初中学生评语-车间实习报告

2002年高考数学试题(江苏卷)
及答案

2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学
第I卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
2x
（1）函数
f(x)
sin
的最小正周期是（ ）。
cosx

C. A.

B.
2
2

D.
3
x
3
4



（2）圆
(x 1)
2
y
2
1
的圆心到直线
y
3
2
的距离是（ ）。
3
A.
1
B.
2
C. 1 D.
（3）不等式
(1x)(1|x|)0
的解集是（ ）
A.
{x|0x1}
B.
{x|x0且x1}
C.
{x|1x1}

D.
{x|x1且x1}

（4）在
(0,2

)
内，使
sinxcosx
成立的x取值范围为（ ）

5



5

A.
(

,)(

,)
B.
(,

)
C.
(,)

424444
D.

5

3
(,
)(,

)
442

1k1
（5）设集合
M {x|x
k
,kZ},N{x|x,kZ}
，则（ ）
2442
A.
MN
B.
MN
C.
MN
D.
MN


（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦
值是（ ）。
433
A.
3
B. C. D.


4555
（7）函数
f(x)x|xa|b
是奇函数的充要条件是（ ）
=0 B. a+b=0 C. a=b D.
ab0

（8）已知
0xya1
，则有（ ）。
A.
log(xy)0
B.
0log(xy)1
C.
1log(xy)2

D.
log(xy)2

22
aaa
a

2

（9）函数
y1
x
1

1
A. 在（
1,
）内单调递增 B. 在（
1,
）内单调递
减
C. 在（
1,
）内单调递增 D. 在（
1,
）内单调
递减
（10） 极坐标方程
cos

与

cos


1
的图形 是（ ）。
2



11

22
11

22



（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不
相邻的选法共有（ ）。
A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工
作报告》：“2001年国内生产总值达到9 5933亿元，比上年
增长7.3%，”如果“
十五
”期间（2001年—2005 年）每年
的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“
十五
”末，
我国国 内生产总值约为（ ）。
A. 115 000 亿元 B. 120 000亿元 C. 127
000亿元 Ｄ. 135 000亿元

O x O x
O x O x
A B C D

第II卷（非选择题共90分）

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把
答案填在题中横线上。
（13）椭圆
5xky5
的一个焦点是（0，2），那么
k= 。
（14）
(x1)(x2)
的展开式中
x
项的系数是 。
22
273

3

（15）已知
sin

cos2

(

(

,

))
，则
tg


。
2
（16）已知函数
x
2
f(x),
1x
2< br>111
f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()
234那么
= 。
三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知复数
z1i
，求实数a,b使
az2bz(a2z)

（18）（本小题满分12分）
{b}
为等比数列，
ab1,aab,bba
， 设
{a}
为等差数列，
P
分别求出
{a}
及
{b}
的前10项的和
S
及
T
。


（19）（本小题满分 12分）

四棱锥
PABCD
的底面是边长为a的正方形，PB

面

B A
ABCD

（I）若面PAD与面ABCD所成的二面角为
C
60

，求这
D

个四棱锥的体积；
（II）证明无 论四棱锥的高怎样变化，面
PAD
与面
PCD
所
成的二面角恒大于< br>90
。

（20）（本小题满分12分）
设A、B是双曲 线
x
y
2
1
上的两点，点N（1，2）是线
2
nn11243243
nn1010


2
2
段AB的中点 。
（I）求直线AB的方程。（II）如果线段AB的垂直平
分线与双曲线相交于C 、D两点，那么A、B、C、D四点
是否共圆？为什么？
（21）（本小题满分12分，附加题满分4分）
（I）给出两块面积相同的正三角 形纸片（如图1，图2）,
要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成

4

一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积
相等， 请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2
中，并作简要说明。
（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大
小。
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但
全卷总分不超过150分。）
如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求
剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的 三角形
的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，
并作简要说明。

（22）（本小题满分14分）
已知
a0
，函数
f(x)axbx

（I）当b>0时 ，若对任意
xR
都有
f(x)1
，证明
a2b

（II）当b>1时，证明：对任意
x[0,1]
，
|f(x)| 1
的充要条
件是
b1a2b
；
（III）当
0b1
时，讨论：对任意
x[0,1]
，
|f(x)|1
的 充要条
件。







图1 图2 图3
2

5

2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案

说明：
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给
出了一种或几种解法供参考，如果考生 的解法与本解答不
同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的
评分细则。
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如
果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的
程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应
得分数的一半；如果 后继部分的解答有较严重的错误，就
不再给分。
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得
的累加分数。
四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分
60分。
（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）
C （7）D （8）D （9）C （10）B （11）B
（12）C
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，
满分16 分。
（13）1 （14）1 008 （15）

3
3
（16）
7

2
三. 解答题
（17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技
能。满分12分。
解：因为
z1i


az2bz(a2b)(a2b )i(a2z)(a2)44(a2)i(a4a)4(a2)i

222

6

因为
a,b
都是实数，

a2ba
所以由
a z2bz(a2z)
得

2
2
4a

a 2b4(a2)
两式相加，整理得

解得：
a2,a4
对应得
b1,b2

所以，所求实数为
a2
，
b1
或
a4,b2

（18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，
以及运算能力和推理能力。满分12分。
解：因为
{a}
为等差数列，
{b}
为等比数列。
aa2a,bbb

已知
aab,bba

b2a,ab
得：
b2b

1
因为
b0

b
1
,a

24
a< br>2
6a80
1212
nn
2
243243
22
243243
333333
3
33
由
a

由
当
当
13
{a}
d
n
1
48
10955
S
10
10a
1d
28
22
1
{b
n
}
q或q< br>b
1
1,b
3

22
2
b
1(1q
10
)
31
2
T
10
(22)
q
1q32
2
1,a
3

知的公差为


知的公比为
时，
2
q
2
时，
b
1
(1q
10
)
31
T
10
( 22)
1q32

（19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空
间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。
（I）解：因为
PB
面ABCD。 所以BA是PA在面ABCD
上的射影
又
DAAB
， 所以
PADA




PAB是面PAD与面AB CD所成的二面角的平面角

PAB60

P
3a
而PB是四棱锥
PABCD
的高，PB=AB
tg60


13

V
3
3aa
3
a




23
锥
E


B A
7
O
C D

（II）证：不论棱 锥的高怎样变化，棱锥侧面
PAD
与
PCD
恒为
全等三角形。
作
AEDP
，垂足为E，连结EC，则
ADECDE


AECE,CED90

故
CEA
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角
设AC与DB相交于点O，连结EO，则
EOAC



2
2
aOAAEADa


在三角形AEC中，
EC(2OA)

cosAEC
AE
2AEEC
222

(AE2OA)(AE2OA)
0AE
2

所以，面
PAD
与面PCD所成的二面角恒大于90度。
（20）本小题主 要考查直线、圆、双曲线和坐标法等
基本知识，以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题
的 能力。满分12分。
解：（I）依题意，可设直线AB的方程为
yk(x1)2

代入x
y
2
1
，整理得
(2k)x2k(2k)x(2 k)20
（1）
2
2
222
记
A( x,y)
，
B(x,y)
，则
x,x
是方程(1)的两个不同的根
(2k)
所以
2k0
，且
xx
2k

2k
112212
2
12
2
(x
由N（ 1，2）是AB的中点得：
1
2
1
x
2
)1

k(2k)2k

2
解得k=1，所以直线AB的方程为
yx1

（II）将k=1代入方程(1)得
x2x30
解出
x1,x3

由
yx1
得
y0,y4
即A、B的坐标分别为（-1，0）和
（3，4）
由CD垂直平分AB，得直线CD 的方程为
y(x1)2
即
y3x

代入双曲线方程，整理得：
x6x110
（2）
记
C(x,y)
，D
(x,y)
，以及CD的中点为M（
x,y
）
2
12
12
2
33
44
00

8

则
x,x
是方程（2）的两个根，所以
xx6,xx
从而
x
1
(xx)3
，
y3x6

2

|CD|(xx)(yy)2(xx)
2[(x x)4xx]410


|MC||MD|
1
|CD|210

2
343434
11

034
00
222
2
343434
3434
又
|MA||MB|
(xx)(yy)436210

即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、
C、D四点共圆。
（21） 本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、
探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，满分
12分，附加题4分。
解：（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼
得一个正三棱锥。
如图2， 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其
较长的一组邻边边长为三角形边长的
1
， 有一组对角为直
22
0101
4
角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底 的正三棱柱，
而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上
底。
（II）依上面剪拼的方法，有
VV

推理如下：
设给 出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正
三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为4
3
，现
柱锥
在计算它们的高：
36

h1(
2
)
323
2

1
htg30
o

锥柱
2
13633
2
V
锥
V
柱
(h
锥
h
柱
)()

34964
柱锥
3
6
23
0
24


所以
VV

（III）（附加题，满分4分）

9

如图3，分别连结三角形的内心与各顶 点，得到三条线
段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三
角形为直三棱柱的底面 ，过新三角形的三个顶点向原三角
形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成
直三 棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成为一个缺上底
的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。
注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分。







图1 图2 图3

（22）本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识，
以 及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识
解决问题的能力。满分14分。
（I）证：依设，对任意
xR
，都有
f(x)1

a
1
因为
a0,b0

a2b
因为
f(x)b(x
2
a
b
)
4
a
b

f(
2
a
b
)
4b
2
2
2
2
（II）证： 必要性：
对任意
x[0 ,1],|f(x)|11f(x)
，据此可以推出
1f(1)
即
ab1


ab1
对任意
x[0,1],|f(x)|1f(x)1

因为b>1，可以推出
f(
1
)1
即
a
1
11

a2b

bb

充分性：因为
b1,ab1
，对任意
x[0,1]
，可以推出：
axbxb(xx)xx1

即
axbx1

因为
b1,a2b
，对任意x[0,1]
，可以推出
axbx2bxbx1

即
axbx1

b1a2b
22
2
22
2

10

1f(x)1

综上， 当b>1时，对任意
x[0,1]
，
|f(x)|1
的充要条件是
b1a2b

（III）解：因为
a0,0b1
时， 对任意
x[0,1]
：
f(x)axbxb1
，即
f (x)1
；

f(x)1f(1)1ab1
即
ab1


ab1f(x)(b1)xbx
1
，即
f(x)
1

2
2
所以，当
a0,0b1
时，对任意
是
ab1



x[0,1]
，

|f(x)|1
的充要条件
11