名言警句摘抄-家园共育

点线面之间的关系



一．选择题（共8小题）

1．在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为棱CD的中点，则（ ）

A．A
1
E⊥DC
1
B．A
1
E⊥BD C．A
1
E⊥BC
1
D．A
1
E⊥AC

2．在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1中，下列几种说法正确的是（ ）

A．A
1
C
1
⊥AD B．D
1
C
1
⊥AB

C．AC
1
与DC成45°角 D．A
1
C
1
与B
1
C成60°角

3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）

A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α B．若a∥α，α⊥β，则a⊥β

C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（ ）

A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；

D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．

5．在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=BC=1，AA
1
=
成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

，则异面 直线AD
1
与DB
1
所
6．已知直三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC
1< br>=1，则异面直线
AB
1
与BC
1
所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

7．直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA
1
， 则异面直线BA
1
与AC
1
所成的角等于（ ）

第1页（共22页）

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两 个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）

A． B． C．



D．

二．填空题（共4小题）

9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥B C，PA=AC=BC=2，则直线PC与
AB所成角的大小是 ．

10． 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E、F分别为边CC
1
、
B
1
C
1
的中点，点G、H分别在AA
1
、D
1
A
1
上， 且满足AA
1
=3AG，D
1
H=2HA
1
，则异
面直线EF、GH所成角的余弦值为 ．


11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为
第2页（共22页）

，则侧面与底面所成的二

面角等于 °．

12．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异
面直线AD 与BF所成角的余弦值是 ．




三．解答题（共6小题）

13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA垂直于底面，
E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．

求证：（1）CD⊥PD；

（2）平面EFG∥平面PAD．


14．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED
⊥ 底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．


第3页（共22页）

15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．


16．如图，在 正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，点D是AB中点，M是 AA
1
上一点，且
AM=tAA
1
．

（1）求证：BC
1
∥平面A
1
CD；

（2）若 3AB=2AA
1
，当t为何值时，B
1
M⊥平面A
1
CD ？


17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA =30°，PA=AB=2，
点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．

（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；

（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．


18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，底面△ABC为等边三角形，AB=4 ，AA
1
=5，
点M是BB
1
中点

第4页（共22页）

（Ⅰ）求证：平面A
1< br>MC⊥平面AA
1
C
1
C

（Ⅱ）求点A到平面A
1
MC的距离．





第5页（共22页）

点线面之间的关系

参考答案与试题解析



一．选择题（共8小题）

1．在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为棱CD的中点，则（ ）

A．A
1
E⊥DC
1
B．A
1
E⊥BD C．A
1
E⊥BC
1
D．A
1
E⊥AC

【解答】解：法一：连B
1
C，由题意得BC
1
⊥B
1
C ，

∵A
1
B
1
⊥平面B
1
BCC
1
，且BC
1
⊂平面B
1
BCC
1
，

∴A
1
B
1
⊥BC
1
，

∵A< br>1
B
1
∩B
1
C=B
1
，

∴BC
1
⊥平面A
1
ECB
1
，

∵A
1
E⊂平面A
1
ECB
1
，

∴A
1
E⊥BC
1
．

故选：C．
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD
1
为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中棱长为2，

则A
1
（2，0，2），E（0，1，0），B （2，2，0），D（0，0，0），C
1
（0，2，2），
A（2，0，0），C（ 0，2，0），

=（﹣2，1，﹣2），
=（﹣2，0，2），
∵•=﹣2 ，
=（0，2，2），
=（﹣2，2，0），

=2，=0，=6，

=（﹣2，﹣2，0），

∴A
1
E⊥BC
1
．

故选：C．


第6页（共22页）

2．在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，下列几种说法正确的是（ ）

A．A
1
C
1
⊥AD B．D
1
C
1
⊥AB

C．AC
1
与DC成45°角 D．A
1
C
1
与B
1
C成60°角

【解答】解：由题意画出如下图形：

A．因为AD∥A
1
D
1
，

所以∠C
1
A
1
D
1
即为异面直线A
1
C
1
与AD所成的角，而∠C
1
A
1
D
1
=45°，所以A错；

B．因为D
1
C
1
∥CD，利平行公理4可以知道：AB ∥CD∥C
1
D
1
，所以B错；

C．因为DC∥AB．所 以∠C
1
AB即为这两异面直线所成的角，而
，所以C错；

D．因 为A
1
C
1
∥AC，所以∠B
1
CA即为异面直线A
1
C
1
与B
1
C所成的角，在正三角
形△B
1< br>CA中，∠B
1
CA=60°，所以D正确．

故选：D．




3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）

A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α B．若a∥α，α⊥β，则a⊥β

C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

【解答】解：A中，b可能在α内；

B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交（不垂直）；

C中，a可能在α内；

D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β．

故选：D．



4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（ ）

第7页（共22页）

A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；

D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．

【解答】解：在A中，若l与m为异面直线，l ⊂α，m⊂β，则α与β相交或平
行，故A错误；

在B中，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l与m平行或异面，故B错误；

在C中，若 α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则由线面平行的性质定理得m∥n，
故C正确；

在D中，若α⊥β，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．

故选：C．



5．在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=BC=1，AA
1
=
成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

，则异面直 线AD
1
与DB
1
所
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为 y轴，DD
1
为z轴，建立空间直角
坐标系，

∵在长方体ABCD ﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=BC=1 ，

AA
1
=，

），D（0，0，0），
∴A（1，0，0），D
1
（0，0，
B
1
（1，1，），
），=（﹣1，0，=（1，1，），

设异面直线AD
1
与DB
1
所成角为θ，

则cosθ===，

．

∴异面直线AD
1
与D B
1
所成角的余弦值为
故选：C．

第8页（共22页）

6．已知直三棱柱ABC﹣A
1< br>B
1
C
1
中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC
1
=1，则异面直线
AB
1
与BC
1
所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N 、P分别为AB，BB
1
和B
1
C
1
的中点，

则AB
1
、BC
1
夹角为MN和NP夹角或其补角

（因异面直线所成角为（0，
可知MN=AB
1
=
NP=BC
1< br>=；

，

]），

作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；

∵PQ=1，MQ=AC，

△ABC中，由余弦定理得

AC
2
=AB
2
+B C
2
﹣2AB•BC•cos∠ABC

=4+1﹣2×2×1×（﹣）

=7，

∴AC=
∴MQ=
，

；

=；

第9页（共22页）

在△MQP中，MP=

在△PMN中，由余弦定理得

cos∠MNP==
]，

．

=﹣；

又异面直线所成角的范围是（0，
∴AB1
与BC
1
所成角的余弦值为
【解法二】如图所示，


补成四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，求∠BC
1
D即可；

BC
1
=
C1
D=
∴
，BD=
，

+BD
2
=，

=，

∴∠DBC
1
=90°，

∴cos∠BC
1
D=
故选：C．

=．




第10页（共22页）

7．直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，若∠BAC=9 0°，AB=AC=AA
1
，则异面直线BA
1
与AC
1
所 成的角等于（ ）


A．30° B．45° C．60° D．90°

【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA
1
C
1
为平 行四边形，

∠DA
1
B就是异面直线BA
1
与AC
1
所成的角，

又A
1
D=A
1
B=DB=AB，

则三角形A
1
DB为等边三角形，∴∠DA
1
B=60°

故选：C．



8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体 的两个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）

A． B． C．
D．

【解答】解：对于选项B，由于AB ∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足
题意；

对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；

对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；

所以选项A满足题意，

第11页（共22页）

故选：A．



二．填空题（共4小题）

9． 在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与
AB所 成角的大小是 60° ．

【解答】解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，

∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线

∴EF∥AB，FG∥PC，

因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．

连接AG，则Rt △ACG中，AG=
EG=
又∵AB=PC=2
=，

，∴EF=FG=．

=﹣

=，

由此可得，在 △EFG中，cos∠EFG=
结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．

综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．

故答案为：60°．




10．如图所示，在棱长为2 的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，点E、F分别为边CC
1
、
B
1
C
1
的中点，点 G、H分别在AA
1
、D
1
A
1
上，且满足AA
1
=3AG，D
1
H=2HA
1
，则异
面直线EF、GH所成 角的余弦值为 ．

第12页（共22页）

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD
1
为z轴，建立空间直角< br>坐标系，

由题意E（0，2，1），F（1，2，2），G（2，0，），H（，0，2），

=（1，0，1），=（﹣，0，），

设异面直线EF、GH所成角的为θ，

则cosθ===．

∴异面直线EF、GH所成角的余弦值为
故答案为：．

．




11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为
面角等于 60 °．

【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为
底面积为12，

第13页（共22页）

，则侧面与底面所成的二
，底面边长为2，

所以正四棱锥的高为3，

则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=
∴二面角等于60°，

故答案为60°

，




12．如图 ，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异
面直线AD与BF所成角 的余弦值是 ．


【解答】解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形 ABCD所在平面与正方
形ABEF的二面角即∠CBE=60°，

同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，

即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；

即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=
利用余弦定理，得．

．

，FB=，

故异面直线AD与BF所成角的余弦值是


三．解答题（共6小题）

13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底 面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，
E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．

第14页（共22页）

求证：（1）CD⊥PD；

（2）平面EFG∥平面PAD．


【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，

又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，

∴CD⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．

（2）∵矩形ABCD中，E、G分别是AB、CD中点，∴EG∥AD，

∵EG⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EG∥平面PAD，

∵F是PC中点，∴FG∥PD，

∵FG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，

∴FG∥平面PAD，

∵EG∩FG=G，EG、FG⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面PAD．




14．如图，三角形 ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED
⊥底面ABC，若G、F分别是 EC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．

第15页（共22页）

【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）


∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）

又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，

∴平面HGF∥平面ABC

∴GF∥平面ABC（5分）

证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN

（如图）


第16页（共22页）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴（2分）

又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD

∴GM∥NF且GM=NF

∴MNFG为平行四边形

∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，

∴GF∥平面ABC（5分）

证法三：连接AE，

∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）

∴GF∥AC，

又AC⊂平面ABC，

∴GF∥平面ABC（5分）

（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）

又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）

∴BE⊥AC

又∵CA
2
+CB
2
=AB
2

∴AC⊥BC，

∵BC∩BE=B，

∴AC⊥平面BCE（9分）

（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）

又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴
∵C﹣ABED是四棱锥，

∴V
C
﹣
ABED
=


15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

第17页（共22页）

，（12分）

=（14分）

（1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．


【解答】证明：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=0，

连接NO，MO，则NO∥PA．

∵PA⊥平面ABCD，

∴NO⊥平面ABCD，

∴NO⊥AB，

∵MO⊥AB，

∴AB⊥面MNO

∴MN⊥AB，而CD∥AB，

∴MN⊥CD…（6分）

（2）∵∠PDA=45°

∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，

得PM=CM，

又∵N为PC的中点，

∴MN⊥PC

又MN⊥CD，PC∩CD=C

∴MN⊥平面PCD …（12分）




第18页（共22页）

16．如图，在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，点D 是AB中点，M是AA
1
上一点，且
AM=tAA
1
．

（1）求证：BC
1
∥平面A
1
CD；

（2）若 3AB=2AA
1
，当t为何值时，B
1
M⊥平面A
1
CD ？


【解答】解：（1）如图1，取A
1
B
1
的 中点E，连接BE，C
1
E．

在正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，点D是AB中点，可得CD∥C
1
E

又因为DB∥EA
1
，DB=EA
1
⇒BE∥DA
1
．

且CD∩DA
1
=D，BE∩C
1
E=E，面EBC
1
∥平面A
1
CD；

∵BC
1
⊂面EB C
1
，BC
1
⊄平面A
1
CD，∴BC
1
∥平面A
1
CD


（2）由在正三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
中，点D是AB中点，可得CD⊥面AA
1
B
1
B．

⇒CD⊥B
1
M，

∴要使B< br>1
M⊥平面A
1
CD，只需DA
1
⊥MB即可，如下图，
当DA
1
⊥MB时，△ADA
1
∽△A
1
M B
1
，

⇒，又∵3AB=2AA
1
，DAB为中点

∴
∴

⇒

即当t=时，B
1
M⊥平面A
1
CD．

第19页（共22页）

17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，< br>点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．

（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；

（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．


【解答】（本小题满分10分）

证明：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA．

因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，

所以OE∥平面PAC．因为OM∥AC，

又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，

所以OM∥平面PAC．

因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM=O，

所以平面MOE∥平面PAC．…（5分）

（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，

所以∠ACB=90°，即BC⊥AC．

因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC．

因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC=A，

第20页（共22页）

所以BC⊥平面PAC．

因为BC⊂平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC．…（10分）




18 ．如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，底面△AB C为等边三角形，AB=4，AA
1
=5，
点M是BB
1
中点

（Ⅰ）求证：平面A
1
MC⊥平面AA
1
C
1
C

（Ⅱ）求点A到平面A
1
MC的距离．


【 解答】（Ⅰ）证明：记AC
1
与A
1
C的交点为E．连结ME．

如图

∵直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
，点M是BB
1
中点，

∴MA
1
=MA=MC
1
=MC=．

因为点E是AC
1
，A
1
C的中点，

所以ME⊥AC
1
且ME⊥A
1
C，…（4分）

第21页（共22页）

从而ME⊥平面AA
1
C
1
C．

因为ME⊂平面 A
1
MC，所以平面A
1
MC⊥平面AA
1
C
1< br>C．…（6分）

（Ⅱ）解：过点A作AH⊥A
1
C于点H，

如图，


由（Ⅰ）知平面A
1
MC⊥平面AA
1
C
1
C，平面A
1
MC∩平面AA
1
C
1
C=A
1
C，

而AH⊥平面AA
1
C
1
C

∴AH即为点A到平面A
1
MC的距离．…（9分）

在△A
1
AC中，∠A
1
AC=90°，

A
1
A=5，AC=4∴
∴AH=


即点A到平面A
1
MC的距离为



． …（12分）

第22页（共22页）