雨的文章-感动作文800字

高一立体几何平行、垂直解答题精选
2017.12.18


1．已知直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
，点N在AC上且CN=3AN，点M，P，Q分别是AA
1
，A
1B
1
，BC的中点.求证：直
线PQ∥平面BMN.

2．如图，在正方形
ABCD
－
A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，
E
，
F
，
M
分 别是棱
B
1
C
1
，
BB
1
，
C< br>1
D
1
的中点，是否存在过点
E
，
M
且与平
面
A
1
FC
平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明 理由.




3．在正方体
ABCDA
1< br>B
1
C
1
D
1
中，
M
，
O
分别是
A
1
B,BD
的中点.

（1）求证：
OM
平面
AA
1
D
1
D
；
（2）求证：
OMBC
1
.
4．如图，
AB
为圆
O
的直径，点
E,F
在圆
O
上，且
ABEF
，矩形
ABCD
所在的平面和圆
O
所在的平
面垂直，且ADEFAF1,AB2
.
试卷第1页，总4页

（1）求证：平面
AFC
平面
CBF
；
（2）在线段
CF
上是否存在了点
M
，使得
OM
平面
ADF
？并说明理由.

5．已知：正三棱柱
ABCA
1B
1
C
1
中，
AA
1
3
，
AB2
，
N
为棱
AB
的中点．
（
1
）求证：
AC
1
P
平面
NB
1
C
．
（< br>2
）求证：平面
CNB
1

平面
ABB
1< br>A
1
．
（
3
）求四棱锥
C
1
A NB
1
A
1
的体积．

6．已知△BCD中，∠BCD= 90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
AEAF


(0

1).

ACAD
（1）求证：不论

为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?

7．如图，在菱形
ABCD
中，
ABC60,AC
与
BD
相交于点
O
，
AE
平面
ABCD
，
o
CFAE,ABAE2
.
第2页

（I）求证：
BD
平面
ACFE
；
（II）当直线< br>FO
与平面
ABCD
所成的角的余弦值为
10
时，求证：
EFBE
；
10
（III）在（II）的条件下，求异面直线
O F
与
DE
所成的余弦值.
8．如图，四棱锥
PABCD
中，
ADBC
，
AD2BC4
，
AB23
，
BAD90
0
，
M,O
分别为
CD
和
AC的中点，
PO
平面
ABCD
.






（1）求证：平面
PBM
平面
PAC
；
（2）是否存在 线段
PM
上一点
N
，使用
ON
平面
PAB
，若存在，求


9．如图，在四棱锥
PABCD
中，侧面
PAD
是正三角形，且与底面
ABCD
垂直，底面
ABCD
是边长 为2
的菱形，
BAD60,N
是
PB
的中点，过
A ,D,N
三点的平面交
PC
于
M
，
E
为
AD
的中点，求证：

（1）
EN
平面
PDC
；
（2）
BC
平面
PEB
；
（3）平面
PBC
平面
ADMN
.





10．
如图，四棱锥
PABCD
中，

PD
平面
PAB
，
AD


BC
，

PN
的值；如果不存在，说明理由.
PM
1
AD
，

E
，

F
分别为线段
AD
，

PD
的中点.

2
（Ⅰ）求证：

CE
平面
PAB
；

（Ⅱ）求证：

PD
平面
CEF
；

（ Ⅲ）写出三棱锥
DCEF
与三棱锥
PABD
的体积之比.（结
论 不要求证明）

BCCD


试卷第3页，总4页

11．如图，点
P
是菱形
ABCD
所在平面外一点，
BAD60
，
VPCD
是等边三角形，
AB2
，
PA22
，
M
是
PC
的中点.
（Ⅰ）求证：
PAP
平面
BDM
；
（Ⅱ）求证：平面
PAC
平面
BDM
；
（Ⅲ）求直线
BC
与平面
BDM
的所成角的大小.





12．在四棱锥
ABCDE
中，底面< br>BCDE
为菱形，侧面
ABE
为等边三角形，且侧面
ABE
底面
BCDE
，
O
，
F
分别为
BE
，
DE
的中点.
（Ⅰ）求证：
AOCD
.
（Ⅱ）求证：平面
AOF
平面
ACE
.
（Ⅲ）侧棱AC
上是否存在点
P
，使得
BPP
平面
AOF
？若存在，求出
AP
的值；若不存在，请说明理由.
PC

13． 在四棱锥
PABCD
中，侧面
PCD

底面
ABCD，
PDCD
，
E
为
PC
中点，底面
ABCD
是直角
梯形，
ABCD
，
ADC90
，
AB ADPD1
，
CD2
．

（1）求证：
BE
平面
PAD
；
（2）求证：
BC
平面
PBD
；
（3）在线段
PC
上是否存在一点
Q
，使得二面角
QBDP
为
45< br>？
o
o
P
E
若存在,求
PQ
PC
的值；若不存在，请述明理由．
D
C
A
B
第4页

参考答案
1．见解析
【解析】试题分析：根据题目给出的P，Q分别是A
1
B
1
，BC的中点，想到取AB的中点G，连接PG，QG后分
别交BM，BN于点E，F，根 据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出
GE
GF
1
==，从而得到EF∥PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；
EP
FQ
3
试题解析：如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，B N于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥
GF
AN11111GE1GE< br>GF
1
AM，GE=AM，GF∥AN，GF=AN，且CN=3AN，所以=， == ，所以==，
FQ
NC32222EP3EP
FQ
3
所以EF∥PQ ，又EF⊂平面BMN，PQ⊄平面BMN，所以PQ∥平面BMN.

2．详见解析.
【解析】试题分析: 由正方体的特征及
N
为
BB
1
的中点 ，可知平面
A
1
FC
与直线
DD
1
相交，且交点为
DD
1
的中点
G
.若过
M
，
E
的 平面
α
与平面
A
1
FCG
平行，注意到
EM
∥
B
1
D
1
∥
FG
，则平面
α
必与
CC
1
相交于点
N
，结合
M
，
E为棱
C
1
D
1
，
B
1
C
1< br>的中点，易知
C
1
N
∶
C
1
C
＝< br>试题解析:
如图，设
N
是棱
C
1
C
上的一 点，且
C
1
N
＝
C
1
C
时，平面
EMN
过点
E
，
M
且与平面
A
1
FC平行．
1
.于是平面
EMN
满足要求．
4

证明如下：设
H
为棱
C
1
C
的中点，连接
B1
H
，
D
1
H
.
∵
C
1
N
＝
C
1
C
，
∴
C
1
N
＝
C
1
H
.
又
E
为
B
1
C
1
的中点，
∴
EN
∥
B
1
H
.
又
CF
∥
B
1
H
，
∴
EN
∥
CF
.
答案第1页，总13页

又
EN
⊄平面
A
1
FC
，
CF
⊂平面
A
1
FC
，
∴
EN
∥平面
A
1
FC
.
同理
MN
∥
D
1
H
，
D
1
H
∥
A
1
F
，
∴
MN
∥
A
1
F
.
又
MN⊄平面
A
1
FC
，
A
1
F
⊂平面A
1
FC
，
∴
MN
∥平面
A
1
FC
.
又
EN
∩
MN
＝
N
，
∴平面
EMN
∥平面
A
1
FC
.
点睛: 本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,属于中档题.直线和平面平行的判定
定 理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行; 平面与平面平行的判定定理：一
个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．
3．（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）连接
A
1
D
，
AD
1
，由
M，O
分别是
A
1
B
，
BD
的中点可证
OM
∥
A
1
D
，即可证
明
O M
∥平面
AA
1
D
1
D
；（2）由
D1
C
1
∥
AB
且
D
1
C
1< br>AB
可证
D
1
C
1
BA
为平行四边形，即 可证
AD
1
∥
BC
1
，
再根据
A
1
DAD
1
即可证明
OMBC
1
.
试题解析：

（1）连接
A
1
D
，
A D
1
，因为
M，O
分别是
A
1
B
，
BD
的中点，
所以
OM
∥
A
1
D
，且
A
1
D
平面
AA
1
D
1
D
，
所以
OM
∥平面
AA
1
D
1
D

（2）由题意
D
1
C
1
∥
AB
且
D
1
C
1
AB
，所以
D
1
C
1
BA
为平行四边形，所以
AD
1
∥
BC
1
，
由（Ⅰ）
OM
∥
A
1
D
，且
A
1
DAD
1
，所以
OMBC
1

答案第2页，总13页

4．（1）证明见解析；（2）存在，见解析；
【解析】试题分析：（1）要证明平面
AFC
平面
CBF
，只需证
AF
平面
CBF
，则只需证
AFCB
,
（2）首先猜测存在
CF
的中点
M
满足
OM
平面
ADF
，作辅
AFBF
,再根 据题目条件分别证明即可；
助线，通过
OMAN
，由线面平行的判定定理，证明
OM
平面
ADF
。
试题解析：
解：（1）因为平面
ABCD
平面
ABEF,CBAB
， 平面
ABCD
平面
ABEFAB
，所以
CB
平面
ABEF
，
因为
AF
平面
ABEF
，所以
AFCB
,
又
AB
为圆
O
的直径，所以
AFBF
,
因为
CBBFB
，所以
AF
平面
CBF
，
因为
AF
平面
AFC
，所以平面
AFC
平面< br>CBF
.
（2）如图，取
CF
的中点
M,DF
的中点
NA
，连接
N,MN,OM
，
1
CD
，
2
1
又
AOCD,AOCD
，所以
MNAO,MNAO
，
2
所以四边形
MNAO
为平行四边形，
所以
OMAN
，
则
MNCD,MN
又
AN< br>平面
DAF,OM
平面
DAF
，
所以
OM
平面
DAF
，
即存在一点
M
为
CF
的中点，使得
OM
平面
DAF
.

5．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：
（1）要证线面平行 ，就是要证线线平行，考虑过直线
AC
1
的平面
AC
1
B< br>与平面
CB
1
N
的交线
ON
（其中
O
是
33
．
2
BC
1
与
B
1
C
的交点），而由中位线定理易得
AC
1
ON
，从而得线面平行； < br>（2）由于
ABC
是正三角形，因此有
CNAB
，从而只要再证< br>CN
与平面
ABB
1
A
1
内另一条直线垂直即可，< br>这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到，从而得线面垂直，于是有面面垂直；
（3）要求四棱锥的 体积，由正三棱柱的性质知
A
1
B
1
C
1
中，边
A
1
B
1
的高就是四棱锥的高，再求得四边形
答案第3页， 总13页

ANB
1
A
1
的面积，即可得体积．
试题解析：
（
1
）证明：连接
BC
1
，交
B
1
C< br>于
O
点，连接
NO
，
∵在
VABC
1
中，
N
，
O
分别是
AB
，
BC
1
中点，
∴
NOPAC
1
，
∵
NO
平面
NCB
1
，
AC
1

平面
NCB
1
，
∴
AC
1
P
平面
NCB
1
，
（
2
）证明：∵在等边
VABC
中，
N
是棱
AB
中点，
∴
CNAB
，
又∵在正三棱柱中，
BB
1

平面
ABC
，
CN
平面
ABC
，
∴
BB
1
CN
，
∵
ABBB
1
B
点，
AB
，
BB
1

平面
ABB
1
A
1
，
∴
CN
平面
ABB
1
A
1
，
∵
CN
平面
CNB
1
，
∴平面
CNB
1

平面
ABB
1
A
1
．
（< br>3
）作
C
1
DA
1
B
1
于
D
点，
∴
C
1
D
是四棱锥
C
1
ANB
1
A
1
高，
h
1
2
ABtan603
，
底面积
S32
19
2
31
2
，
答案第4页，总13页

133
V
C
1< br>ANB
1
A
1
Sh
．
32

【点睛】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.
( 2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
6．（1）见解析（2）λ＝
6

7
【解析】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵
AEAF
＝λ(0＜λ＜1)，

ACAD
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.
∴EF⊥平面ABC，EF

平面BEF.
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解：由(1)知，BE⊥EF，∵平面 BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝
2
，AB＝
2
tan60°＝
6
.
∴AC＝
AB
2
＋BC
2
＝
7
.
6
AE6
.∴λ＝＝.
AC7
7
由AB
2
＝AE·AC，得AE＝
故当λ＝
6
时，平面BEF⊥平面ACD
7
5
．
4
7．（I）见解析；（II）见解析；（III）
【解析】试题分析：
（ I）要证
BD
与平面
ACFE
垂直，只要证
BD
与平面ACFE
内两条相交直线垂直即可，这由已知线面垂直
可得一个，又由菱形对角线垂直又得 一个，由此可证；（II）由已知线面垂直得
FC
平面
ACFE
，从而知< br>FOC
为直线
FO
与平面
ACFE
所成的角，从而可得FC,FO
，然后计算出三线段
EF,BE,BF
的长，由勾
股定理逆定 理可得垂直；
（III）取
BE
中点
M
，则有
MODE< br>，从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得．
试题解析：
答案第5页，总13页

（I）
BD
平面
ACFE

{
BDAC菱形ABCD
BDAEAE平面ABCD
；
（II）
FC
平面
ABCD
直线
FC
与平面
ABCD
所成的角
FOCcosFOC
10
而且
RtFO C
10
5,RtFCB
中中，
CO1FO10,FC3
，过
E
作
ENAC
交
FC
于点
NRtFNE< br>中
EF
FB13,RtEAB
中
EB8EF
2EB
2
FB
2
EFEB
；
（III）取BE
边的中点
M
，连接
MO,MODE
且
MO22
1
DE2FOM
为所求的角或其补角，
2
FO
2
MO
2
FM
2
5

而在
RtF EM
中，
FMEFEM7RtFOM
中
cosFOM

2FO MO4

异面直线
OF
与
DE
所成的余弦值为
8 ．（1）证明见解析；（2）


【解析】
5
.
4
1
.
3
uuuuruuur
试题分析：（1）以
A
为原点建立空间直角坐标系
Axyz
，可得
BM(3,3,0)< br>，
AC(23,2,0)
，
uuuuruuur
BMAC0< br>，
BMAC
又
BMPO
得
BM
平面
P AC
，进而得结论；（2）设
OPh
，可得平面
PAB
uuurr
r
的一个法向量为
n(0,h,1)
，再根据
ONn2< br>
hh

h0
可解得

.
试题解析 ：（1）如图，以
A
为原点建立空间直角坐标系
Axyz
，
uu uuruuur
B(23,0,0)
，
C(23,2,0)
，
D(0 ,4,0)
，所以
CD
中点
M(3,3)
，则
BM(3 ,3,0)
，
AC(23,2,0)
，
uuuuruuur
则BMAC(3)(23)320
，
所以
BMAC
.
又
PO
平面
ABCD
，所以
BMPO
，由ACIPOO
，
所以
BM
平面
PAC
，
又
BM
平面
PBM
，所以平面
PBM
平面
P AC
.
uuuur
（2）法一：设
OPh
，则
O(3, 1,0)
，
P(3,1,h)
，则
PM(0,2,h)
，
答案第6页，总13页

r
uuuruuur< br>设平面
PAB
的一个法向量为
n(x
0
,y
0,z
0
)
，
AP(3,1,h)
，
AB(2,0, 0)
，
ruuur



nAP0

3x
0
y
0
hz
0
0
所以
ruuu
，则

，令
z
0
1
，
r
2x
0
0




nAB0
r
得
n(0,h,1)
，
uuuruuuur
设
P N

PM(0,2

,

h)
(0

1)
，则
uuuruuuruuur
ONOPPN(0,2< br>
,h

h)
，
uuurr
1
若
ON
平面
PAB
，则
ONn2

hh

h0
，解得


.
3
法二：（略解）：连接
MO
延长与
AB
交于点
E
，连接
PE
，若 存在
ON
平面
PAB
，则
ONPE
，
OE1
证明

即可.
EM3

考点：1、利用空间向量证明线面垂直、面面垂直；2、利用空间向量研究线面平行.
9．（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
试题分析：(1)先证明四边 形
EDMN
是平行四边形，得
ENPDM,DM
平面
PDC
，
进而可得结论；(2)先由面面垂直的性质可得
PEBC< br>，再证
BEAD
，由
ADPBC
可得
可得
BC
平面
PEB
；（3）由（2）可得
PBMN
，由等腰三角形性质得
PBAN
，
BEBC
，
进而由面面垂直的判定定理得结论.

试题解析：（1）
QADBC,AD

ADMN,BC
平面
ADMN,

BC
平面
ADMN,


QMN
平面
ADMN
平面
PBC,BC
平面
PBC
，
BCMN,
又因
ADBC,

ADMN,EDMN
，
QN
是
PB
的中点，
E
是
AD
的中点，底面
ABCD
是边长为2的菱形，
EDMN1,


四边形
EDMN
是平行四边形，
答案第7页，总13页

ENDM,DM
平面
PDC,

EN
平面
PDC
；
（2）
Q
侧面
PA D
是正三角形，且与底面
ABCD
垂直，
E
为
AD
的中点，
PEAD,PEEB,PEBC,

QBAD60,AB2,AE 1,
由余弦定理可得
BE3
，由正弦定理可得：
BEAD


由
ADBC
可得
BEBC,

QBEPEE,

BC
平面
PEB
；
(3)
Q
由（2）知
BC
平面
PEB
，
EN
平面
PEB

BCEN,

QPBBC,PBAD,

PBMN,

QAPAB2,N
是
PB
的中点，
PBAN,

MNANN,?  PB
平面
ADMN
.

平面PBC
平面
ADMN
.

【方法点晴】本题主要考 查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，
属于难题.证明线面平行的常用方 法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法
在平面内找到一条与已知直线平行的直线， 可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面
平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直 线平行.②利用面面平行的性质，即两平
面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.

10．（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）要证线面平行， 就要证线线平行，在四边形
ABCD
中，由已知可得
AE
与
BC平行且相等，从而得平
行四边形，因此有
CEAB
，因可得线面平行；
（Ⅱ）要证
PD
与平面
CEF
垂直，就要证
PD
与此平面内 两条相交直线垂直，而已知
PD
与平面
PAB
垂直，
因此
P D
与平面
PAB
内所有直线垂直，现在已有
CEAB
，因此有
PDCE
，再有，
E,F
是所在线段中
点，因此有
EFPA< br>，从而也可得
PDEF
，这样可得题设线面垂直；
（Ⅲ）都改为以
D
为顶点，则底面积比为
试题解析：
答案第8页，总13页
V
DCEF
1


V
PABD
4
111
，高的比也是，因此体积比为．
224

（Ⅰ）证明：因为
BC

AD
，
BC
1
AD
，
2
E
为线段
AD
的中点，
所以
AE

BC
且
AEBC
，
所以四边形
ABCE
为平行四边形，
所以
CE

AB
，
又有
AB
平面
PAB
，
CE
平面
PAB
，
所以
CE
平面
PAB
．
（Ⅱ）证明：因为
E
，
F
分别为线段
AD
，
PD
中点，所以
EF

PA
，
又因为
PD
平面
PAB
，
PA,AB
平面
PAB
，
所以
PD

AB
，
PDPA
；
所以
PDEF
，
又
CE

AB
，所以
PDCE

因为
EFCEE
，
所以
PD
平面
CEF
．
（III）结论：
V
DCEF
1

．
V
PABD
4
11．（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）
【解析】试题分析：

.
6
（Ⅰ）要证明
PA< br>与平面
MDB
平行，只要找到一条平行线，由于
M
是
PC中点，
AC
与
BD
的交点
O
是
AC
中点，则必有
PAMO
，从而有线面平行；
（Ⅱ）要证面面垂直，就要证线面垂直， 从图形中知
BDAC
，在
MBD
，计算后可得
BDMO
，从而
BOPA
于是有线面垂直，从而得面面垂直；
（Ⅲ）易证
PC
平面
BDM
，从而知
BM
为
BC
在平面
B DM
内的射影，因此
CBM
就是直线
BC
与平
面
BDM
所成的角，在
CBM
中求解可得．
试题解析：
（Ⅰ）证明：连接
MO
.
在菱形
ABCD
中，
O
为
AC
中点，且点
M
为
PC
中点，
所以
MOA
，
又
MO
平面
BDM
，
PA
平面
BDM
.
所以
PA
平面
BDM


（Ⅱ）证明：在等边三角形
VPCD
中，
DCAB2
，
M
是
PC
的中点，所以
DM3
.
在菱形
ABCD
中，
BAD60
，
AB2
，
答案第9页，总13页

所以
DO
又
MO
1
BD1
.
2< br>2
，所以
DO
2
MO
2
DM
2
，所以
BDMO
.
在菱形
ABCD
中，
BDAC
.
又
ACMOO
，所以
BD
平面
PAC
.
又
BD
平面
BDM
，
所以平面
PAC
平面
BDM
.
（Ⅲ）因为
BD
平面
PAC
，
PC
平面
PAC
，所以
BDPC

又因为
PDDC
，
M
为
PC
中点，所以
DMPC

又
DM BDD
，所以
PC
平面
BDM
，则
BM
为直 线
BC
在平面
BDM
内的射影，
所以平面
CBM
为直线
BC
与平面
BDM
的所成角
因为
PC2
，所以
CM1
，
CM1


，所以
CBM

BC26

所以直线
BC
与平面
BDM
的所成角为.
6
在
RtVCBM
中，
sinCBM
12．(Ⅰ)证 明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)侧棱
AC
上存在点
P
，使得
B PP
平面
AOF
，且
AP1

．
PC2
【解析】试题分析：（1）要证
A
1
OCE
，只需证明
A
1
O
平面
BCDE
即可；（2）连结
BD
,因为四边形< br>BCDE
为菱形，所以
CEBD
,因为
O,F
分别为
BE,DE
的中点，所以
OFBD
，且
CEOF
，由（1）知< br>AO
平面
BCDE
,进而证得
CE
平面
AOF< br>，从而证的平面
AOF
平面
ACE
；（3）设
CE
与
BD,OF
的交点分
别为
M,N
连结
AN,PM
，因为四边形
BCDE
为菱形，
O,F
分别为
BE,DE
的中点，所以
为
AC
上靠近
A
点三等分点，则
NM1
设
P

，
MC2
APNM1

，所以
PMAN
,进而得到
BP
平面
AOF
．
PCMC2
试题解析：解：（1）因为
ABE
为等边三角形,
O
为
BE
的中点,
所以
AOBE
又因为平面< br>ABE
平面
BCDE
,
平面
ABE
平面
BCDEBE
,
AO
平面
ABE
,所以
AO
平面
BCDE
,
又因为
CD
平面
BCDE
,所以
AOCD
.

（2）连结
BD
,因为四边形
BCDE
为菱形，所以CEBD
,因为
O,F
分别为
BE,DE
的中点,
所以
OFPBD,CEOF
，由（1）知
AO
平面
BCDE< br>,
QCE
平面
BCDE
,
AOCE,QAOOFO,CE
平面
AOF
,
答案第10页，总13页

又因为
CE
平面ACE
,所以平面
AOF
平面
ACE
.
（3）当点
P
为
AC
上的三等分点（靠近
A
点）时,
BPP
平面
AOF
.
证明如下：设
CE
与
BD,OF
的交点分别为
M,N
连结
AN,PM
.因为四边形BCDE
为菱形,
O,F
分别为
BE,DE
的中点,所以则
NM1

,设
P
为
AC
上靠近
A< br>点三等分点，
MC2
APNM1

,所以
PMPAN,因为
AN
平面
AOF,PM
平面
PCMC2
A OF,PMP
平面
AOF
.由于
BDPOF,OF
平面
AOF,BD
平面
AOF,BDP
平面
AOF
,即
BM P
平面
AOF
,
QBMPMM
,所以平面
BMPP
平面
AOF
, QBP
平面
BMP,BPP
平面
AOF
.可见侧棱
AC
上存在点
P
,使得
BPP
平面
AOF
,
且
AP1

.
PC2

考点：直线与平面垂直的判定与证明；探索性问题的求解.
13．（1）见解析；（2）见解 析；（3）存在，且
PQ
PC
21
．
【解析】
试题分析：（1）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知，这条平行线是过直线
BE
的平
面
ABE
到平面
PAD
的交线，由于
E
是中点，
DC2AB
，因此辅助线作法易知，只要取
PD
中点
F
，
AF
就是要找的平行线；（2）要证线面垂直，就是要证线线垂直，由已知易得BCPD
，因此还要证
BCBD
（或者
BCPB
），这在
ΔBCD
中由勾股定理可证；（3）求二面角问题，可通过参阅空间直角坐标系用空间
uuuruuur
向量法求解，即以
DA,DC,DP
为坐标轴建立坐标系，写出各点 坐标，并设设
PQ

PC
，

(0,1)
，所 以
Q(0,2

,1

)
，求出两平面
QBD< br>，
PBD
的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．
试题解析：（ 1）取
PD
的中点
F
，连结
EF,AF
，因为
E< br>为
PC
中点，所以
EFCD
，
且
EF
1
CD1
，在梯形
ABCD
中，
ABCD
，
AB 1
，
2
所以
EFAB
，
EFAB
，四边形ABEF
为平行四边形，
所以
BEAF
，
因为
BE
平面
PAD
，
AF
平面
PAD
，
所以
BE
平面
PAD
．
答案第11页，总13页

（2）平面
PCD

底面
ABCD
，
PDCD
，所以
PD
平面
ABCD
，
所以
PDAD
．
如图，以
D
为原点建立空间直角坐标系
Dxyz
．
则
A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1).

uuuruuur
DB(1,1,0)
，
BC(1,1,0)
，
uuuruuur
所以
BCDB0
，
BCDB
，
又由
PD
平面
ABCD
，可得
PDBC
，
因为
PDBDD

所以
BC
平面
PBD
．
uuur
（3）平面< br>PBD
的法向量为
BC(1,1,0)
，
uuur
uuuruuur
PC(0,2,1)
，设
PQ

PC，

(0,1)

所以
Q(0,2

,1

)
，
P
F
D
A
x
z
Q
E
y
C
B

设平面
QBD
的法向量为
n=(a,b,c)
，
uuur
uuur
DB(1,1,0)
，
DQ(0,2

,1

)
，
uuur
uuur
由
nDB0
，
nDQ0
，得

ab0
，

< br>2

b(1

)c0
令
b1

2

)
，

1
uuur
n BC
22
o
所以
cos45
，

uuur< br>
2
2

2
nBC
22()

 1
所以
n=(1,1,
答案第12页，总13页

注意到

(0,1)
，得

21
．
o
所以在线段
PC
上存在一点
Q
，使得二面角
QBD P
为
45
，
此时
PQ
PC
21

考点：线面平行的判断，线面垂直的判断，二面角．
答案第13页，总13页