校花包养-劳资员工作总结

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）


题号
得分
一


一、填空题（本大题共
14
小题，共
70.0
分）
1.

已知集合
A={1
，
3
，
5
，
7}
，
B={0
，
1
，
3}
，则集合
A∩B=______
．
2.

若，其中
i
为虚 数单位，
a
，
b
∈
R
，则
ab
的值为______
．
二

总分

3.
已知一组数据
7
，
8
，
11
，
14
，
15
，则该组数据的方差为
______
．
4.

一个算法的流程图如图所示，则输出的
a
的值为
______
．












5.

函数
f
（
x
）
=ln
（
4-x
2
）的定义域为
______
．
6.

一根绳子长为
5
米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子 的长度有一段大于
3
米的概率为
______
．
7.

在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
8.

9.

10.

11.

的离心率为，则该双曲线的焦距为
______
．
2cm
，
4cm
，某长方体的长、宽、高分别为
2cm
，则该长方体的体积与其外接球的体积 之比为
______
．
已知等差数列
{a
n
}
满 足
a
4
=4
，且
a
1
，
a
2，
a
4
成等比数列，则
a
3
的所有值为
___ ___
．
在平面直角坐标系
xOy
中，圆
O
1
：
x
2
+y
2
=9
与圆
O
2
：x
2
+y
2
-4x+2y-3=0
的公共弦的长为
__ ____
．
若函数
f
（
x
）
=ax
2< br>+a-1
（
a
∈
R
）存在零点，且与函数
f
（
f
（
x
））的零点完全相同，则实数
a
的值
为< br>______
．
12.

如图，在直角△
ABC
中 ，∠
ACB=90°
，∠
BAC=60°
，
AB=4
．以< br>BC
为直径向△
ABC
外作半圆，点
P
在半圆弧上，且满足< br>则





13.

在△
ABC
中，已知
AB
边上的中线
CM=1
，且成等差数列，则AB
的长为
______
．
的值为
______
．
，
第1页，共18页

14.

已知函数
f
（
x
）
=|e
x
-1|
，若存在实数
a< br>，
b
（
a
＜
b
）使得
f
（
a
）
=f
（
b
），则
a+2b
的最大值为
______
．
二、解答题（本大题共
11
小题，共
144.0
分）
AB
⊥
BC
，
BE
⊥
AC
，
EF=3
，
BF=5
．15.

如图，在三棱锥
A-BCD
中，，点
F
是
CD
的中点，求
证：
（
1
）
EF
∥平面
ABD
；
（
2
）平面
ABC
⊥平面
ADC
．









16.

在中，已知，，
.

（
1
）求的长；

（
2
）求的值
.








17.

如图所示，现有一张边长为
10c m
的正三角形纸片
ABC
，在三角
形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边 形
ADA
1
F
1
，
BD
1
B
1< br>E
，
CE
1
C
1
F
（剪去的四边形均有一组 对角为直角），然后
把三个矩形
A
1
B
1
D
1D
，
B
1
C
1
E
1
E
，A
1
C
1
FF
1
折起，构成一个以
A
1
B
1
C
1
为底面的无盖正三棱柱．
（
1
）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为
3
，求该三棱
第2页，共18页

柱的高；
（
2
）求所折成的正三棱柱的体积的最大值．








18.

如图，在平面直角坐 标系
xOy
中，已知椭圆（
a
＞
b
＞
0
） 经过点．设椭圆
C
的左顶点为
A
，右焦点为
F
，右准线与< br>x
轴交于点
M
，且
F
为线段
AM
的中点．
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；
（
2
）若 过点
A
的直线
l
与椭圆
C
相交于另一点
P
（
P
在
x
轴上方），直线
PF
与椭圆
C
相 交于
另一点
Q
，且直线
l
与
OQ
垂直，求直线PQ
的斜率．










19.

设函数
f
（
x< br>）
=e
x
-alnx
（
a
∈
R
）， 其中
e
为自然对数的底数．
（
1
）当
a
＜
0
时，判断函数
f
（
x
）的单调性；
（
2）若直线
y=e
是函数
f
（
x
）的切线，求实数
a
的值；
（
3
）当
a
＞
0
时，证明：
f
（
x
）
≥2a-alna
．






第3页，共18页

20.

定义：从数列
{a
n
}
中抽取
m
（
m
∈
N
，
m≥3
）项按其在
{a
n
}
中的次序排列形成一个新数列
{b
n
}
，则
称
{b
n
}
为
{a
n
}
的子数列；若{b
n
}
成等差（或等比），则称
{b
n
}
为
{a
n
}
的等差（或等比）子数列．
（
1
）记数 列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
， 已知．
①求数列
{a
n
}
的通项公式；
②数列
{a
n
}
是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由．
（
2
）已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=n+a
（
a
∈
Q
+
），证明：
{a
n
}
存在等比子数列．








21.

已知
1
是矩阵
标．

的一个特征值，求点（
1，
2
）在矩阵
A
对应的变换作用下得到的点的坐







22.

已知曲线
C
的极坐标方程为
ρ=2sinθ
．以极点为原点，极轴为
x
轴的正半 轴，建立平面直角坐标
系，直线
l
的参数方程为（
t
为参数）． < br>（
1
）求曲线
C
的直角坐标方程和直线
l
的普通方程 ；
（
2
）求直线
l
被曲线
C
所截得的弦长．








23.

已知关于
x
的不等式
x
2
-mx+n
＜
0
的解集为
{x|1
＜
x
＜
2}
，其中
m
，
n
∈
R
．求证：
．

第4页，共18页

现从该棱锥的
5
24.

已知正四棱锥
P-ABCD
的底面边长和高都为
2
．
个顶点中随机选取
3
个点构成三角形，设 随机变量
X
表示所得
三角形的面积．
（
1
）求概率
P
（
X=2
）的值；
（< br>2
）求随机变量
X
的概率分布及其数学期望
E
（
X< br>）．














25.

已知抛物线
C
：
y
2
=2px
（
p
＞
0
）的 焦点为
F
，过
F
且斜率为的直线
l
与抛物线
C交于
A
，
B
两点，
B
在
x
轴的上方， 且点
B
的横坐标为
4
．
（
1
）求抛物线
C
的标准方程；
B
的点，
G
两点，（
2
）设点
P
为抛物线
C
上异于
A
，直线
PA
与
PB
分别交抛物线
C
的准线于< br>E
，
x
轴与准线的交点为
H
，求证：
HG
•
HE
为定值，并求出定值．



第5页，共18页

第6页，共18页

-------- 答案与解析 --------

1.
答案：
{1
，
3}

解析：解：∵
A={1
，
3
，
5
，
7}
，
B={0，
1
，
3}
；
∴
A∩B={1
，
3}
．
故答案为：
{1
，
3}
．
进行交集的运算即可．
考查列举法的定义，以及交集的运算．
2.
答案：
-2

解析：解：∵，
∴，
解得：，
∴
ab=-2
．
故答案为：
-2
．
把已知等式左边利用复数代数形式的乘除运算化简，再由 复数相等的条件列式求得
a
，
b
的值，则答
案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
3.
答案：
10

解析：解：数据的平均数为：
方差为：
故填：
10
．
根据所给数据计算出平均数，代入方差的计算公式即可．
本题考查了平均数，方差的计算，属于基础题．
4.
答案：
9
，


解析：解：第
1
步：
n=1
＜
4成立，
a=a+3=3
，
n=n+1=2
；
第
2步：
n=2
＜
4
成立，
a=a+3=6
，
n= n+1=3
；
第
3
步：
n=3
＜
4
成立 ，
a=a+3=9
，
n=n+1=4
；
第
4
步：
n=4
＜
4
不成立，退出循环；
所以，
a=9
．
故答案为：
9
．
模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的
a
值．
本题考查了程序的运行与应用问题，是基础题．
第7页，共18页

5.
答案：（
-2
，
2
）
解析：解：由题意得：
4-x
2
＞
0
，解得：
-2＜
x
＜
2
，
故函数的定义域是（
-2
，
2
），
故答案为：（
-2
，
2
）．
根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了对数函数的性质，考查函数的定义域问题，是一道基础题．
6.
答案：


解析：解：如下图，在
A
、
C
之间任意一点剪开，或在
BD
之间任意一点剪开，

都可以满足有一段大于
3
米，
所以，所求的概率为：
P=
故答案为：．
由题意画出图形，数形结合得答案．
本题考查了概率的加法问题，考查几何概型问题，是一道基础题．
7.
答案：
4
．

解析：解：双曲线双曲线
又
c=
离心率为：
即：
9a
2
+9=12a
2
，
所以，，
c==2
，
，
中，
b=1
，
所以，双曲线的焦距为
4
．
故答案为：
4
．
利 用双曲线的标准方程求出双曲线的离心率，然后求出
a
，
c
，即可得到双曲线 的焦距．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
8.
答案：


2×4=16
，

解析： 解：长方体的体积为：
V1=2×
长方体外接球的直径为：
2R=
外接球的体 积为：
V2=
，
，
长方体的体积与其外接球的体积之比为：
第8页，共18页

．
故填：．
2×4=16
，设球的半径为
R
，则因为球心为长方体的 中心，所以长方体的体积为：
V1=2×
2R=
，求出球的半径，则球的体积可以求出 ，则长方体的体积与其外接球的体积
比值可求．
本题考查了球的体积，长方体的外接球．解题时注意球心为长方体的中心．属于中档题．
9.
答案：
3
或
4

解析：解：因为
a
1
，
a
2
，
a
4
成等比数列，
所以，
即
，
，
化简，得：
d
（
d-a
1
）
=0
，
所以，或，
解得：或，
所以
a
3
=a
4
=4
，或
a
3
=a
1
+2d=3
，
所以，
a
3
的所有值为
3
，
4
．
故答案为：
3
或
4
．
利用等差数列以及等比数列的通项公式，结合已知条件求出首项与公差，然后求解即可．
本题考查等差数列，等比数列的应用，通项公式的应用，考查计算能力．
10.
答案：


解析：【分析】
先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，最后用勾股定理可得．
本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．直线与圆的方程，两圆的公共弦长问题．
【解答】
解：由，两个式子相减得，
两圆的公共弦所在的直线方程为：
2x-y-3=0
，
圆
O
1
：
x
2
+y
2
=9
的圆心（
0
，
0
）到直线
2x-y-3=0
的距离为：
公共弦长为：
故答案为：．
=
．
，
第9页，共18页

11.
答案：
1

解析：解：函数
f（
x
）
=ax
2
+a-1
（
a
∈R
）存在零点，显然
a≠0
，
设
x=x
0
是函数
f(x)
的零点，则，
因为函 数
f(x)
与函数
f
（
f
（
x
））的零点 完全相同，
即
x=x
0
是函数
f
（
f
（
x
））的零点，故，
又因为，所以，即
a-1=0
，得：
a=1
．
故答案为：
1
．
利用函数的零点相同，列出方程，转化求解即可．
本题考查函数的零点，考查分析问题解决问题的能力．
12.
答案：
7

解析：【分析】
本题考查平面向量的坐标运算．向量的数量积的应用，考查
数形结合以及计算能力．
设
BC
为直径的圆交
AB
于
D
，则∠
ABC=30 °
，以
D
为原点建
立如图所示的平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向
量的数量积转化求解即可．
【解答】
解：∠
ACB=90°
，∠
BAC=60°
，
AB=4
，
所以，
AC=2
，
BC=2
，∠
BDC=90°
，
设
BC
为直径的圆交
AB
于
D
，则∠
AB C=30°
，
以
D
为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则
CD=
，
BD=3
，
AD=1
，
A< br>（
-1
，
0
），
B
（
3
，
0
），
C
（
0
，），设
P
（
x
，
y
），
，
又
BC
为直角，所以，∠
BPC=90°
，
所以，
即
即
=0
，
=0
，
=0
，解得：
），
，
=
（
1
，）（，）
，解得：
x=
，
所以，
P
（，
=+

=7
故答案为
7
．
13.
答案：


第10页，共18页

解析：解：在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，
根据中线长公式
，
得
由
得
从而
2=
即为
a
2
+b
2
=2c
2
=2+c
2
，
解得．
．
．
成等差数列，
，
，
故答案为：
运用三角形的中线长公式可得
a
2+b
2
=2+c
2
，再由等差数列的中项性质和三角函数的恒等变换公式 ，
结合正弦定理、余弦定理，化简可得
a
2
+b
2
=2c< br>2
，解方程可得所求值．
本题考查三角形的余弦定理和正弦定理，以及等差数列中项性 质，三角函数的恒等变换，考查化简
运算能力，属于中档题．
14.
答案：


解析：解：设
f
（
a
）
=f
（
b
）
=t
，则
|e
a
-1|=|e
b
-1 |=t
，解得
a=ln
（
1-t
），
b=ln
（< br>1+t
），
所以
a+2b=ln
（
1-t
）
+2ln
（
1+t
）
=ln
（
1-t
）（
1+t
）
2
．
设
g
（
t
）
=
（
1-t
）（
1+t
）
2
（
0
＜
t
＜
1
），则
g'
（
t
）
=（
1-3t
）（
1+t
）．
因为
所以
故答案为：．
时，
g'
（
t
） ＞
0
，
g
（
t
）单调递增，
，所以
a+2 b
的最大值为
时，
g'
（
t
）＜
0
，g
（
t
）单调递减，
．
设
f
（
a
）
=f
（
b
）
=t
，则
|e
a< br>-1|=|e
b
-1|=t
，解得
a=ln
（
1-t
），
b=ln
（
1+t
），推出
a+2b
的表达式 ．设
g
（
t
）
=
（
1-t
）（
1 +t
）
2
（
0
＜
t
＜
1
），求出 导函数，判断函数的单调性，然后求解最值即可．
函数的导数及其应用．函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
1 5.
答案：证明：（
1
）△
ABC
中，因为
AB=BC，
BE
⊥
AC
，
所以
E
为
AC
的中点；
又因为点
F
是
CD
的中点，
所以
EF
∥
AD
；
又
AD
⊂平面
ABD
，
EF
⊄平面
ABD
，
所以
EF
∥平面
ABD
；
第11页，共18页

（
2
）在
Rt
△
ABC
中，因为，
所以
AC=8
；
又因为
AE=CE
，
所以
BE=4
；
又因为
EF=3
，
BF=5
，
所以
BF
2
=BE
2
+EF
2
，即
BE
⊥
EF；
又因为
BE
⊥
AC
，
AC
⊂平面
ACD
，
EF
⊂平面
ACD
，
AC∩EF=E
，
所以
BE
⊥平面
ACD
，
又因为
BE
⊂平面
ABC
，
所以平面
ABC
⊥平面
ADC
．

解析：（1
）由等腰三角形以及中位线的性质证明
EF
∥
AD
，即可证明
EF
∥平面
ABD
；
（
2
）由等腰直角三角形的 性质和勾股定理，证明
BE
⊥
EF
，
再由
BE
⊥
AC
，得出
BE
⊥平面
ACD
，从而证明平面
AB C
⊥平面
ADC
．
本题考查了空间中的平行与垂直关系证明与应用问题，是中档题．
16.
答案：解： （
1
）因为，
0
＜
B
＜
π
，所以．

在△
ABC
中，
A+B+C=π
，所以
A=π-
（
B+C
），
于是
sinA=sin[π-
（
B +C
）
]=sin
（
B+C
）
=
在△
AB C
中，由正弦定理知
所以
，
．
．
（
2
）在△
ABC
中，
A+B+C=π
，所以
A=π-
（B+C
），
于是
cosA=cos
（
π-
（
B+C
））
=-cos
（
B+C
）
=
于是
因此，
，
=
．
．
，

解析：（
1< br>）利用同角三角函数的基本关系求得
sinB
的值，再求得
sinA=sin[ π-
（
B+C
）
]
的值，利用
正弦定理求得
BC< br>的值．
（
2
）先求出
cosA=cos[π-
（
B +C
）
]
的值，再利用二倍角公式求得
sin2A
、
cos 2A
的值，再利用两角和
差的正弦公式求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本 关系，两角和差的三角公式、正弦定理、诱导公式、二倍角公式
的应用，属于中档题．
，．
17.
答案：解：（
1
）设
A
1
D=x
， 则
因为
所以
，
（
cm
）．
第12页，共18页

答：该三棱柱的高为
（
2
）因为
三棱柱的体积
所以
因为当
当
所以
cm
．
，所以
=
．
．
，
时，
V'
（
x
）＞
0
，
V
（
x
）单调递增，
时，
V'
（
x）＜
0
，
V
（
x
）单调递减，
时，（
cm
3
）．
cm
3
． 答：该三棱柱的体积为

解析：（
1
）设
A
1
D= x
，则，，根据
=3
列方程求解即可得
x
；
（
2
）将三棱柱的体积表示为
x
的函数，利用导数研究体积函数的单调性，即可得到其最值 ．
本题考查棱柱侧面积与其内切球体积的求法，考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关< br>键，是中档题．
18.
答案：解：（
1
）因为
A
（
-a
，
0
），
F
（
c
，
0
），
且
F
为
AM
的中点，

所以，则
2c
2
+ac-a
2
=0
．
，
即（
2c-a
）（
a+c
）
=0
，所以
a =2c
．
b
2
=a
2
-c
2
=3c
2
………………
（
2
分）
因为点
所以
在椭圆上，
，………………（
4
分）
又因为
b
2
=a
2
-c
2
=3c
2，所以
c=1
，则
a
2
=4
，
b
2< br>=a
2
-c
2
=3
．
所以椭圆的标准方程为．

………………（
6
分）
（
2
）由题意直线
AP
的斜率必存在且大于
0
，
设直线
AP
的方程为：
y=k
（
x+2
），（k
＞
0
）
代入椭圆方程并化简得：（
3+4k
2）
x
2
+16k
2
x+16k
2
-12=0< br>，
因为
得
当
，
时，
PQ
的斜率不存在，此 时
，
，………………（
8
分）
不符合题意．
第13页，共18页

当
k
2
≠
时，直线< br>PQ
的方程为：
因为，所以直线
OQ
的方程为：
，
，……………（
12
分）
两直线联立解得：
Q
（
4k
2
，
-4k
），因为
Q
在椭圆上，
所以
因为
k
＞
0
，所以
此时．
．……………（
16
分）
，化简得：（
2k
2
+ 3
）（
6k
2
-1
）
=0
，即
，………… …（
14
分）
，
直线
PQ
的斜率为

解析：（
1
）推导出
椭圆上，得到
，从而（
2c-a
）（< br>a+c
）
=0
，进而
a=2c
．
b
2
=a
2
-c
2
=3c
2
，由点
，再由
b
2
=a
2
-c
2
=3c
2
，得到
c=1
，由此能求出椭圆的标准方程．
在
（
2
）设直线
A P
的方程为：
y=k
（
x+2
），（
k
＞
0
），代入椭圆方程，得（
3+4k
2
）
x
2
+1 6k
2
x+16k
2
-12=0
，
由，得
，由，
，得直线
OQ
的方程为：
，推导出直线
PQ
的方程为 ：
，两直线联立解得：
Q
（
4k
2
，
-4k
），
再由
Q
在椭圆上，能求出直线
PQ
的斜率．
本题考 查椭圆方程、直线的斜率的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系、根的判别式、韦
达定理等基础 知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
19.
答案：解：（
1
）函数
f
（
x
）
=e
x
-alnx
（
a
∈
R
）的定义域为（
0
，
+∞
）．
因为
a
＜
0
，所以
所以
f
（
x< br>）在区间上单调递增
（
2
）设切点为
因为
所以
，所以
．
，则
，得
，
，
，
设
g
（
x
）
=e
x
-xe
x
lnx
，则
g'
（
x
）
=
（
-x-1
）
e
x
l nx
，
所以当
0
＜
x
＜
1
时，
g'
（
x
）＞
0
，
g
（
x
）单调 递增，
当
x
＞
1
时，
g'
（
x
）＜
0
，
g
（
x
）单调递减，
所以
g< br>（
x
）
max
=g
（
1
）
=e．
因为方程
所以
a=e
．
（
3
）证明：
a
＞
0
，因为，
仅有一解
x
0
=1
，
第14页，共18页

设
h
（
x
）
=xe
x
-a
（< br>x≥0
），则
h'
（
x
）
=
（
x+ 1
）
e
x
＞
0
，所以
h
（
x）单调递增．
因为
h
（
0
）
=-a
＜
0
，
h
（
a
）
=ae
a
-a=a
（
e
a
-1
）＞
0
，
所以存在
0
＜
x
0
＜
a
，使得．
当
0
＜
x
＜
a
时，
h'
（
x< br>）＜
0
，
f'
（
x
）＜
0
，
f
（
x
）单调递减，
当
x
＞
1
时，< br>h'
（
x
）＞
0
，
f'
（
x
）＞
0
，
f
（
x
）单调递增，
所以
因为
所以
，所以
．
，
lnx
0
=lna-x
0
，
．

解析：（
1
）求出函数的导数，由判断导函数与
0
的大小可得； < br>（
2
）设切点表达函数切线的方程与已知直线
y=e
相同，可得实数< br>a
的值；
（
3
）转换构造新函数
h
（
x< br>）
=xe
x
-a
（
x≥0
），利用单调性，分类讨论 可得函数最小值，利用
f
（
x
）
最小值
≥2a-alna< br>．得证．
本题考查函数的导数应用与证明，函数的单调性，切线方程以及分类讨论思想的应用， 考查计算能
力．
20.
答案：解：（
1
）①因为
当
n≥2
时，
综上可知：．
，所以
，所以当
n=1
时，
．
，
②假设从数列
{a
n
}
中抽
3
项
a
k
，
a
l
，
a
m
（
k
＜
l
＜
m
）成等差，
2
l
-1
=2
k
-1
+ 2
m
-1
， 则
2a
l
=a
k
+a
m
，即
2×
2
l
-
k
=1+2
m
-
k
． 化简得：
2×
因为
k
＜
l
＜< br>m
，所以
l-k
＞
0
，
m-k
＞
0
，且
l-k
，
m-k
都是整数，
2
l
-
k
为偶数，
1+2
m
-
k
为奇数，所以
2 ×2
l
-
k
=1+2
m
-
k
不成立． 所以
2×
因此，数列
{a
n
}
不存在三项等差子数列． < br>若从数列
{a
n
}
中抽
m
（
m
∈< br>N
，
m≥4
）项，其前三项必成等差数列，不成立．
综上可知，数列
{a
n
}
不存在等差子数列．
（
2
）假设数列
{a
n
}
中存在
3
项
n0
+a
，
n
0
+a+k
，
n
0
+a+l
（
k
＜
l
）成等比．
设
n
0
+a=b
，则
b
∈
Q
+
，故可设
则需满足
即需满足（
b+k
）
2
=b
（
b+l
）， 则需满足
取
k=q
，则
l=2k+pq
．
此时
故 此时（
b+k
）
2
=b
（
b+l
）成立．
，．
（
p
与
q
是互质的正整数）．
，
．
第15页，共18页

因此数列
{a
n
}
中存在
3
项
n
0
+a
，
n
0< br>+a+k
，
n
0
+a+l
（
k
＜
l
）成等比，
所以数列
{a
n
}
存在等比子数列．

解析：（
1
）记数列的前
n
项和为
S
n
，已知．
①求出数列的首项，通过
a
n
=S
n
- S
n
-1
，可求数列
{a
n
}
的通项公式； 2
l
-
k
=1+2
m
-
k
．说②假设 从数列
{a
n
}
中抽
3
项
a
k
，
a
l
，
a
m
（
k
＜
l
＜
m
）成等差，则
2a
l
=a
k
+a
m，化简得：
2×
明
l-k
＞
0
，
m-k
＞
0
，且
l-k
，
m-k
都是整数，推出数列
{ a
n
}
不存在三项等差子数列．
（
2
）假设数列
{a
n
}
中存在
3
项
n
0
+a
，
n
0
+a+k
，
n
0
+a+l
（
k
＜
l
）成等比．设
n
0
+a=b
，则
b
∈
Q
+
，故可设
（
p
与
q
是互质 的正整数）．．取
k=q
，则
l=2k+pq
．此时（
b+k
）
2
=b
（
b+l
）
成立．说明数列
{a
n
}
存在等比子数列．
本题考查数列的应用，数列与函数的综合，考查分析问题解决问题的能力．
21.
答案：解：由题意，可知：
矩阵
A
的特征多项式为：
∵
1
是矩阵
A
的一个特征值，
∴
f
（
1
）
=0
．
即：（
1-a
）（
1-2
）
=0
．
解得
a=1
，
∴矩阵．
．
，
由题意，有矩 阵关系式：
∴点（
1
，
2
）在
A
对应的作用下得到 的点为（
3
，
4
）．

解析：本题可先将特征值
1
代入特征多项式解得
a
的值，即可得到矩阵
A
，然后根据变换对应 的矩
阵关系式的乘法运算可得点（
1
，
2
）在矩阵
A
对应的变换作用下得到的点的坐标．
本题主要考查特征值和特征多项式求参数，以及根据变换对应的 矩阵关系式的乘法运算得到对应点
的坐标问题．本题属基础题．
22.
答案：解（< br>1
）因为曲线
C
的极坐标方程可化为
ρ
2
=2ρsi nθ
．
且
x
2
+y
2
=ρ
2
，
y=ρsinθ
，
所以曲线
C
的直角坐标方程为
x
2
+y
2
-2y=0
．
直线
l
：（
t
为参数）的普通方程为．…………（
6
分）
（
2
）圆心（
0
，
1
）到直线
l
：
又因为半径为
1，所以弦长为
的距离为，
．

………………（
10
分）

解析：（
1
）利用直 角坐标与极坐标的互化公式可得曲线
C
的直角坐标方程；消去参数
t
可得直线
l
的普通方程．
（
2
）利用点到直线的距离公式和勾股定理可得弦长．
第16页，共18页

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.
答案：证明： 因为关于
x
的不等式
x
2
-mx+n
＜
0
的解集为
{x|1
＜
x
＜
2}
，
2=2
； 所以
m=1+2=3
，
n=1×
所以，且
x
∈
[3
，
4]
；
由柯西不等式可得，，
当且仅当
所以，
，即
．
时取等号；

解析：根 据关于
x
的不等式
x
2
-mx+n
＜
0
的 解集求出
m
、
n
的值，再化简不等式，
利用柯西不等式求得．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了柯西不等式应用问题，是中档题．
24.答案：解：（
1
）从
5
个顶点中随机选取
3
个点构成三 角形，
共有种取法．其中
X=2
的三角形如△
ABD
，
个．
，
这类三角形共有
因此
（
2
）由题意，< br>X
的可能取值为，
2
，．
其中的三角形是侧面，这类三角形共有
4
个；
其中的三角形有两个，△
PAC
和△
PBD
．
因此，．
所以随机变量
X
的概率分布列为：

X

P
（
X
）



2



． 所求数学期望
E
（
X
）
=

解析：（
1
）通过
X=2
，求出基本事件的个数，然后求解概率；
（
2
）求
X
的值，求出概率即可得到随机变量
X
的 概率分布，然后求解数学期望
E
（
X
）．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
25.
答案：解：（
1
）由题意得：，
， 因为点
B
的横坐标为
4
，且
B
在
x
轴的上方，所以
因为
AB
的斜率为，
所以，整理得：，
即，得
p=2
，
抛物线
C
的方程为：
y
2
=4x
．
（< br>2
）由（
1
）得：
B
（
4
，
4），
F
（
1
，
0
），准线方程
x=-1
，
第17页，共18页

直线
l
的方程：，
由，解得或
x=4
，于是得．
设点，又题意
n≠1
且
n≠-4
，
，令
x=-1
，得
，
，
．
， 所以直线PA
：
即
同理可得：
HG
•
HE=

解析：（
1
）由
AB
的斜率为，可得

（
2
）设点，可得

，
，解得
p=2
即可，
，即可得
HG
•
HE=
．
本题考查了抛物线的性质，计算能力，转化思想，属于中档题．

第18页，共18页