印尼地震-父母对我的爱

专题检测（十一） 空间几何体的三视图、表面积及体积
一、选择题
1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视
图可知选项D正确．
2．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，
则该西瓜的体积 为( )
A．100π
C.
400
π
3
B.
256
π
3
500
D.π
3
22
解析：选D 因为切面圆的半径
r
＝4，球心到切面的距离< br>d
＝3，所以球的半径
R
＝
r
＋
d
4
3
4500500
223
＝4＋3＝5，故球的体积
V
＝π
R
＝π×5＝π，即该西瓜的体积为π.
3333
3．(2019届高三·开封高 三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，
则该几何体的体积为( )
A．4π
C.
4π

3
B．2π
D．π
解析：选B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面
扇形的圆心角为
α
，由tan
α
＝
2π
该几何体的体积为×3＝2π.
3
4．《九章算 术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的
三视图如图所示，俯视图中间 的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )
A．2
C．4＋42
B．4＋22
D．4＋62
3π1π2π
2
＝3，得
α＝，故底面面积为××2＝，则
13233
解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
，其直观 图如图所示，其中
AB
＝
AA
1
＝2，
BC
＝AC
＝2，∠
C
＝90°，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积
S< br>＝(2＋
22)×2＝4＋42.
5．(2018·惠州二调)如图，某几何体的三视 图是三个全等的等腰直角三角形，且直角
边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为( )
1
A.π
2
B.
3
π
2

C．3π
4
D.π
3
解析：选B 还原几何体为如图所示的三棱锥
A
­
BCD
，将其放入棱长为
1的正方体中，如图所示，则三棱锥
A
­
BCD
外 接球的半径
R
＝
43
3
的外接球的体积
V
＝πR
＝π，故选B.
32
6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺 寸(单位：cm)，可得这个几何
体的体积是( )
4
3
A. cm
3
C．2 cm
3
3
，该几何体
2
8
3
B. cm
3
D．4 cm
3
解析：选B 由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2 cm，高为2 cm的
1
2
8
3
四棱锥，如图，故
V
＝×2×2＝(cm)．
33
7． 如图，已知△
EAB
所在的平面与矩形
ABCD
所在的平面互相垂直，
EA
＝
EB
＝3，
AD
＝2，
∠
AEB
＝60°，则多面体
E
­
ABCD
的外接球的表面积为( )
A.
16π

3
B．8π
D．64π C．16π
解析：选C 由题知△
EAB
为等边三角形，设球心为
O
，
O
在平面
ABCD
的射影为矩形
ABCD
的中心，O
在平面
ABE
上的射影为△
EAB
的重心
G
，又由平面
EAB
⊥平面
ABCD
，则△
OGA
为直
角三角形，
OG
＝1，
AG
＝3，所以
R
＝4，所以多面 体
E
­
ABCD
的外接球的表面积为4π
R
＝
16 π.
8．(2018·昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分
(看成一 个简单的组合体)的体积为( )
A．63π
C．79π
B．72π
D．99π
22
解析：选A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中 圆柱的高为5，底面圆
14
23
的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π ×3×5＋×π×3＝63π.
23
9．(2019届高三·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )
A．28
C．20＋45
B．24＋25
D．20＋25
解析：选B 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面

< br>是梯形的四棱柱．根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为2，下底长为3，
1< br>22
高为2，所以该几何体的表面积
S
＝ ×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×2＋1＝
2
24＋25，故选B. < br>10.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角
边长分别 为1和3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的
体积的最大值为( )
A.
3

6
43

3
B.
3

3
3π

3
C. D.
解析：选B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长
l
＝2，底面半径
r
＝1，
高
h
＝3.由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边 ，为半圆直径，高为半径的等腰
直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值 ，最大体积为
V
＝
113
××2×1×3＝，故选B.
323
11．(2019届高三·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm的正方体无缝粘合而
成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．50 cm
C．84 cm
2
2
B．61 cm
D．86 cm
2
2
解析：选D 根据题意可知该几何体由3个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5
cm,5 cm, 1 cm；中间长方体的长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm；最上面长方体的长、宽、
高分别为1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm的长方体的表面
积为2(5×5＋5 ×1＋5×1)＝2×35＝70(cm)；长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm的长方体
的表面积为2(3×3＋3×1＋3×1)＝2×15＝30(cm)；长、宽、高分别为1 cm，1 cm,1 cm
的长方体的表面积为2(1×1＋1×1＋1×1)＝2×3＝6(cm)．由于几何体 的叠加而减少的面
积为2×(3×3)＋2×(1×1)＝2×10＝20(cm)，所以所求表面积为 70＋30＋6－20＝
86(cm)．
12．在棱长为3的正方体
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
中，P
在线段
BD
1
上，且
的动点，则三棱锥
M
­
PBC
的体积为( )
A．1
9
C.
2
3
B.
2
D．与
M
点的位置有关 < br>2
2
2
2
2
BP
1
＝，
M
为线段
B
1
C
1
上
PD
1
2

解析：选B ∵
BP
11
D
1
C
1
＝， ∴点
P
到平面
BCC
1
B
1
的距离是
D< br>1
到平面
BCC
1
B
1
距离的，即为
PD< br>1
233
19
＝1.
M
为线段
B
1
C
1
上的点，∴
S
△
MBC
＝×3×3＝，
22
193
∴
V
M
­
PBC
＝
V
P< br>­
MBC
＝××1＝.
322
13．(2018·洛阳尖子生第一次 联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
A．2
2
C.
3
B．1
1
D.
3
解析：选C 由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中
PD
1< br>⊥平面
ABCD
，底面
ABCD
是一个对角线长为2的正方形，底面积
S
＝
2
12
×2×2＝2，高
h
＝1，则该几 何体的体积
V
＝
Sh
＝，故选C.
33
14．(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
1
A.
2
C.
3

3
B.
2

2
2
D.
3
解析：选D 由三视图 知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一
个三棱柱
AA
1< br>D
1
­
BB
1
C
1
和一个三棱锥
C
­
BC
1
D
后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥
D
­
ABC
1
D
1
，
四棱锥
D
­
ABC
1
D
1
的底面积为
S
四边形
ABC
1
D
1
＝2×2＝22，高
h
＝
1122
其体积< br>V
＝
S
四边形
ABC
1
D
1
h＝×22×＝.
3323
15．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)某几何体的 三视图如图所示，则该几何体
的体积为( )
A．1
1
C.
3
1
B.
2
1
D.
4
2
，
2
解析：选C 法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱 锥
S
­
ABCD
，
SD
⊥平面
ABCD
，
且
SD
＝1，四边形
ABCD
是平行四边形，且
AB
＝
DC
＝1，连接
BD
，由题意知
BD
⊥
DC< br>，
BD
⊥
AB
，
11
且
BD
＝1， 所以
S
四边形
ABCD
＝1，所以
V
S
­
ABCD
＝
S
四边形
ABCD
·
SD
＝.
33

1
法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以
V
＝Sh
，其中
S
指的是锥体的底面积，即
3
俯视图中四边形的面积 ，易知
S
＝1，
h
指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知
h
＝1，所
11
以
V
＝
Sh
＝.
33
1 6．(2018·福州质检)已知三棱锥
P
­
ABC
的四个顶点都在球
O
的表面上，
PA
⊥平面
ABC
，
AB
⊥
BC
，且
PA
＝8.若平面
ABC
截球
O
所得截 面的面积为9π，则球
O
的表面积为( )
A．10π
C．50π
B．25π
D．100π
解析：选D 设球
O
的半径为
R
，由平面
ABC
截球
O
所得截面的面积为9π，得△ABC
的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为
D
，因为
AB
⊥
BC
，所以点
D
为
AC
的中点，所以
DC
1
＝3.因为
PA
⊥平面
ABC
，易证
PB
⊥< br>BC
，所以
PC
为球
O
的直径．又
PA
＝8 ，所以
OD
＝
PA
＝4，
2
所以
R
＝OC
＝4＋3＝5，所以球
O
的表面积为
S
＝4π
R< br>＝100π.
二、填空题
17．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角 形，则该四棱锥的体积是
________．

解析：由四棱锥的三视图可知，该四 棱锥的直观图如图中四棱锥
P
­
ABCD
所示，底面
ABCD
为边长为1的正方形，△
PAD
是边长为1的等边三角形，作
PO
⊥
AD
于点
O
，则
O
为
AD
的中
133< br>点，所以四棱锥的体积为
V
＝×1×1×＝.
326
答案：
3

6
222
18.如图，在正三棱 柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
中，< br>D
为棱
AA
1
的中点．若
AA
1
＝4，AB
＝2，则四棱锥
B
­
ACC
1
D
的体积为 ________．
解析：取
AC
的中点
O
，连接
BO< br>(图略)，则
BO
⊥
AC
，
所以
BO
⊥平面
ACC
1
D
.
因为
AB
＝2，所以
BO
＝3.
因为
D
为棱
AA
1
的中点，
AA
1
＝4，所以
AD
＝2，
1
所以
S
梯形
ACC
1
D
＝× (2＋4)×2＝6，
2
1
所以四棱锥
B
­
ACC
1
D
的体积为×6×3＝23.
3
答案：23

19 .如图，半径为4的球
O
中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________．

解析：设圆柱的上底面半径为
r
，球的半径与上底面夹角为
α，
则
r
＝4cos
α
，圆柱的高为8sin
α
.
所以圆柱的侧面积为32πsin 2
α
.
π
当且仅当
α
＝时，sin 2
α
＝1，圆柱的侧面积最大，
4
所以圆柱的侧面积的最大值为32π.
答案：32π
20．(2018·沈阳质检)已知在正四棱锥
S
­
ABCD
中，
SA
＝63，那么当该棱锥的体积最
大时，它的高为_____ ___．
解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为
a
，高为
h
，因 为在正四棱锥
S
­
ABCD
中，
SA
1
2
2
3222
＝63，所以＋
h
＝108，即
a
＝216－2
h
，所以正四棱锥的体积
V
S
­
ABCD
＝
ah
＝72
h
－
h
，
233
2
32令
y
＝72
h
－
h
，则
y
′＝72－ 2
h
，令
y
′>0，得0<
h
<6，令
y
′<0，得
h
>6，所以当该棱锥
3
的体积最大时，它的高为6.
答案：6


a
2