家乡特产-素质教育标语

2014年北京中考题数学题与答案
一、 选择题（本题共
32
分，每题
4
分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的


1
．
2
的相反数是（

）．

1
1
A
．
2
B
．
2
C
．

D
．

2
2

2
．据报道，某小区居民李先生改进 用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水
300000
吨，将
300000
用
科学计数法表示应为（

）．

A
．
0.310
6
B
．
310
5
C
．
310
6

D
．
3010
4


3
．如图，有
6< br>张扑克牌，从中随机抽取
1
张，点数为偶数的概率（

）．


A
．
11
1
1
B
．
C
．
D
．

642
3

4
．右图是某几何体的三视图，该几何体是（

）．


A
．圆锥
B
．圆柱

C
．正三棱柱
D
．正三棱锥


5
．某篮球队
12
名队员的年龄如下表所示：

19 20

18
年龄（岁）
人数

5 4 1
则这
12
名队员年龄的众数和平均数分别是（

）．

A
．
18
，
19
B
．
19
，
19
C
．
18
，
19.5
D
．
19
，
19.5


6
．园林队公园 进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积
S
（单位：平方米）与工作时间
t（单位：小时）
的函数关系的图像如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（

）．

A
．
40
平方米
B
．
50
平方米

C
．
80
平方米
D
．
100
平方米







21
2

7
．如图，⊙< br>O
的直径
AB
垂直于弦
CD
，垂足是
E
，< br>A22.5
，
OC4
，
CD
为（

）．

A
．
22
B
．
4

C
．
42
D
．
8





8
．已知点
A
为某封闭图形边界的一定点，动点
P
从点
A
出 发，沿其边界顺时针
匀速运动一周，设点
P
的时间为
x
，线段
AP
的长为
y
，表示
y
与
x
的函数
关系 的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（

）．












二．填空题（本体共
16
分，每题
4
分）

9．分解因式：
ax
4
9ay
2
=___
______ __________
．


10
．在某一时刻，测得一根高为1.8m
的竹竿的影长为
3m
，同时测得一根旗杆的影长为
25m
，那么这根旗杆的高度为
_________________
m
．

的长

11
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，正方形< br>OABC
的边长为
2
．写出一个函数
y
k
(k0 )
x
使它的图象与正方形
OABC
有公共点，这个函数的表达式为
_ _____________
．


12
．在平面直角坐标系
xOy
中，对于点
P(x,y)
，我们把点
P

(y 1,x1)
叫做点
P
伴随点，一直点
A
1
的伴随点
为
A
2
，点
A
2
的伴随点为
A
3
，点
A
3
的伴随点为
A
4
，这样依次得到点
A< br>1
，
A
2
，
A
3
…
，
A< br>n
…
，若点
A
1
的坐标为
(3,1)
，则点
A
3
的坐标为
__________
，点
A
2014
的坐标为
__________
；若点
A
1
的坐 标为
(a,b)
，对于任意正整数
n
，点
A
n
均在
x
轴上方，则
a
，
b
应满足的条件为
______ _______
．

三．解答题（本题共
30
分，每小题
5
分）

13
．如图，点
B
在线段
AD
上，
BC∥DE
，
ABED
，
BCDB
．

求证：
AE
．





14
．计算：

6-







15
．解不等式





16
、已知
x-y=





17
、已知关于
x
的方程
mx
2
-(m+2)x+2=0< br>（
m≠0)
．

(1)
求证：方程总有两个实数根；

(2)
若方程的两个实数根都是整数，求正整数
m
的值．





2
3
,
求代数式（
x+1 )- 2x + y(y-2x)
的值．

0
-1

1


-

-3tan30

-3
．


5

121
x1x
，并把它的解集在数轴上表示出 来．（添加图）

232

18
．列方程或方程组解应用题

小马自驾私家车从
A
地到
B
地，驾驶原来的燃油汽车所需油费
108
元，驾驶新购买的纯电动汽车所需 电费
27
．已知每行驶
1
千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动 汽车所需的电费多
0
．
54
元，求新购
买的纯电动汽车每行驶
1
千米所需的电费．









19
．

如图，在
ABCD
中 ，
AE
平分∠
BAD
，交
BC
于点
E
，< br>BF
平分∠
ABC
，交
AD
于点
F
，
AE
与
BF
交于点
P
，连接
EF
．
PD
．

（
1
）求证：四边形
ABEF
是菱形；

（
2
）若
AB=4
，
AD=6
，∠
ABC=60°
，求
tan
∠
ADP
的值．







20
．根据某研究院公布的
2009-2013年我国成年国民阅读调查报告的部分数据，绘制的统计图表如下：

2013年成年国民 2009~2013年成年国民
倾向的阅读方式人数分布统计图 年人均阅读图书数量统计表

年份 年人均阅读图书数量（本）
2009 3.88
2010 4.12
2011 4.35
2012 4.56
2013 4.78




根据以上信息解答下列问题：

（
1
） 直接写出扇形统计图中
m
的值；

（
2
） 从
20 09
到
2013
年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算< br>2014
年成年国民年
人均阅读图书的数量约为
_______
本；< br>
（
3
）
2013
年某小区倾向图书阅读的成年国民有990
人，若该小区
2014
年与
2013
年成年国民的人数基 本持平，
估算
2014
年该小区成年国民阅读图书的总数量约为
_____
本．



21
．

如图，< br>AB
是⊙
O
的直径，
C
是弧
AB
的中点，⊙
O
的切线
BD
交
AC
的延长线于点
D
，< br>E
是
OB
的中点，
CE
的延长线交切线
DB
于点
F
，
AF
交⊙
O
于点
H
，连结
BH
．

（
1
）求证：
AC=CD
；

（
2
）若
OB=2
，求
BH
的长．





22
．

阅读下面材料：

小腾遇到这样一个问题：如图
1
，在△
A BC
中，点
D
在线段
BC
上，∠
BAD=75°
， ∠
CAD=30°
，
AD=2
，
BD=2DC
，
求
AC
的长．



E


图
1
图
2

小腾发现，过点
C
作
CE
∥AB
，交
AD
的延长线于点
E
，通过构造△
ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决
（如图
2
）．

请回答： ∠
ACE
的度数为
___________
，
AC
的长为< br>_____________
．

参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图
3
，在四边形
ABCD
中，∠
BAC=90°
，∠
CAD=30°
，∠
A DC=75°
，
AC
与
BD
交于点
E
，

AE=2
，
BE=2ED
，求
BC
的长．

五．解答 题（本题共
22
分，第
23
题
7
分，第
24
题
7
分，第
25
题
8
分）

23
．

在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y= 2x
2
+mx+n
经过点
A
（
0
，
-2< br>），
B
（
3
，
4
）．

（
1
）求抛物线的表达式及对称轴；

（
2
）设点
B
关于原点的对称点为
C
，点
D
是抛物线对称轴上一动点， 记抛物线在
A
，
B
之

间的部分为图象
G
（包含
A
，
B
两点）．若直线
CD
与图象
G
有公共点，结合函数图象，求点

D
纵坐标
t
的取值范围．

24
．

在正方形
ABCD
外侧 作直线
AP
，点
B
关于直线
AP
的对称点为
E，连接
BE
，
DE
，其中
DE
交直线
AP于
点
F
．

（
1
）依题意补全图
1
；

（
2
）若∠
PAB=20°
，求∠
ADF
的度数；

<
∠
PAB < 90°
（
3
）如图
2
， 若
45°
，用等式表示线段
AB
，
FE
，
FD之间的数量关系，并证明．

25
．

对某一个函数给出如下定义：若存在实数
M>0
， 对于任意的函数值
y
，都满足
-M≤y≤M
，则称这个函数是有
界函 数．在所有满足条件的
M
中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数 ，其边界值
是
1
．





（1） 分别判断函数
y=
1
（
x > 0
）和
y= x + 1
（
-4 < x ≤ 2
）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；

x
（2） 若函数
y=-x+1
（
a ≤ x ≤ b
，
b > a
） 的边界值是
2
，且这个函数的最大值也是
2
，求
b
的取值范 围；

（3） 将函数
yx
2
(1≤x≤m,m≥0)
的图象向下平移
m
个单位，得到的函数的边界值是
t
，当
m
在什么范围时，
满足


3
t1
？

4

2014年北京高级中等学校招生考试

数学答案


一.

选择题（本题共32分，每小题4分）：
1

2

3

题号

B

B

D

选项


二.

填空题（本题共16分，每小题4分）：
9

题号

4

C

5

A

6

B

7

C

8

A

10

11

12

（-3,1）；
（0,4）；
－1＜a＜1
且 0＜b＜2

答案


15



三.

解答题（本题共30分，每小题 5分）：
13．（本小题满分5分）
证明：∵ BC∥DE
∴ ∠ABC = ∠EDB；
在△ABC和△EDB中：
AB = ED；
∠ABC = ∠ EDB；
BC = DB；
∴ △ABC ≌ △EDB；
∴ ∠A = ∠E

14.（本小题满分5分）
解：原式 =
=
=

15.（本小题满分5分）
解： 移项得：


；




合并同类项得：

系数化为1： x ≥
在数轴上表示出来：

16.（本小题满分5分）
解：化简代数可得：
原式 =
=
=
∵
∴ 原式 =

17.（本小题满分5分）

= 4

（1）证明：可知 △ =
=
=
=




= ≥0
∴ 方程总有两个实数根。
（2）解：由公式法解方程可得：


∴
x
1
=x
2
=


由题意：方程的两个实数根均为整数
∴ x
2
必为整数；
又∵ m为正整数；
∴ m = 1或者2。

18.（本小题满分5分）
解：（方法不唯一）设A、B两地距离为x千米
由题意可知：

解得： x = 150

∴ 纯电动汽车每行驶一千米所需电费为：

四.

解答题（本题共20分，每小题满分5分）：
19.（本小题满分5分）
（1）证明：∵因为ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD；AD∥CB
∵ AE平分∠BAD；BF平分∠ABC；
∴ ∠BAE = ∠DAE；∠ABF = ∠CBF；
可知：∠DAE = ∠BEA；∠EBF = ∠AFB；
∴ ∠ABF = ∠AFB ；∠BAE = ∠AEB
∴ AB = BE；AB = AF；
∵ AF ∥ BE
∴ 四边形ABEF为菱形
（2）解：作PH⊥AD
∵ ∠ABC = 60°，AB = BE；
∴ △ABE为等边三角形；
∴ AE = AB = 4；∠DAE = 60°；
∵ ABEF为菱形；
∴ P点为AE中点；
∴ AP = 2；
可知：AH = 1；PH =
∵ AD = 6；
∴ DH = 5；PH =
∴ tan∠ADP =

20.（本小题满分5分）
（1）66；
（2）5.01；

；

H

（3）7575.

21.（本小题满分5分）
（1）证明：连接CO
∵ BD为⊙O的切线，AB为直径；
∴ ∠ABD = 90°；
∵ C点为弧AB中点；
∴ ∠COA = 90°
∴ CO∥BD；
∵ O点为AB中点；
∴ 点C为AD中点；即：AC = CD
（2）解：∵ CO⊥AB；E为OB中点；OB =2；
∴ OE = 1 = BE；
∵ CO ∥ FD
∴ △COE ≌ △FBE
∴ BF = CO = 2；
∵ AB为直径；
∴ ∠AHB = 90°=∠ABF；
∵ ∠BFH = ∠AFB
∴ △ABF ∽ △BHF
∴
；


∴ BH：FH：BF = 1：2：；
∵ BF = 2；
∴ BH =
=


22.（本小题满分5分）
（1） 75°，3
（2）解：过点D作DF⊥AC；
∵ ∠BAC = 90°；
∴ AB∥DF
∵ BE = 2ED；
∴
；

∵

AE = 2；

∴

EF = 1；

∴

AF = 3；

∵

∠CAD = 30°；∠AFD = 90°；

∴

DF = ；AD = 2；

∵

∠CAD = 30°，∠ADC = 75°；

∴

∠ACD = 75°；即AC = AD

可知：AC = AD =2

∵ DF =
∴

AB = 2

∴

△ABC 为等腰直角三角形；

F

∴

BC = ·AB = 2


五.

解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）：
23.（本小题满分7分）
解：（1）∵ y=2x
2
+ mx+ n经过点A（0，-2），B（3，4）
代入，得：
n = -2
18+3m+n =4
∴ m = -4；n = -2
∴ 抛物线的表达式为：y =
∴ 对称轴为：x = -1
（2）由题意可知：C（-3，-4）
二次函数 的最小值为－4；
由图像可以看出D点坐标最小值即为－4；
最大值即BC的解析式：
当x = 1时，y =
∴ －4 ≤ t ≤



















24.（本小题满分7分）
解：（1）补全图形如图所示：

25.（本小题满分8分）