三余弦定理的证明
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2020年08月16日 05:27
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三余弦定理
设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为A
B，AC为面上的一条直
线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：
cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB
通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角
(OAC)=cos斜线射影与平
面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)．
又叫最小角定理或
爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角．
如
上图，自点O作OB⊥AB于点B，过B作BC⊥AC于C，连OC，则易知
△ABC、△AOC、△A
BO均为直角三角形．cosθ1=AB∶OA，cosθ2=AC∶AB，
cosθ=AC∶OA，不
难验证：cosθ=cosθ1×cosθ2．
例1 如图，已知A1B1C1－ABC
是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，
求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α
的度数.(1994年全国高考理科数学23
题)
例2 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一
点，现沿CP
将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－A
C
－B大小．(上海市1986年高考试题，难度系数0.28)
例3．已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将
此菱形折成
直二面角 A-BD-C(如图6)．( 1)求异面直线AC与BD所成的角；(
2)求二面角A-CD-B
的大小．