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立体几何中添加辅助线的策略
王留廷

立体几何中添加辅助线的主 要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；
二是要把已知量和未知量统一在一个图形中， 如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形
的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其 他几何体中。下面加以说明。
一、添加垂线策略。
因为立体几何的许多定义或定理是与垂线 有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、
线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂 直、面面垂直的判定及性质定理，
正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需 要把没有的垂线补上。
尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使 用三垂线
定理或其逆定理。
例1. 在三棱锥
OABC
中，三条棱OA、 OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M
是AB边的中点，则OM与平面ABC所成的角的大 小是________（用反三角函数表示）。

图1
解：如图1，由题意可设< br>OAa
，则
ABBCCA
的射影D为底面
ABC
的 中心，
OD
V
OABC
1
3
S
ABC

3
3
2a,V
OABC

1
3
1< br>6
a
，O点在底面
3
6
a
，OM与平
3a
。又
DMMC
3
面ABC所成角的正切值是
tan< br>3
6
6
a

a
2
，所以二面角大小是
arctan2
。
点评：本题添加面ABC的垂线OD，正是三棱锥的性质所要求的，一方 面它构造出了正
三棱锥里面的
RtODM
，
RtODC
，另一方 面也构造出了OM与平面ABC所成的角。

二、添加平行线策略。
其目的是把不 在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱
形，这样就可以通过解三角形等 ，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所
需要的平行线。
例2. 如图2， 在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
B
1
E
1
D
1
F
角的余弦 值是（ ）
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A
1
B
1
4
，则
BE
1
与DF所成

A.
15
17
B.
1
2
C.
8
17
D.
3
2


图2
解析：取
A
1
G
选A。
点评：求异面直线所成角常采用平移法。

三、向中心对称图形对称中心添加连线策 略。这主要是因为对称中心是整个图形的“交
通”枢纽，它可以与周围的点、线、面关联起来，常见的有 对平行四边形连对角线，对圆的
问题向圆心连线，对球体问题向球心连线。
例3. 如图3， O是半径为1的球的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂
直，E、F分别是大圆弧A B与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（ ）

A.

4
A
1
B
1
4
，易得四边形ADFG是平行四边形，则A GDF，再作
E
1
EAG
，
四边形
GE
1
EA
也是平行四边形，
BE
1
E
就是
BE
1与DF所成角，由余弦定理，算出结果，
B.

3
C.

2
D.
2
4


图3 解析：添加辅助线OE、OF，连结EF，构成
OEF
，关键是求
EOF。为了使EF与已
知条件更好地联系起来，过E作
EGAO
，垂足为G，连结F G，构造
GEF
，在图3中，
EG1sin

4
< br>2
2
2
FG,EGF

2
。
3
EFEGFG
2
1OEOF,EOF

3< br>
3


点E、F在该球面上的球面距离为
1
，故选B。
点评：本题抓住了球心，抓住了弧中点，利用这些特殊点作辅助线是解题的关键。
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四、名线策略。即添加常用的、重要 的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对
角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强 化一下，这些线有着广泛的联系。尤
其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了 两个边的中点，并且中
位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移， 使已知和
未知集中在一个三角形中。
例4. 如图4，正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各棱长都为2，E、F分别是AB、
A
1
C
1
的中点，
则EF的长是（ ）。

图4
A. 2 B.
3
C.
5
D.
7

5
，解析：如图4所示，取AC的中点G，连结EG、FG，则易得FG2,EG1
，故
EF
选C。

点评：本题充分体现了中位线的重要性。

五、割补策略。分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。
例5. 一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.
3
B.
4
C.
33
D. 6


解析：把这个正四面体
ABCD
补成正方体，如图5 ，正四面体
ABCD
可看成是由正
方体的面对角线构成的，这个正四面体和这个正方 体有相同的外接球面。因为四面体
ABCD
的棱长为
2
，所以正方体棱长为 1，正方体的体对角线长为球的直径
2R3
，
所以球的表面积
S4R
2
4
3
4
3
，选A。

图5
点评：把一些线面关系放到正方体中思考，能给问题一个更好的参照，使各种线面关系
易于理解 。
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