SB，

BC2

．
SB2
2
．
……
12分
2
∴ tan∠BSC
即所求二面角的正切值为（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12
分．
解：（Ⅰ）z
1
= i (1－i)
3
= 2－2i，
将z
1
化为三角形式，得
7

7


z
1
22

cosisin
44


分

∴
argz
1


，


7

，
z
1
22
．
……
6
4
（Ⅱ）设z

= cos α＋i sin α，则
z－z
1
= ( cos α－2)＋(sin α＋2) i，







zz
1

cos

2



sin
2


2
22
942sin
(


当sin(


4
)，
……
9分


4
) = 1时，
zz
1
2
取得最大值
942
．
从而得到
zz
1
的最大值为
221
．
……
12分
第
63
页

（19） 本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能
力．满分12分．

设为
证明一：因为抛物线y
2
=2px (p＞0)的焦点为F (
p
，0)，所以经过点F的直线的方程可
2
xm y
代入抛物线方程得
p
；
……
4分
2
y
2
－2pmy－p
2
= 0，
若记A(x
1
，y
1
)，B(x
2，y
2
)，则y
1
，y
2
是该方程的两个根，所以
y
1
y
2
= －p
2
．
……
8分
因为BC∥x轴，且点c在准线x

= －
斜率为
pp
上，所以点c的坐标为（－，y
2
），故直线CO的
22
k
y
2
2p
y
1

．
p
y
1
x
1

2
即k也是直线OA的斜率 ，所以直线AC经过原点O．

……1
2分
证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则
AD∥FE∥BC．
……
2分
连结AC，与EF相交于点N，则
EN
AD
N F
BC

CN
AC
AF
AB

BF
AB
，
，

……
6分
根据抛物线的几何性质，
AFAD
，
BFBC
，
……
8分
∴
EN
ADBF
AB

AFBC
AB
NF
，
即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．
……
12分
第
64
页

（20） 本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12
分．
（Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有

i
= m·…·(m－i＋1)，
p
m
i
p
m
mm1
mi1

…，

m
i
mm
m


i
p
n
nn1
ni1

…

同理
i

，
……
4分
nn
n
n
由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有
nkmk

，
nm
ii
p
n
p
m
iiii
所以
i

i
，即
mp
n
np
m
．
……
6分
nm
（Ⅱ）证明由二项式定理有

1m
n
i


m
i
C
n
，
i0
n

1n

m
i


n
i
C
m
，
……
8分
i0
m
由 (Ⅰ)知
m
iiii
＞
np
m
(1＜i≤m＜n＝，
p
n
ii
p
m
p
n
i
而
C
，
C
n

，
……
10分
i!i!
i
m
所以，
mC
n
nC
m
(1＜i≤m＜n＝．
iiii
因此，

mC
i
i2
0
m
i
n
i


n
i
C
m
．
i2
m
又
mC
n
nC
m
1
，
mC
n
nC
m
mn
，
mC
n0

min

．
00011ii
∴

mC
i
i0
n
i
n
i

< br>n
i
C
m
．
i0
m
即 (1＋m)
n
＞(1＋n)
m
．

……
12分
（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识 ；考查综合运用数
学知识解决实际问题的能力．满分12分．
第
65
页

解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－
1
）万元，……，第n< br>5
年投入为800×（1－
1
n
－
1
）万元．
5
11
－
）＋…＋800×（1－）
n1
55
n
1
k1
)



800(1
5
k1

所以，n年内的总投入为
a
n
= 800＋800×（1－


= 4000×[1－
(
4
n
)]；
……
3分
5
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400× （1＋
1
）万元，
……
，第n
4
年旅游业收入为400×（ 1＋
1
n
－
1
）万元．
4
11
－
）＋…＋400×（1＋）
n1
44
n
5
k1



400()

4
k1

所以，n年内的旅游业总收入为
b
n
= 400＋400×（1＋


= 1600×[ (
4
n
)－
5
1]．
……
6分
（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
b
n
－a
n
＞0，
即 1600×[（
5
n
4
）－1]－4000×[1－（）
n
]＞0．
45
44
化简得 5×（）
n
＋2×（）
n
－7＞0，
……
9分
55
4
设
x
（）
n
，代入上式得
5
5x
2
－7x＋2＞0，
解此不等式，得
2
，x＞1(舍去)．
5
42
即 （）
n
＜，
55
x
第
66
页

由此得 n≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
……
12分
（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及 数列极限等基础知
识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．
（Ⅰ）解：因为对x1
1
，x
2
∈[0，
2
]，都有f (x
1
＋x
2
) = f (x
1
) · f (x
2
)，所以

f(x)
f (
xx
2
) · f (
2
)≥0，x∈[0，1]．
∵
f(1)
f (
1
2

1
2
) = f (
111
2
) · f (
2
) = [f (
2
)]
2
，
f (
1
2
)

f (
1
4

1
4
) = f (
1
4
) · f (
1
4
) = [f (
1
4
)]
2
．
3分
f(1)a0
，
11
∴ f (
1
2
)
a
2
，f (
1
4
)
a
4
．
（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，
故 f (x) = f (1＋1－x)，
即f (x) = f (2－x)，x∈R．
又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R，
∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R，
将上式中－x以x代换，得
f (x) = f (x＋2)，x∈R．
这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]．
∵ f (
1
2
)= f (n ·
1
2n
) = f (
1
2n
＋（n－1）·
1
2n
)
= f (
11
2n
) · f (（n－1）·
2n
)
= f (
11
2n
) · f (
2n
) · … ·f (
1
2n
)
= [ f (
1
n
2n
)]，
1
f (
1
2
) =
a
2
，
第
67
页

……

……
6分
8分
……
10分




……