眉山一中-元宵节对联

绝密 ★ 启用前 考试时间：2012年1月12日15:00—17:00

2019-2020年高三第二次联考试题数学理
理 科 数 学

命题：
玉溪一中高2012届数学备课组
一、单项选择题（每小题5分，共60分）
1．设全集
U

1,2,3,4,5

，集合
A {1,2,4}
，
B{4,5}
，则图中的阴影部分表示的集合为
A．

5

B．

4


C．

1,2

D．

3,5



2．已知非零向量
a
、
b
满足
ab
，那么向量
ab
与向量
ab< br>的夹角为

2

B． C． D．
3
632
1
6
)
的展开式中第三项的系数是 3．
(x
2x
15155
A．

B． C．15 D．


442
开始
A．
4．圆
x
2
y
2
4x20
与直线
l
相切于点
A(3,1)
，则直线
l
的方程为
n1
A．
2xy50
B．
x2y10

C．
xy20
D．
xy40

5．某单 位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用
分层抽样的方法从总体中抽取一个容 量为20的样本，已知C组中甲、
乙二人均被抽到的概率是
S0
nn2
1
,
则该单位员工总数为
45
SSn
否
A．110 B．100 C．90 D．80

6、右边程序框图的程序执行后输出的结果是（ ）.
A，24， B，25， C，34， D，35



7.已知函数
yAsin(

x

)B
(
A0,

0,|

|
的周期为
T
， 在一个周期内的图象如图所示，
n10?
是
输出S
结束

)
2
y
2

2

3

O
4

3

x

则正确的结论是（ ）.
A.
A3,T2
B.
B1,

2


D.
A3,



66

8.将函数
y sin(x)
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得
3
图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为
3
1

1

A.
ysin(x)
B.
ysin(x)

2
6
2
3
1

C.
ysinx
D.
ysin(2x)

6
2
C.
T4,


9．长方体ABCD— A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB2 3,AD2,AA
，则点
D
1
到直线AC的距离是
1
6
A．3 B．
10
C．
23
D．4
x
2
y
2
10. 设双曲线
2

2
1
（a＞0,b＞0)的一条渐近线与抛物线
yx
2
1
有且 只有一个公共
ab
点，则双曲线的离心率为.
A.
5
5
B. 5 C. D.
5

4
2
11，设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：




①若
ab,a

,则b

;


,



，则a∥


②若< br>a

,



,则a

;

③若
a
④若
ab,a

,b

,则


C．2 D．3


.

其中正确命题的个数是
A．0 B．1

x[x],x0
[ 1.2]
=1，12.设函数
f(x)

如
[1.2]
=-2，
,
其中
[x]
表示不超过
x
的最大整数，
f(x1),x0

[1]
=1，若直线y=
kxk(k0)与函数y=
f(x)
的图象恰有三个不同的交点，则
k
的取值范围
是
A．
(,]
B．
(0,]
C．
[,]
D．
[,)


二、填空题（每小题5分，共20分）
11
43
1
4
11
43
11
43


xy50

13、已知满足约束条件

xy0
，则
zx2y
的最小值是

x3


x
2
y
2
1
有相同的焦点且过点P
(2,1)
的双曲线方程是 14．与椭圆
4
15．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积 是
32

，那么这
3
个三棱柱的体积是 .
16．对于复数
z
1i
，有下面4个命题：①它在复平面上对应的点 在第二象限；②它的平方
是一个纯虚数；③它的模是2；④
z
2
(z)2
0
。其中正确命题的序号是 。（写出所
有正确命题的序号）

三、解答证明题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
递减等差数列

a
n

中，
a
1
a
7
10
,
a
2
a
4
45
,
①求

a
n

的通项公式
a
n
.
②若b
n
=
a
n
，求

b
n
的前n项和
S
n
.
18. （本小题满分12分）
某市教育局责成基础教育处调查本市学生的身高情况，基础
教育处随机抽取某中学甲、乙两班各10名 同学,测量他们的
身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示：
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从各班身高最高的5名同学中各取一人，求甲班同学
身高不低于乙班同学的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，
AC
是圆
O
的直径， 点
B
在圆
O
上，
BAC30
，
BMAC
交
AC
于点
M
，
EA
平面
ABC
，
FCEA
，
AC4，EA3，FC1
．
E
F
A
O


M
C
（1）证明：
EMBF
；
（2）求平面
BEF
与平面
ABC
所成的锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）
B
设x，y∈R，
i
，
j
为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若向量
a(x3)iyj，

b(x3)iyj
，且
ab26
．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，若OAOB0,
求证直线L与某个定圆E相切，并
求出定圆E的方程。
21. （本小题满分12分）
已知函数
f(x)lnx
a(x1)
.

x1
（Ⅰ）若函数
f(x)在(0,)
上为单调增函数，求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设
m,n为正实数
，
且mn.
求证：
mnmn

.
lnmlnn2
请考生在第22，23，24题中任选一题解答，如 果多做，则按所做第一题记分。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
自 圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中
点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两 点，且∠BMP=100°，
∠BPC=40°，求∠MPB的大小。


C
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，已知曲线C的参数方程是

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
⑴写出曲线C的极坐标方程。
⑵如果曲线E的极坐标方程是



x22sin

（

是参数），现以原点O为
y2c os



4
(

0)
，曲线C、E相 交于A、B两点，求
AB
.
24, （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知
f(x)2x1ax5
(a是常数，a∈R)
①当a=1时求不等式
f(x)0
的解集。
②如果函数
yf(x)
恰有两个不同的零点，求a的取值范围。

玉溪一中、昆明三中、楚雄一中2012届高三年级
第二次联考数学（理科）试题参考答案

一、 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B，6.D，7.C，8.A 9.A，10.D，11.B. 12.D
x
2
y
2
1
，15：483，16，
①②④
13，-3，14，
2

17，解：由a
1
+a
7
=10,a
2
·a
4
=45,得
2a
16d10


a
1
11
解得



d2
(ad)(a3d)45
1

1
∴a
n
=13-2n………………………………………… ……………………………………………6分

n(12n),(n6)
………… ………………………………………………………12分
S
n


2
36(n6),(n6)

18.（1）由茎叶图可知：乙班平均身高较高; ………………………………………………3分
(2)
x
15816216 3168168170171179179182
170
………………………………5
10
分
甲班的样本方差为
1
222 222222
[(158170)
2


162170



163170



168170


168170



170170



171170



1791 70



179170



182 170

]=57.2
10
……………………………………………………… ………………………………………………8分
24113
1
=………………… …………………………………………………………12分
55525
19. 解：（法一）（ 1）
EA
平面
ABC
，
BM
平面
ABC，
EABM
．……………1分
又
BMAC
，
EAACA
，
BM
平面
ACFE
，

E
而
EM
平面
ACFE
，

BMEM
． ………………………………………3分
AC
是圆
O
的直径，
ABC90
．
又
BAC30
，
AC4
，
F
AB23
，BC
2
，
AM3,CM1
．
EA
平面
ABC
，
FCEA
，
FC1
，
O
M
C


A
FC
平面
ABCD
．

EAM
与
FCM
都是等腰直角三角形．
EMAFMC45
．
B
EMF90
，即< br>EMMF
（也可由勾股定理证得）．………………………………5分
MFBMM
，
EM
平面
MBF
．
而
BF
平面
MBF
，
EMBF
． ………………………………………………………………………………6分
（2）延长
EF交
AC
于
G
，连
BG
，过
C
作
CHBG
，连结
FH
．
由（1）知
FC
平面
ABC
，
BG
平面
ABC
，
FCBG
．
E
而
FCCHC
，
BG
平面
FCH
．
FH
平面
FCH
，
FHBG
，
FHC
为平面
BEF
与平面
ABC
所成的
p=
二面角的平面角． ……………………8分
在
Rt

ABC
中，

BAC30
，
AC4
，
F
O


M
C
H
B
G
BMABsin303
．

A

由
FCGC1

，得
GC2
．
EAGA3
BGBM
2
MG
2
23
．
又


GCH~

GBM
，

GCCH
GCBM23

，则
CH1
． ………………………………11分
BGBM
BG
23
FCH
是 等腰直角三角形，
FHC45

．

平面
BEF与平面
ABC
所成的锐二面角的余弦值为
2
． ………………………12分
2
（法二）（1）同法一，得
AM3，BM3
． ………………………3分
如图，以
A
为坐标原点，垂直于
AC
、< br>AC
、
AE
所在的直线为
x,y,z
轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得
A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B(3, 3,0),F(0,4,1)
，
z
ME(0,3,3),BF(3,1,1)
． ………4分
由
MEBF(0,3,3)(3,1,1)0
，
得
MFBF
，
EMBF
． ……………6分
（2）由（1）知
BE(3,3,3),BF(3,1,1)
．
A
设平面
BEF
的法向量为
n(x,y,z)
，
x
O


M
F
C
y
B


3x3y3z0
由
nBE0,nB F0,
得

，


3xyz0
令< br>x3
得
y1,z2
，
n

3,1,2， …………………………9分

由已知
EA平面
ABC
，所以取面
ABC
的法向量为
AE(0,0,3)
，
设平面
BEF
与平面
ABC
所成的锐二面角为

，
则
cos

cosn,AE

30102 32
， …………………………11分

2
322
2
． ……………………12分
2

平面
BEF
与平面
ABC
所成的锐二面角的余弦值为