校庆文章-巴黎圣母院内容简介

复旦附中高三模拟数学试卷
2019.05

一. 填空题
1. 不等式
1
3
的解集为
x
2. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人 ，为了调
查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人

n1
n1000


2n
(nN

)
，则
lima
n
< br> 3. 已知
a
n


n
< br>1n
1n1000


n
4. 一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数
n


5. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为

6. 若
2sin

cos

cos
2

0
，则
cot




y2

7. 已知变量
x,y
满足约束条件

xy1
，则
z3xy
的最大值为

xy1

8. 已知点
O
为△
ABC
的外心，且
|AC|4
，
|AB|2
，则
AOBC

9. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为
a，再由乙猜甲刚才所想的
数字，把乙猜的数字记为
b
，且
a,b{n| 0n9,nN

}
，若
|ab|1
，称甲乙“心有
灵犀”，则甲乙“心有灵犀”的概率是
10. 在△
ABC
中，点
D
在边
BC
上， 且
DC2B D
，
AB:AD:AC3:k:1
，则实数
k
的
取值范围是
11. 已知函数
f(x)xsinx
是
R
上的单调增函数，则关于
x
的方程
x
2
xsi n2x
11
cos4x
的实根为
88
1

12. 已知
a
1
,a
2
, ,a
n
是
1,2,,n
满足下列性质
T
的一个排列 （
n2
，
nN

），性质
T
：
排列< br>a
1
,a
2
,,a
n
有且只有一个
a
i
a
i1
（
i{1,2,,n1}
），则满 足性质
T
的所有数列的
个数
f(n)


二. 选择题
y
2
x
2
13.

2
是圆锥曲线
1
的焦距与实数

无关的（ ）

52

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
x
2
y
2
14. 直线
y kxm
与双曲线
2

2
1
（
a0
，
b0
）的交点个数最多为（ ）
ab
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15. 若对任意xR
，都有
f(x)f(x1)
，那么
f(x)
在
R
上（ ）
A. 一定单调递增 B. 一定没有单调减区间
C. 可能没有单调增区间 D. 一定没有单调增区间
16. 在数列
{a
n
}
中，对任意的
nN

，都有
a
n2
a
n1
k
（其中
k
为常数），则称
{a
n
}
为
a
n1
a
n
“等差比数列”，下面对“等差比数列”的判断：①
k
不可能为0；②等差数列一定是等差
n
比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项 公式为
a
n
abc
（其中
a0
，
b1< br>，
b0
）的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

三. 解答题
17. 如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针 匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环
的圆心
O
距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬 行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点
P
0
处.
（1）试写出蚂 蚁距离地面的高度
h
（米）关于时刻
t
（分钟）的函数关系式
h(t )
；
（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？







2

18. 如图，已知圆锥体
SO
的侧面积为
15

，底面半 径
OA
和
OB
互相垂直，且
OA3
，
P
是
母线
BS
的中点.
（1）求圆锥体的体积；
（2）异面直线
SO
与
PA
所成角的大小.
（结果用反三角函数表示）





19. 设常数
aR
，若函数
f(x)(ax)|x1|
存在反函数
f
1
(x)
.
（1）求证：
a1
，并求出反函数f
1
(x)
；
（2）若关于
x
的不等式
f
1
(x
2
m)f
1
(mx)2
对一切< br>x[2,3]
恒成立，求实数
m
的取
值范围.





x
2
y
2
20. 已知
A
、
B
是双曲线
C
1
：
2

21
（
a0
，
b0
）的两个顶点，点
P
是 双曲线上
ab
x
2
y
2
异于
A
、
B
的一点，
O
为坐标原点，射线
OP
交椭圆
C
2
：
2

2
1
于点
Q
，设直线
P A
、
ab
PB
、
QA
、
QB
的斜率分别 为
k
1
、
k
2
、
k
3
、
k
4
.
11
x
，且过点
(5,)
，求
C
1
的方程；
22
15
（2）在（1）的条件下，如果
k< br>1
k
2

，求△
ABQ
的面积；
8（1）若双曲线
C
1
的渐近线方程是
y
（3）试问：
k
1
k
2
k
3
k
4
是否为定值？ 如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.







3

21. 定义：若数列
{a< br>n
}
满足，存在实数
M
，对任意
nN

， 都有
a
n
M
，则称数列
{a
n
}
有 < br>上界，
M
是数列
{a
n
}
的一个上界，已知定理：单 调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列
{cos(sin
请说明理由；
22

（2） 若非负数列
{a
n
}
满足
a
1
0
，a
n
，求证：1是非负数列
{a
n
}

1< br>a
n1
1a
n
（
nN
）
n


)}
是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，
2
的一个上界，且数列
{a
n
}
的极限存在，并求其极限；
（3）若正项递增数列
{a
n
}
无上界，证明：存在
kΝ

，当
nk
时，恒有
a
a
1
a
2< br>
n1
n2019
.
a
2
a
3
a
n



























4

参考答案

一. 填空题
1.
(0,)
2. 10 3.
1
3
1
4. 14
2
5.
83
6. 0或2 7. 11 8. 6
9.

二. 选择题
13. A 14. B 15. C 16. D

三. 解答题
17.（1）
h1.5cos(t)
；（2）
7
57
10.
(,)
11. 0 12.
2
n
n1

33
25

2
2108
t
，∴时长为分钟.
333
35
.
4


1x,x0
1
19.（1）证明略，
f(x)

；（2）
f
1
(x)
递减，且对称中心为
(0,1)
，∴


1 x,x0
18.（1）
12

；（2）
arctan
x
2
mxm0
在
x[2,3]
恒成立，解得
m4
.
4816
x
2
20.（1）（2）
PQ:y
，面积为；（3）定值为0.
x
，
y
Q

y
2
1
；
151717
4
21.（1）存在，1；（2）略，极限 1；（3）略.

5