呼市二中-辞职书范本

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试
高三数学（Ⅰ）试题 2019.12
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1~14题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，
考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请您务必将自己 的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷
及答题卡的规定位置.
3．作答 试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位
置作答一律无效.
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
5.请保持答题卡卡 面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠
一、填空题：本大题共14小题， 每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
1. 设全 集
U{x|x5,xN*}
，集合
A{1
，
3}
，
B{3
，
4}
，则
C
U
(AB)
__ ___.
答案：
{2}
，
分析：由全集
U{x|x5,x N*}
，可得
U{1
，2，3，
4}
，然后根据集合混合运算的 法
则即可求解．
解：

A{1
，
3}
，
B{3
，
4}
，
AB{1
，3，
4}
，
U{x|x5,xN*}{1
，2，3，
4}
，
C
U
(AB){2}

2. 已知
i
是虚数 单位，若复数
z(12i)(ai)
的实部与虚部相等，则实数
a
的值 为 ．
答案：
3

分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得
a
值．
解：
z(12i)(ai)(a2)(2a1)i
，
且
z
的实部与虚部相等，
a22a1
，即
a3
．
故答案为：
3
．
3. 函数
f(x)xlog
2
(1x)
的定义域为_____.
答案：
[0,1)

分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解.
1

解：由题意得


x0
，解得
0x1

1x0

故函数
f(x)
的定义域为[0,1)

4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ．
答案：
2

3
分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．
解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），
（乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），
（乙丁），共4种，
故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为
4

2
，
63
故答案为：
2

3
5. 对一批产品的质量（单位：克 ）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直
方图如图所示．根据标准，单件产品质量在 区间
[25
，
30)
内为一等品，在区间
[20
，
25)
和
[30
，
35)
内为二等品，其余为次品．则样本中次品件 数为 ．

答案：200
分析：结合频数分布直方图确定落在
[10
，15，
)
、
[15
，
20)
、
[35< br>，
40]
的人数由容量

组距求出．
解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．
根据标准，单件产品质量在区 间
[25
，
30)
内为一等品，在区间
[20
，
2 5)
和
[30
，
35)
内为二
等品，
其余为次品 ．其件数为：
800(0.01250.02500.0125)5200

故答案为：200
2

频率

组距

6. 如图是一个算法流程图，则输出的
b
的值为 ．
答案：8

分析：根据程序框图进行模拟运算即可．
解：
a1
，
b1，
a10
否，
a2
，
b1
，
a10
否，
a123
，
b211
，
a10
否，
a314
，
b312
，
a10
否，
a426
，
b422
，
a10
否，
a628
，
b624
，
a10
否，
a8412
，
b1248
，
a10
是，输出
b8
，
故答案为：8
x
2
y
2
1
的右焦点，则
p
____． 7.若抛物线y2px
(p0)
的焦点恰好是双曲线

54
2
分 析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得
p
．
x
2< br>y
2
1
的右焦点是
(3
，
0)
， 解：双 曲线

54

抛物线
y
2
2px
的焦点 为
(3
，
0)
，

p
3
，
p 6

2
故答案为：6
8. 已知函数
f(x)3sin(2x 

)cos(2x

)(0



)
是定义在
R
上的奇函数，则
f(

)
8的值为 ．
3

答案：
2

分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可．
解：
f (x)3sin(2x

)cos(2x

)2sin(2x< br>


)
，
6
f(x)
是奇函数，




6
k

，
即

k



，
kZ
， < br>6
0



，
k0
时，
< br>

，
6
即
f(x)2sin2x
，

2
2
， 则
f()2sin()2
842
故答案为：
2
．
2
a
n
9. 已知数列
{a
n
}
与
{}
均为等差数列
(nN*)
，且
a
1
2
， 则
a
10

．
n
答案：20
2
a
n
分析：设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
．又数列
{}
均为等差数列
(nN*)
，且
a
1
2
，可得
n
(2d)
2
2
2
(22d)2
2
，解得
d
，即可得出．
213
解：设等差 数列
{a
n
}
的公差为
d
．
2
a
n
又数列
{}
均为等差数列
(nN*)
，且
a
1
2
，
n
(2d)
2
2
2
(22 d)
2
2
，
213
解得
d2
．
则
a
10
29220
．
故答案为：20．
10. 如图，在
ABC
中，
AB4
，
AC2
，
BAC60
，已知点
E
，
F
分别是边
A B
，
AC
的中点，点
D
在边
BC
上，若
D EDF
13
，则线段
BD
的长为 ．
4

4

答案：
3

2
分析：先由平面向量数量积的运算可得：
ABAC4
，
再由余弦定理可得：
BC23
，

1)
，结合平面向量的线性运算可得： 然后设
BD

BC(0剟
DEDF(BEBD)(DCCF)12

2
18
7
13
，解得：


1
，即可得解．
4
4
解：因为在
ABC
中，
AB4
，
AC2
，
BAC60
，
所以
ABAC4
，
又在
ABC
中，由余弦定理可得：
BC
2
AB
2
AC
2
2ABACcosCAB
，
又
AB4
，
AC2
，
BAC60
，
得
BC23
，

1)
， 设
BD

BC(0剟
则
DEDF(BEBD)(DCCF)

(< br>11
AB

BC)[(1

)BCAC)
< br>22
11
[(

)AB

AC][(

)AC(1

)AB]

22
22
111
(

)(

1)AB

(
< br>)AC(2

2
2

)ABAC

224
12

2
18

7


13
，
4
4
解得：


1
，
即
BD
1
BC
，
4
即线段
BD
的长为
故答案为：
3
，
2
3
．
2
11. 已知点
A(3,0)
，B(1,2)
，若圆
(x2)
2
y
2
r2
(r0)
上恰有两点
M
，
N
，使得
MA B
和
NAB
的面积均为4，则
r
的取值范围是 ．
5

答案：
(
292
)
，
2
2
分析：求得
|AB|
的值，得出两点
M
，
N
到 直线
AB
的距离相等，写出
AB
的直线方程，
根据圆上的点到直线
AB
的距离求出
r
的取值范围．
解： 由题意可得
|AB|(13)
2
(20)
2
22，
根据
MAB
和
NAB
的面积均为4，
可得两 点
M
，
N
到直线
AB
的距离为
22
；
由于
AB
的方程为
y0

x3
，
2013
即
xy30
；
若圆上只有一个点到直线
AB
的距离为
22
，
则有圆心< br>(2,0)
到直线
AB
的距离为
|203|
2
 r22
，解得
r
2
；
2
若圆上只有3个点到直线
AB
的距离为
22
，
则有圆心
(2,0)
到直线
AB
的距离为
|203|
2
r22
，解得
r
92
；
2
综上，
r
的取值范围是
(
故答案为：
(
292
)
． ，
2
2
292
)
． ，
2
2
12. 已知 函数
f(x)2x
2
3xlnxe
xa
4e
a x
，其中
e
为自然对数的底数，若存在实数
x
0
使
f(x
0
)3
成立，则实数
a
的值为 ．
答案：
1ln2

分析：令
g(x)2x
2
 3xlnx3
，
h(x)e
xa
4e
ax
， 求出
g(x)
与
h(x)
的值域即可判断
x
0
的值 ，从而得出
a
的值．
解：令
f(x)3
可得：
2x2
3xlnx3e
xa
4e
ax
，
令
g(x)2x
2
3xlnx3
，
h(x)e
xa
4e
ax
，
14x
2
3x1
则
g(x)4x3
， xx
令
g(x)0
可得
4x
2
3x10，即
x1
或
x
1
（舍
)
，
4

当
0x1
时，
g(x)0
，当
x1< br>时，
g(x)0
，
6

g(x)< br>在
(0,1)
上单调递减，在
(1,)
上单调递增，
g(x)…g
（1）
4
，
h(x)e
xa< br>4e
ax
(e
xa
4e
ax
)„2 e
xa
4e
ax
4

（当且仅当
e
xa
4e
ax
即
xaln2
时取等号），
f (x
0
)3
，即
g(x
0
)h(x
0
)
，
x
0
1aln2
，
a1ln2
．
故答案为：
1ln2
．

2elnx,x0
13.已知函数
f(x)

3
，若函数g(x)f(x)ax
2
有三个不同的零点，则实数
a
的

xx,x0
取值范围是_____.
答案：
(0,1){2}

322
解：当
x0
时，由
g(x)0
得，
xaxx0
，∴
x0
或< br>xax10
①
∴当
a2
时，在
(,0]上有三个根，当
a2
时，在
(,0]
上有两个根，当
a 2
时，
在
(,0]
上有一根
当
x0
时 ，由
g(x)0
得
2elnxax0
，则
a
22elnx
②，
2
x
设
h(x)
2elnx2e( 12lnx)
h'(x)
（），
x0
x
2
x
3
∴当
x(0,
当
x(
e)
时,
h'(x)0
，函数单调递增，
e,)
时,
h'(x)0
，函数单调递减
e)1
时，方程②有两个根；当
a1
或
a0
时，方程②有可结合图像可知，
0ah(
一个根 ；当
a1
时，方程②没有实根，
综上：当
0a1
或
a2
时，
g(x)
有三个零点.
14. 在锐角三角形
ABC
，
AD
是边
BC
上的中线，且
ADAB
，则1
小值为 ．
7

11
的最

tanA tanBtanC


答案：
13

2
3分析：不妨设
BDDC1
，
BC
边上的高为
h
，则
tanB2h
，
tanC
2
h
，再根据正切值
求出
tanA
，然后用基本不等式可求得．
解：不妨设
BDDC1，
BC
边上的高为
h
，则
tanB2h
，
t anC
2
h
，
3
从而
tanAtan(BC)
tanBtanC2

，
tanBtanC1
1
3
4h
所以
111h13h1313
，
…2
t anAtanBtanC28h28h2
28h
（当且仅当
h

13
，即
h
故答案为：
13
时，取等）
2
13
．
2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分 ．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
．．．．．．．
字说明、证明过程或演算步骤
15. （本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，以x
轴正半轴为始边的锐角

的终边与单位圆
O
交于点
A
，
且点
A
的纵坐标是
10
．
10
（1） 求
cos(


3

)
的值；
4
（2）若以
x
轴正半轴为始边的钝角

的终边与单位圆
O
交于点
B
，且点
B
的横坐标为

求

< br>
的值．
5
，
5
8

分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．
（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．
解：因为锐角

的 终边与单位圆
O
交于点
A
，且点
A
的纵坐标是
所以 由任意角的三角函数的定义可知
sin



从而
cos


1sin2


10
，
10
10
．
10
310
．
10
（1）
cos(


3

)cos


cos

3

sin


sin

3

，
44
4

31021025
()
．
1021025
（2）因为钝角

的终边与单位圆
O
交于点
B
，且点
B
的横坐标是

所以
cos



5
，
5
525
，从而
sin


1cos2


．
5
5
1053 10252
()
于是
sin(



) sin


cos


cos


sin



．
1051052
因为

为锐角，

为钝角，所以



(< br>
，
3

)
，
2
2
从而




3

．
4
16. （本小题满分14分）
如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，点
D
在棱
BC
上，
ADC
1
D
，点
E
，
F
分别是
BB
1
，< br>A
1
B
1
的中点．
（1）求证：
D
为
BC
的中点；
（2）求证：
EF
平面
ADC
1
．
9

分析：（1）推导出
CC
1
ABC
，< br>ADCC
1
，从而
AD
平面
BCC
1
B
1
，进而
ADBC
，由
此能证明
D
为
B C
的中点．
（2）连结
AC
1
，
A
1
C
，交于点
O
，连结
DO
，
A
1
B
，推导出
ODA
1
B
，
EFA
1
B
，从而
EFOD
，由此能证明
EF
平面
ADC
1
． 证明：（1）在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，点
D
在棱
BC
上，
ADC
1
D
，
CC
1
ABC
，
ADCC
1
，
C
1
DCC
1
C
1
，
AD
平面BCC
1
B
1
，
ADBC
，
D
为
BC
的中点．
（2）连结
AC
1
，
A
1
C
，交于点
O
，连 结
DO
，
A
1
B
，
正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
ACC
1
A1
是矩形，
O
是
A
1
C
的中点，
ODA
1
B
，
点
E
，
F
分别 是
BB
1
，
A
1
B
1
的中点，
 EFA
1
B
，
EFOD
，
EF

平面
ADC
1
，
DO
平面
ADC
1
．
EF
平面
ADC
1
．
17. （本小题满分14分）
某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图
1)
．每座帐篷的体积为
54

m
3
，且分
1)
（单位：
m)
的 半球体，下层是半径为
rm
，高为
hm
的上下两层，其中上层是半径为
r(r…
圆柱体（如图
2)
．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元， 下方圆柱体的侧面、
隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y
千元．
（1）求
y
关于
r
的函数解析式，并指出该函数的定义域；
10

（2）当半径
r
为何值时，所有帐篷的总建 造费用最小，并求出最小值.

分析:（1）由图可知帐篷体积

半球体积

圆柱体积，即
2

r
3


r
2
h54

，表示出
h
，
3
2
则
y(2

r
2
22

r
2
32

rh3)10
，化简得
y60

(r< br>2

54
)
；再由
54
r0
，则
2
rr3
1„r3
3
3
，所以定义域为
{r|1„r 3
3
3}
，
（2）
f(r)r
2

5 4
，
1„r3
3
3
，根据导函数求出其最小值即可．
r
2
解：（1）由题意可得
2

r
3

< br>r
2
h54

，所以
h
54
r
，
2
3r3
2
所以
y(2

r
2< br>22

r
2
32

rh3)1010 0

r
2
60

r(
54
即
y 60

(r
2

54
)
；
r)< br>，
2
r3r
3
2
3
{r|1„r33}
，
1
，
h0
，所以
54
因为
r…
，则，所 以定义域为
1„r33
r0
2
r3
（2）设
f(r) r
2

54
，
1„r3
3
3
，则f(r)2r
54
，令
f(r)0
，解得
r3，
2
rr
当
r[1
，
3)
时，
f (r)0
，
f(r)
单调递减；
3
当
r(3
，
33)
时，
f(r)0
，
f(r)
单调递增， < br>所以当
r3
时，
f(r)
取极小值也是最小值，且
f(r)
min
1620

．
答：当半径
r
为
3m
时，建造费用最小，最小为
1620

千元．
18．（本小题满分16分）
x
2
y
2
如图，已知椭圆< br>C:
2

2
1(ab0)
的左、右焦点分别为
F
1
，若椭圆
C
经过点
(0,3)
，
F
2
，
ab
离心率为
1
，直线
l
过点
F
2
与椭圆
C
交于
A
，
B
两点．
2
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）若点
N
为△< br>F
1
AF
2
的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△
F
1
NF
2
与△
F
1
AF
2
面积< br>11

的比值；
（3）设点
A
，
F
2
，
B
在直线
x4
上的射影依次为点
D
，
G
，
E
．连结
AE
，
BD
，试问：< br>当直线
l
的倾斜角变化时，直线
AE
与
BD
是否相交 于定点
T
？若是，请求出定点
T
的坐
标；若不是，请说明理由．

分析：（1）由题意知
b3
．
c

1
，可得
a2
b3

，解得
a
即可得出椭圆
C
的方程．
a2
（2）由点
N
为△
F
1
AF2
的内心，可得点
N
为△
F
1
AF
2
的内切圆的圆心，设该圆的半径为
r
，
S
S
1
|F
1
F
2
|r
2
可得
F
1
NF
2< br>F
1
AF
2

1
(|AF
1
|| AF
2
||F
1
F
2
|)r
2
． （3）若直线
l
的斜率不存在时，四边形
ABED
是矩形，此时
AE
与
BD
交于
F
2
G
的中点
5
5
(,0)
．下面证明：当直线
l
的倾斜角变化时，直线
AE
与
BD
相交于定点
T(,0)
．
2
2
设直线< br>l
的方程为
yk(x1)
，与椭圆方程联立化简得
(34k2
)x
2
8k
2
x4k
2
120．设
A(x
1
，
y
1
)
，
B(x2
，
y
2
)
，由题意，得
D(4,y
1
)
，
E(4,y
2
)
，则直线
AE
的方程为yy
2

y
2
y
1
yy
15
(x4)
．令
x
5
，此时
yy
2
2
(4)
，把根与系数关系代入可得
4x
1
4 x
1
2
2
22
y0
，因此点
T(
5,0)
在直线
AE
上．同理可证，点
T(
5
,0)在直线
BD
上．即可得出结
论．
解：（1）由题意知
b3< br>．因为
c

1
，所以
a2
b3

， 解得
a2
，
a2
x
2
y
2
1
． 所以椭圆
C
的方程为：

43
（2）因为点
N
为△
F
1AF
2
的内心，
所以点
N
为△
F
1
AF
2
的内切圆的圆心，设该圆的半径为
r
，
12
< /p>

则
S
S
F
1
NF
2
F
1
AF
2

1
(|AF
1
||AF
2
||F
1
F
2
|)r
2
1
|F
1
F
2
|r
2

2cc1

．
2a2cac3
（3）若直线
l
的斜率不存在时，四边形
ABED是矩形，
此时
AE
与
BD
交于
F
2
G
的中点
(
5
,0)
．
2
下面证明：当直线l
的倾斜角变化时，直线
AE
与
BD
相交于定点
T(< br>5
,0)
．
2
设直线
l
的方程为
yk(x1)
，
yk(x1)

联立

x
2
y
2
化简得
(34k
2
)x
2
8k
2
x4k2
120
．
1


3

4< br>因为直线
l
经过椭圆
C
内的点
(1,0)
，所以△< br>0
．
8k
2
4k
2
12
设
A (x
1
，
y
1
)
，
B(x
2
，< br>y
2
)
，则
x
1
x
2

，
x
1
x
2

．
34k
2
3 4k
2
yy
由题意，得
D(4,y
1
)
，E(4,y
2
)
，则直线
AE
的方程为
yy
2

21
(x4)
．
4x
1
yy
1
5
2(x
1
4)y
2
3(y
2
y
1
)
(4)
令
x
5
，此时
yy< br>2

2

4x22(x4)
2
11
2( x
1
4)k(x
2
1)3k(x
2
x
1< br>)8k2kx
1
x
2
5k(x
1
x
2
)


2(x
1
4)2(x
1
4)
4k
2
128k
2
8k2k5k
2
34k 34k
2


2(x
1
4)
24k32k< br>3
8k
3
24k40k
3
0
，
2(x
1
4)(34k
2
)
所以点
T(
5,0)
在直线
AE
上．
2
同理可证，点
T(
5
,0)
在直线
BD
上．
2
所以当直线
l
的倾斜角变化时，直线
AE
与
BD
相交于定点
T(
5,0)
．
2
19. （本小题满分16分）
设数列
{an
}
，
{b
n
}
分别是各项为实数的无穷等差数列和无 穷等比数列．
（1）已知
b
1
1
，
b
2
b
3
b
2
60
，求数列
{b
n
}
的前
n
项的和
S
n
；
（2）已知
a2
2
，
a
4
+a
7
+a
10
21
，且数列
{a
n
+b
n
}
的前三项成等比 数列，若数列
{b
n
}
唯
一，求
b
1
的值 .
13

（3）已知数列
{a
n
}的公差为
d(d0)
，且
a
11
b
2
a1 )2
2
ba
n
b
n
(n
；
{ b
n
}
的通项公式（用含
n
，
d
的式子表达）（1）解：设
{b
n
}
的公比为
q
，
则有< br>q
3
q60
，即
(q2)(q
2
2q3 )0
；
解得
q2
；
n1
求数列
{a< br>n
}
，
2
，
1(2)
n

S
n

；
3
（2）∵
{a
n
}
为 等差数列，又∵
a
2
2
，
a
4
+a
7< br>+a
10
21

∴
3a
7
21
，
a
7
7
，则公差
d1
，则
a
nn

数列
{a
n
+b
n
}
的前三项 成等比数列，即
1+b
1
，
2+b
2
，
3+b3
成等比，
(2+b
2
)
2
(1+b
1< br>)(3+b
3
)
，整理得
1+b
1
=b
3< br>
设数列
{b
n
}
的公比为
q
，显然
b
1
0

则
1+b
1
=b
1
q
，
b
1
q
22
b
1
10

∵数列
{b
n
}
唯一确定，
∴
04b
1
(1b
1
)0

解 得：
b
1
1
或
b
1
0
（舍）
即
b
1
1

（3）解：
a
1
b
1
a
2
b
2
a
n
b
n
(n1)2
n1
2
①
a
1
b
1
a
2
b
2
a
n1
b
n1< br>(n2)2
n
2
②

①

②，得
a
n
b
n
n2
n
(n…2)
；
a
1
b
1
2
；

a
n
b
n
n2
n
(nN
*
)
③
< br>a
n1
b
n1
(n1)2
n1
(n…2) 
④
令③

④，得
a
n
2n
q(n< br>…
2)
⑤；其中
q
是数列
{
b
n
}
的公比；
a
n1
n1

a
n1
2(n1)
q(n
…
3)
⑥
a
n2
n2
14

令⑤
< br>⑥，得
a
n
a
n2
n(n2)
(n
…
3)
；
22
a
n
(n1)
1
a
3
a
1
3
(a2d)a
1
3
< br>，即
1

；
a
2
4(a
1
d)
2
4
解得
a
1
d
或
a
1
3d
；
若
a
1
3d
，则
a
4
0
，有
42
4
a
4
b
4
 0
，矛盾；
2
n
；
a
1
d
满足条 件，此时
a
n
dn
；
b
n

d
20. （本小题满分16分）
设
a
为实数，已知函数
f(x)axe< br>x
(aR)
．
（1）当
a0
时，求函数
f(x)
的单调区间；
1及任意的
x0
恒成立，求
b
的取（2）设
b
为实数， 若不等式
f(x)…2x
2
bx
对任意的
a…
值范围；
（3）若函数
g(x)f(x)xlnx
(x0)
有两个相异的零点 ，求
a
的取值范围．
分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，
（2）分离参数，可得
e
x
2x…b
对任意的
x0
恒 成立，构造函数

(x)e
x
2x
，利用导数
求出函数 的最值即可求出
b
的范围，
（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及 最值得关系即可求出
a
的范围．
解：（1）当
a0
时，因为f(x)a(x1)e
x
，当
x1
时，
f(x) 0
；
当
x1
时，
f(x)0
．所以函数
f(x)
单调减区间为
(,1)
，单调增区间为
(1,)
．
x
（2）由
f(x)…
2x
2
bx
，由于
x0
，
2x
2
bx
，得
axe…
1
及任意的
x0
恒成立． 所以
ae
x
…2xb
对任意的
a…
由于
e
x
0
，所以
ae
x
…e
x
，所以
e
x
2x…b
对任意的
x 0
恒成立．
设

(x)e
x
2x
，
x0
，则

(x)e
x
2
，
所以函数

(x)
在
(0
，
ln

2)
上单调递减，在
(ln
2，
)
上单调递增， < br>所以

(x)
min


(ln
2)2 2ln
2，
所以
b„22ln
2．
x
1(x1)( axe1)
（3）由
g(x)axe
x
xlnx
，得
g(x)a(x1)e1
，其中
x0
．
xx
x< br>0
时，则
g(x)0
，所以函数
g(x)
在
(0 ,)
上单调递增，所以函数
g(x)
至多有一个零①若
a…
15

点，不合题意；
②若
a0
时，令
g (x)0
，得
xe
x

1
0
．
a
xx2
由第（2）小题知，当
x0
时，

(x)ex
2x…22ln

20
，所以
e2x
，所以
xe2x
，
所以当
x0
时，函数
xe
x
的值域为
(0,)
．
所以存在
x
0
0
， 使得
ax
0
ex
0
10
，即
ax
0< br>ex
0
1
①，
且当
xx
0
时，< br>g(x)0
，所以函数
g(x)
在
(0,x
0
)
上单调递增，在
(x
0
，
)
上单调递减．
因为函数有两个零点
x
1
，
x
2
，
所以
g(x)
max
g(x
0
)ax
0
ex
0
x
0
lnx
0
1x
0
lnx0
0
②．
设

(x)1xlnx
，x0
，则

(x)1
1
0
，所以函数

(x)
在
(0,)
上单调递增．
x
由于

(1)
0
，所以当
x1
时，

(x)0< br>，所以②式中的
x
0
1
．
又由①式，得
x
0
ex
0

1
． a
由第（1）小题可知，当
a0
时，函数
f(x)
在
(0,)
上单调递减，所以

1
e
，
a
即
a(
1
，
0)
．
e
(i)
由于
g()
1
e
ae1
1< br>(1)0
，所以
g()g(x
0
)0
．
e e
e
1
e
因为
1
1x
0
，且函数g(x)
在
(0,x
0
)
上单调递减，函数
g(x)< br>的图象在
(0,x
0
)
上不间断，
e
所以函数g(x)
在
(0,x
0
)
上恰有一个零点；
(ii)
由于
g(
1
)e
1

1
ln(
1
)
，令
t
1
e
，
aaaaa
设
F(t)e
t
tln
t
，< br>te
，
由于
te
时，
ln
tt
，< br>e
t
2t
，所以设
F(t)0
，即
g(
1
)0
．
a
由①式，得当
x
0
1
时，

1
x
0
ex
0
x
0
， 且
g(
1
)g(x
0
)0
，
aa
同 理可得函数
g(x)
在
(x
0
，
)
上也恰有一 个零点．
综上，
a(
1
，
0)
．
e




16

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试
高三数学（Ⅱ）试题 2019.12
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页包含填空题（第1~1 4题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，
考试时间为120分钟.考试结束后，请将 本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签 字笔填写在试卷
及答题卡的规定位置.
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在 答题卡上的指定位置作答，在其他位
置作答一律无效.
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠
< br>21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出
17

文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵
A


1a
2

，
A
的一个特征值

2
， 其对应的一个特征向量是

1





1b

1

（1）求矩阵
A
；
（2）设直 线
l
在矩阵
A
1
对应的变换作用下得到了直线
m:xy 4
，求直线
l
的方程．
分析：（1）由
A

1


1



1
即可求出
a
，
b
；
1b

（2）设直线
m:x y4
上的任意一点
(x,y)
在矩阵
A
对应的变换作用下得到点< br>(x,y)
，根
2xy

x,

2
x

x2y

x


1

3
据



进而得到
l
的方 程；．

y



x4y

，可 得


xy
y14


y .

6


1a

2

解： （1）

1a

2

2a

2< br>
4

，
A

1




2
1

1

2b
1



2

，
1b
 
2a4,

a2,


解得
 
2b2,b4,

2

1

； < br>14

故
A

（2）

2

3
2

1
1
，
A

A 

1

14




61



3
，

1

6< br>

设直线
m:xy4
上的任意一点
(x,y)
在矩阵
A
1
对应的变换作用下得到点
(x,y)
，

2

x



3
则




y



1


6
1

1

2


xy
3

x


33






1



y


1
x
1
y


6

6

< br>6

21

xxy,

xx
2y

,

33







11
yx4y.

yxy,
< br>
66

xy4
，
y
2
，
3

直线
l
的方程为
y
2
．
3
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线
l
的极 坐标方程为



(

R)
，以极点为原点，极 轴为
x
轴的正半轴
4
18

建立平面直角 坐标系，曲线
C
的参数方程为

交点
P
的直角坐标． 
x4cos

,
，求直线
l
与曲线
C的
(

为参数）
y1cos2


分析： 化直线
l
的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线
C
的参数方程为普通方程，联 立求解
得答案．
解：直线
l
的直角坐标方程为
yx
．
由方程


x4cos

,
，可得
y 2cos
2

2(
x
)
2

1
x
2
，
48

y1cos2

cos

1
，
4剟x4
． 又
1剟

曲线
C
的普通方程为
y
1
x
2
(4剟x4)
．
8
将直线
l
的方程代入曲线方程中，得
1
x
2x
，解得
x0
，或
x8
（舍去）．
8

直线
l
与曲线
C
的交点
P
的直角坐标为
(0,0)
．



第22题、第23题，每题10分，共计20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）

如图，在直四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，底面四边形
ABCD< br>为菱形，
A
1
AAB2
，
ABC
，
3
E
，
F
分别是
BC
，
A
1
C< br>的中点．
（1）求异面直线
EF
，
AD
所成角的余弦值；
（2）点
M
在线段
A
1
D
上，
A
1
M


．若
CM
平面
AEF
，求实数< br>
的值．
A
1
D

分析：（1）建立坐标系，求出 直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线
EF
，
AD
所成角
的余弦 值；
19

（2）点
M
在线段
A
1
D
上，
可求实数

的值．
A
1
M< br>

．求出平面
AEF
的法向量，利用
CM
平面AEF
，即
A
1
D
解：因为四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
为直四棱柱，
所以
A
1
A
平面
ABCD
．
又
AE
平面
ABCD
，
AD
平面
ABCD
，
所以
A
1
AAE
，
A
1
AAD
．
在菱形
ABCD
中
ABC

，则
AB C
是等边三角形．
3
因为
E
是
BC
中点，所以
BCAE
．
因为
BCAD
，所以
AEAD
．
建立空间直角坐标系． 则
A(0
，0，
0)
，
C(3
，1，
0)
，
D(0
，2，
0)
，
A
1
(0
，0，
2)
，
E(3
，0，
0)
，
F(
3
，
1
，
1)
．
2
2
3
1
，，
1)
，
2
212
所以异面直线
EF
，
AD
所成角的余弦值为．

4
211
（1）
AD(0
，2，
0)
，
EF(
（2）设
M(x
，
y
，
z)
，由于点
M
在线段
A
1
D
上，且
A1M


，
A1D
则
(x
，
y
，
z 2)

(0
，2，
2)
．
则
M(0
，
2

，
22

)
，
CM(3< br>，
2

1
，
22

)
．
设平面
AEF
的法向量为
n(x
0
，
y
0
，
z
0
)
．
因为
AE(3
，0，< br>0)
，
AF(
3
1
，，
1)
，
2
2

3x
0
0

由

3，得
x
0
0
，
1
y
0
z
0
0
．
1
2

x
0
y
0< br>z
0
0
22
取
y
0
2
，则
z
0
1
，
则平面
AEF
的一个法向量为n(0
，2，
1)
．
由于
CM
平面
AEF
，则
nCM0
，即
2(2

1) (22

)0
，解得


2
．
3
20

23．（本小题满分10分）
已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球
和黄球的分 值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应
的分值相加后称为该局的得 分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第
n
局得
n
分
(nN*)
的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．
（1）求在一局游戏中得3分的概率；
（2）求游戏结束时局数
X
的分布列和数学期望
E(X)
．
分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；
（2）由题意知随机变量
X
的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，
求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．
解：（1）设在一局游戏中得3分为事件
A
，
111
C
2
C
2
C
1
2
则
P
（A）
；
3
C
5
5
（2）由题意随机变量
X
的可能 取值为1，2，3，4；
且在一局游戏中得2分的概率为
21
C
2
C
2
1
则
P(X1)
，

3
C5
5
1221
C
2
C
2
C
2
C
1
3
；

3
C
5
10
P( X2)
P(X3)
P(X4)
436
，

51025
43228
，
(1)
5105125
43342
，
(1)
5105125
X
的分布列为：
21

X


P

E(X)1
1
1

5
2
6

25
3
28

125
4
42

125
162842337
．
234
525125125125





22