厦门集美大学分数线-竞选学生会演讲稿

2019届高三入学调研考试卷
理 科 数 学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡 上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直 接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
A x|x
2
2x30
，
Bx|x
2
4
，则
AIB
（ ）
A．

2,1


【答案】A
【解析】由一元二次不等式的解法可得，
集合
Axx
2
2x30

xx3或x1

，
Bx| x
2
4

x|2x2

，
所以
AIB

x2x1



2,1

，故选A．
2．
i
为虚数单位，复数
z
A．第二象限
【答案】C
2i
在复平面内对应的点所在象限为（ ）
i1

B．

1,2

C．

1,1

D．

1,2




B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限


i1

2i
2i


i1

 1i
，复数
z
【解析】
z
在复平面内对应坐标为
< br>1,1

，所以复数
i1i1
i1
z
2i
在复平面内对应的点在第四象限，故选C．
i1
2
3．甲乙两名同学6次 考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为
x
甲
、
x
乙< br>，标准差分别
为

甲
,

乙
，则（ ）

A．
x
甲
x
乙
，

甲


乙

C．
x
甲
x乙
，

甲


乙

【答案】C 【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知
x< br>甲
x
乙
，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故

甲


乙
．
B．
x
甲
x
乙，

甲


乙

D．
x
甲< br>x
乙
，

甲


乙

故选C．
x
3
4．已知函数
f

x
< br>
2
，则
f

x

的大致图象为（ ）
x4
A． B．
C．
【答案】A
D．
x< br>3
【解析】因为
f

x


2
 f

x

，所以函数为奇函数，排除B选项，
x4
求 导：
f


x


x
4
12x
2

x
2
4

2
0
，所以函 数单调递增，故排除C选项，

令
x10
，则
f

10


1000
104
4
，故排除D．故选A ．
5．已知向量
a

3,1

，
b

0,1

，
c

k,3

，若
a2b

c
，则
k
等于（ ）
A．
23
B．2 C．
3
D．1
【答案】C 【解析】因为

a2b

c
，
a2b

3,3

，所以
3k330
，
k3
，故 选C．
6．已知函数
f

x

2sin

x


，


0,0


的部分图像如图所示，则

，

的值分别是（< br>
A．
1,
3
B．
2,

4
4
C．

3
4
D．
2

4

【答案】C
【解析】因为
T
2

5
4

1
4
，
T2
，



2< br>T

，又因为
f


3

4


2
，
所以
2sin


3

4





2，
sin


3

4





1
，

3
4



2
2k

kZ

，


5
4
2k

kZ

，
Q0


，



3
4< br>，故选C．
7．若过点

2,0

有两条直线与圆
x
2
y
2
2x2ym10
相切，则实数
m的取值范围是（
A．

,1

B．

1,+

C．

1,0

D．

1,1


【答案】D
【解析】由已知圆的方程 满足
D
2
E
2
4F0
，则
444

m1

0
解得
m1
；
过点有两条直线 与圆相切，则点在圆外，代入有
44m10
，解得
m1
，
综上实数
m
的取值范围
1m1
，故选D．
8．运行 如图所示的程序框图，若输出的
S
的值为
21
，则判断框中可以填（ ）
）


）

A．
a64?

【答案】A
【解析】运行程序如下：
a 1
，
S0
，
S1
，
a2
，
S 12
，
a4
，
S124
，
a8
，< br>S1248
，
a16
，
S124816
，
a32
，
S1248163221
，
a6 4
，故
B．
a64?
C．
a128?
D．
a128?

答案为A．
9．抛物线
E:y
22px

p0

的焦点为
F
，点
A

0,2

，若线段
AF
的中点
B
在抛物线上， 则
BF
（ ）
A．
5

4
B．
5

2
C．
2

2
D．
32

4
【答案】D

p


p

【解析】点
F
的坐标为

,0

，所以
A
、
F
中点
B
的坐标为

,1

，因为
B
在抛物线上，所以将
B

4


2

p
2
的坐标代入抛物线方程可得：< br>1
，解得：
p2
或
2
（舍），
2

2

2

32
,0,1
则点
F
坐标为

，点的坐标为，由两点间距离公式可得．故选D．
BF
B


2

4

4

10． 将半径为3，圆心角为
A．
2

3
2
的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
3
B．
3

3
C．
4

3
D．
2

【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为< br>r
，高为
h
，则
2r
2
2
3
，
r1
，
h3122
，
3
3
12
44

2

2

，
R
设内切球的半径为
R
，则，
VR
3



，


3
2
3323
22R
< br>R

故选A．
11．
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
A．


6
sinAb

1
，则
C
为（ ）
sinBsinCac
B．


3
C．
2

3
D．
5

6
【答案】B
【解析】∵由正弦定理可得：
sinA
∴
abc
，
sinB
，
sinC
，
2R2R2R
sinAbab
1
，整理可得：
a
2
b
2c
2
ab
，
sinBsinCacbcac
a< br>2
b
2
c
2
1

∴由余弦定理可得：< br>cosC
，∴由
C

0,

，可得：
C
．
2ab2
3
故选B．
12．已知可导函数
f< br>
x

的定义域为

,0

，其导函数
f


x

满足
xf


x

2f

x

0
，则不等式
f< br>
2017x



x2017

f< br>
1

0
的解集为（ ）
2
A．

,2018


C．

2018,0


【答案】B
【解析】令
g

x




B．

2018,2017


D．

2017,0


f

x

x
2
,x0
，
g


x


2
x
2
f


x

2xf

x

x
4

xf


x

2f

x

x
3
0，
因为
f

2017x



x 2017

f

1

0
，
所以< br>
2017+x

g

2017x

< br>
2017+x

g

1

0
，
因为
g

x

在

,0

单调递减，


2017x0

2017x0


2018x2017
，故选B． 所以

g 2017xg1
2017x1




22

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） < br>
2xy0

13．已知实数
x
，
y
满 足约束条件

xy60
，则
z2x3y
的最小值是_____．

x2y30


【答案】
8

2xy0

【解析】实数
x
，
y
满足约 束条件

xy60
的可行域如图：

x2y30


目标函数
z2x3y
，点
A

2,4

，
z
在点
A
处 有最小值：
z22348
，
故答案为
8
．
14．春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额
y
（单位：万元）与当天的平均 气温
x
（单
位：℃）有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的
x
与
y
的数据列于下表：
平均气温（℃）
销售额（万元）
2

20
3

5

6

23 27 30
$$
xa
$$
的系数
b
$$

12
，
yb
根据以上数据，求得
y
与
x
之间的线性回归方程
$$
5
$$

________． 则
a
【答案】
77

5
2356202327 30
4
，
y25
，
44
【解析】由题意可得：
x
$$
yb
ˆ
x25
12

< br>4


77
．故答案为
77
． ∴
a55
5
15．已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为_____ _____．

【答案】
5

【解析】正视图、侧 视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面
DA

的面积最大为
5
．

16．在直角坐标系
xOy
中，如果相异 两点
A

a,b

，
B

a,b
都在函数
yf

x

的图象上，那么称
A
，
B
为函数
f

x

的一对关于原点成中 心对称的点（
A
，
B
与
B
，
A
为同一对） 函数



sinx
f

x



2


log
6
x
x0
x 0

的图象上有____________对关于原点成中心对称的点．
【答案】3
【解析】
yf

x

关于原点的对称图像的解析式为yf

x

，
因此
f

x< br>
关于原点对称的点的个数实际上就是
f

x

 f

x

在

0,

上解的个数．
又当
x0
时，
f

x

sin< br>
x
，考虑
ysinx
与
ylog
6
x
在

0,

上的图像的交点的个数．如下
22
图所示，它们有3个公共点，从而
f

x

有3对关于原点对称的 点．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
n< br>2
n
17．（12分）已知数列

a
n

的前
n
项和
S
n
满足
S
n
n
*
．
2

（1）求数列

a
n
< br>的通项公式；
（2）设
b
n
a
n
3
a
n
n
*
，求数列

b
n

的 前
n
项和
T
n
．
【答案】（1）
a
n< br>n
；（2）
T
n

3

n1
< br>n1




3
．
4
24


【解析】（1）当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
n
；当
n1
时，< br>a
1
S
1
1
，符合上式．
综上，
a
n
n
．
（2）
b
n
n3
n
，则
T
n
13
1
23
2
33
3
n3
n
，
3T
n13
2
23
3
33
4
n3< br>n1
，
313
n
13
∴
2T
n< br>3333n3
∴
T
n

3
< br>n1

n1




3
． < br>4

24

23nn1


n3< br>n1
，
18．（12分）某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试．已知 队员的测试分数
y
与仰卧起

0,0x30

60,3 0x40

坐个数
x
之间的关系如下：
y

；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1
80,40x50


100,x50
分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩 作为该队员的成绩，无需再进
行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分 钟内限时测试的频率分

布直方图如下：

（1）计算
a
值；
（2）以此样本的频率作为概率，求
①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于
80
的概率；
②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望．
【答案】（1）
a0.03
；（2）见解析．
【解析】（1）

a0.010.010.05

101
，∴
a0.03
．
（2）由直方图可知，“喵儿”的得分

情况如下：


p

0
0.1

60
0.3

80
0.5

100
0.1

①在本次的三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，
或者第二组得80分，或者第三组得80分，
则
P

A

0.50.10.50.10.10.50.555
；
②
P


0

0.10.10.10.001
， < br>P


60

0.30.10.30.10.1 0.30.333
，
P


100

1 0.0010.3330.5550.111
，
分布列如下：


0 60 80 100

p

0.001

0.333

0.555

0.111

数学期望
E



00.001600.333800.555 1000.11175.48
．
19．（12分）如图，正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的所有棱长都为2，D为CC
1
中点．
（1）求证：AB
1
⊥平面A
1
BD；
（2）求锐二面角A－A
1
D－B的余弦值；

【答案】（1）见解析；（2）
6
．
4
【解析】（1）取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，平面ABC⊥平 面BCC
1
B
1
，∴AO⊥平面BCC
1
B
1．
v
uuuuuuv
uuuu
v
取B
1
C
1
中点O
1
，以O为原点，
OB
，
OO
1
，
OA
的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系：

Oxyz
，如图所示，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，
A
1< br>(0，2，
3
)，A(0，0，
3
)，B
1
(1，2 ，0)，
uuuv
uuuuvuuuv
BD2,1,0
∴
AB
1
1,2,3
，

，
BA
1
1 ,2,3
．


uuuuvuuuvuuuuvuuuv
∴
AB
1
BD0
，
AB
1
BA
1
0
，
uuuuvuuuvuuuuvuuuv
∴
AB
1
BD
，
AB
1
BA
1
，∴AB
1
平面A
1
BD
．

（2）设平面A
1
AD的法向量为
n

x,y,z

．
uuuuvuuuv
AD(1,1,3)
，
AA
1
(0,2,0)
．
uuuv
uuuuv
uuuv



xy3z0


y0

nAD0
∵
nAD
，
nAA
1
，∴

uuu
，∴，， < br>uv




2y0

x3z< br>
nAA
1
0
令
z1
得
n(3, 0,1)
为平面A
1
AD的一个法向量．
uuuuv
由（1）知A B
1

平面A
1
BD，
AB
1
为平面A< br>1
BD的法向量，
uuuuv
uuuuv
nAB
1
336
∴
cosn,AB
1

．

uu uuv

4
222
nAB
1
∴锐二面角A－A
1
D－B的大小的余弦值为
6
．
4
20．（12分）已知
f

x

x
2
3
，
g
< br>x

2x1nxax
且函数
f

x
< br>与
g

x

在
x1
处的切线平行． （1）求函数
g

x

在

1,g

1


处的切线方程；
（2）当
x

0,

时，
g

x

f

x

0
恒成立，求实数
a
的取值范围．
【答案】（1）
2xy20
；（2）

,4

．
【解 析】（1）
f


x

2x
，
g

x

21nx2a

因为函数
f< br>
x

与
g

x

在
x 1
处的切线平行
所以
f


1

g< br>

1

解得
a4
，所以
g
< br>1

4
，
g


1

2
，
所以函数
g

x

在

1,g

1


处的切线方程为
2xy20
．
（2）解当
x

0,

时，由
g
x

f

x

0
恒成立得x

0,

时，
21nxaxx
2
30
即
a21nxx
3
恒成立，
x
3
设
h

x

21nxx(x0)
，
x

x
2
2x3

x3

x 1

则
h


x


，

x
2
x
2
当
x

0,1

时，
h


x

0
，
h

x

单调递减，
当
x

1,

时，
h


x

0
，
h
x

单调递增，
所以
h

x
< br>min
h

1

4
，所以
a
的 取值范围为

,4

．
5
x
2
y< br>2
21．（12分）设椭圆
2

2
1(ab0)
的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，
3
ab
AB13
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
l:ykx(k0)
与椭圆交于< br>P
，
Q
两点，
l
与直线
AB
交于点M，且点 P，M均在第四象
限．若
△BPM
的面积是
△BPQ
面积的2倍，求
k
的值．
x
2
y
2
1
【答案】（1）< br>1
；(2)

．
94
2
c
2
5
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得
2

，又由
a2
b
2
c
2
，可得
2a3b
．
9
a
由
ABa
2
b
2
13
，从而
a3
，
b2
．
x
2
y
2
所以椭圆的方程为
1
．
9 4
（2）设点P的坐标为

x
1
,y
1

，点M的坐标为

x
2
,y
2

，
由题 意，
x
2
x
1
0
，点
Q
的坐标为
x
1
,y
1

．
由
△BPM
的面积是
△BPQ
面积的2倍，可得
|PM|=2|PQ|
， 从而
x
2
x
1
2


x
1


x
1



，即
x2
5x
1
．

2x3y6
6
易知直线
AB
的方程为
2x3y6
，由方程组

，消去y，可得
x
2

．
ykx
3k2


x
2
y
2
6
1


由方程组

9
，消去
y
，可得
x
1

．
4
2
9k4

ykx

由
x
2
5x
1
，可得
9k
2
45

3k2
，两边平方，整理得
18k
2
25k80
，

81
解得
k
，或
k
．
9 2
8
当
k
时，
x
2
90
，不合 题意，舍去；
9
112
当
k
时，
x
2
12
，
x
1

，符合题意．
25
1
所以，
k
的值为

．
2
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
以平面直角坐标系的原点为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线
l
的参数方程是

3
xtm


2

m0,t为参数
，曲线
C
的极坐标方程为

2cos

．

1

yt

2
（1）求直线
l
的普 通方程和曲线
C
的直角坐标方程；
（2）若直线
l
与
x< br>轴交于点P，与曲线
C
交于点
A
，
B
，且
P APB1
，求实数
m
的值．
【答案】（1）见解析；（2）
m12
或1．

3
x tm


2
【解析】（1）直线
l
的参数方程是


m0,t为参数

，
1

yt

2
消去参数
t
可得
x3ym
．
由
2cos

，得

2
2

co s

，可得
C
的直角坐标方程：
x
2
y
2
2x
．

3
xtm


2（2）把


t为参数

，代入
x
2
y
2
2x
，

y
1
t

2
得
t
2


3m3tm
2
2m 0
．

由

0
，解得
1m3
，∴
t
1
t
2
m
2
2m
，
∵
PAPB1t
1
t
2
，∴
m
2
 2m1
，解得
m12
或1．
又满足

0
，
m0
，∴实数
m12
或1．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数
f

x

2x1x2
．
（1）解不等式
f

x

0
；
（2） 若
x
0
R
，使得
f

x
0

2m
2
4m
，求实数m的取值范围．
1
15

【答案】（1）

x|x或x3

；（2）
 m
．
3
22

【解析】


 x3,x2

1

（1）函数
f

x

2x1x2=

3x1,2x
，
2

1

x3,x

2
1
令
f
x

0
，求得
x
，或
x3
，
3
1

故不等式
f

x

0
的解集为

x|x或x3

；
3

（2）若存在
x
0
R
，使得
f

x< br>0

2m
2
4m
，即
f

x< br>0

4m2m
2
有解，
15

1
由（1）可得
f

x

的最小值为
f

31
，
22

2

515< br>故
4m2m
2
，解得
m
．
222