新贵妃醉酒串词-湘南大学

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 立体几何初步 学
业分层测评11 柱、锥、台的体积 北师大版必修2
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( )
A．955π
C．355π
B．955
D．355
【解析】 设圆锥底面圆的半径为
r
，则2π
r
＝6π，∴
r
＝3.
设圆锥的高为
h
，则
h
＝8－3＝55，
1
2
∴
V
圆锥
＝π
rh
＝355π.
3
【答案】 C
2．如图1­7­23所示，正方体
ABCD
­< br>A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，则 三棱锥
D
1
­
ACD
的体积是( )
22

图1­7­23
1
A.
6
1
C.
2
1
B.
3
D．1
11111
【解析】 三棱 锥
D
1
­
ADC
的体积
V
＝
S
△
ADC
×
D
1
D
＝××
AD
×
D C
×
D
1
D
＝××1×1×1
33232
1
＝.
6
【答案】 A
3．某几何体的三视图如图1­7­24所示，则它的体积是( )

图1­7­24
2ππ2π
A．8－ B．8－ C．8－2π D.
333
【解析】 由几何体的三视图，可知几何体为一个组合体，即 一个正方体中间去掉一个
12π
32
圆锥体，所以它的体积是
V
＝2 －×π×1×2＝8－.
33
【答案】 A
4．某几何体的三视图(单位：cm)如图1­7­25所示，则该几何体的体积是( )
【导学号：10690032】

图1­7­25
A．72 cm
C．108 cm
3
33
B．90 cm
D．138 cm
3
【解析】 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，
如图所示．

V
＝
V
三棱柱
＋
V
长方体
＝× 4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm
3
)．
【答案】 B
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线
为轴旋转一周， 所形成的几何体的体积之比是( )
A．1∶2∶3
C．6∶23∶3
【解析】
B．6∶23∶3
D．3∶23∶6
1
2

设Rt△
ABC
中，∠
BAC
＝30°，
B C
＝1，则
AB
＝2，
AC
＝3，求得斜边上的高
CD＝
3
，
2
1131

3

2
旋转所得几何体的体积分别为
V
1
＝π(3)×1＝π，
V
2
＝π×1
2
×3＝π，
V
3
＝π

3333< br>
2

2
131
×2＝π.
V
1
∶
V
2
∶
V
3
＝1∶∶＝6∶23∶3.
232
【答案】 C
二、填空题
6．已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为15π cm，则此圆锥的体积为________cm.
【解析】 设圆锥的底面半 径为
r
，高为
h
，则有π
rl
＝15π，知
r＝3，∴
h
＝5－3
＝4，
111
22
∴其体积V
＝
Sh
＝π
rh
＝×π×3×4＝12π.
333
【答案】 12π
7．(2016·西安高一检测)棱台上、下底面面积之比 为1∶9，则棱台的中截面分棱台成
两部分的体积之比是______．
【解析】 设棱台高 为2
h
，上底面面积为
S
，则下底面面积为9
S
，中截面面 积为4
S
，
1
S
＋
S
·4
S
＋ 4
S
·
h
V
上
3
7
＝＝.
V< br>下
119
4
S
＋4
S
·9
S
＋9< br>S
·
h
3
【答案】
7

19
22
23
8．已知某个几何体的三视图如图1­7­26，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可 得这个
几何体的体积是________．

图1­7­26
【解析】 此几何体的直观图如图，
ABCD
为正方形，边长为20 cm，

S
在底面的射影为
CD
中点
E
，
SE
＝2 0 cm，
V
S
－
ABCD
＝
S
ABCD
·
SE
＝
【答案】
1
3
8 000
3
cm.
3
8 000
3
cm
3
三、解答题
9.如图1­7­27所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正
六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何
体的体积．

图1­7­27
【解】
V
六棱柱
＝
3
23
×4×6×2＝483(cm)， 4
V
圆柱
＝π·3
2
×3＝27π(cm
3
) ，
V
挖去圆柱
＝π·1
2
×(3＋2)＝5π(cm
3< br>)，
∴此几何体的体积：
V
＝
V
六棱柱
＋
V
圆柱
－
V
挖去圆柱
＝(483＋22π)(cm
3)．
10．如图1­7­28，四棱柱
ABCD
­
A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是正方形 ，
O
是底面中心，
A
1
O
⊥底
面
ABCD
，
AB
＝
AA
1
＝2.

图1­7­28
(1)证明：平面
A
1
BD
∥平面
CD
1
B
1
；
(2)求三棱柱
ABD
­
A
1
B
1
D
1
的体积．
∥
DD
， 【解】 (1)证明：由题设知，
BB
1
═1
∴
BB
1
D
1
D
是平行四边形，∴
BD
∥
B
1
D
1
.
又
BD
⊆平 面
CD
1
B
1
，∴
BD
∥平面
CD
1
B
1
.

∥
BC
∥
BC
，∴
ABCD
是平行四边形， ∵
A
1
D
1
═< br>1111
═
∴
A
1
B
∥
D
1
C
.
又
A
1
B
⊆平面
CD
1
B
1
，∴
A
1
B
∥平面
CD
1
B
1
.
又∵
BD
∩
A
1
B
＝B
，∴平面
A
1
BD
∥平面
CD
1
B
1
.
(2)∵
A
1
O
⊥平面
ABCD< br>，∴
A
1
O
是三棱柱
ABD
­
A
1
B
1
D
1
的高．
1
22
又∵
A O
＝
AC
＝1，
AA
1
＝2，∴
A
1O
＝
AA
1
－
OA
＝1.
2
1又∵
S
△
ABD
＝×2×2＝1，∴
VABD
­
A
1
B
1
D
1
＝
S
△
ABD< br>×
A
1
O
＝1.
2
[能力提升]
1．( 2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图
1­7­29，则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

图1­7­29
1
A.
8
1
C.
6
1
B.
7
1
D.
5
【解析】 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截 去了一个“大角”后剩余的部
分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的 体积为

V
1
＝××1×1×1＝，
15
3
剩余部分的体积
V
2
＝1－＝.
66
1
V
1
6
1
所以＝＝，故选D.
V
2
55
6
【答案】 D
2．如图1­7­30，三棱台
ABC
­
A
1
B
1
C
1
中，AB
∶
A
1
B
1
＝1∶2，则三棱锥
A
1
­
ABC
，
B
­
A
1
B
1< br>C
，
C
­
A
1
B
1
C
1< br>1
3
1
2
1
6

的体积之比为( )

图1­7­30
A．1∶1∶1
C．1∶2∶4
B．1∶1∶2
D．1∶4∶4
【解析】 设棱台的高为
h
，< br>S
△
ABC
＝
S
，则
S
＝4
S，
△
A
1
B
1
C
1

∴< br>V
11
＝
S
△
ABC
·
h
＝
Sh
，
3
A
1
－
ABC
3
V
14
＝
S
·
h
＝
Sh
.
3
C< br>－
A
1
B
1
C
1
3
△
A< br>1
B
1
C
1
17
又
V
台
＝
h
(
S
＋4
S
＋2
S
)＝
Sh< br>，
33
∴
V
＝
V
台
－
V
－
V
7
Sh
4
Sh
2
＝
Sh
－－ ＝
Sh
，∴体积比为1∶2∶4.
333
C
－
A
1
B
1
C
1
3
B
－
A
1
B
1
CA
1
－
ABC
【答案】 C
3．如图1­ 7­31，在正三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
中，
D
为棱
AA
1
的中点．若截面△
BC1
D
是面积为
6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．

图1­7­31
1
2
1
222222
【解析】 设
AC
＝
a
，
CC
1
＝
b
，则< br>BD
＝
DC
1
＝
a
＋
b
，∴

a
2
＋
b
2

×2＝
a
＋< br>b
，得
b
＝

44

11
2< br>
3
2222
2
a
，又×

a
＋< br>b
＝6，∴
a
＝8，
b
＝16，∴
V
＝×8 ×4＝83.
2

4

4

【答案】 83

4．若
E
，
F
是三棱柱
ABC
­< br>A
1
B
1
C
1
侧棱
BB
1
和
CC
1
上的点，且
B
1
E
＝
CF
，三棱柱的体积为
m
，
求四棱锥
A
­
BEFC
的 体积．
【解】 如图所示，连接
AB
1
，
AC
1
.

∵
B
1
E
＝
CF
，
∴梯形
BE FC
的面积等于梯形
B
1
EFC
1
的面积．
又四 棱锥
A
­
BEFC
的高与四棱锥
A
­
B
1
EFC
1
的高相等，
∴
V
A
­
BEFC
＝
V
1
＝
V
.
2
A
­
B
1
EFC
1
A
­
BB
1
C
1< br>C
又
V
1
＝
S
·
h
，
V< br>＝
m
，
3
A
­
A
1
B
1
C
1
△
A
1
B
1
C
1
A BC
­
A
1
B
1
C
1
∴
V
＝，
A
­
A
1
B
1
C
1
3< br>＝
V
－
V
2
＝
m
，
A
­
A
1
B
1
C
1
3
m
∴
V
A
­
BB
1
C
1
CABC
­
A< br>1
B
1
C
1
12
mm
∴
V
A
­
BEFC
＝×
m
＝，即四棱锥
A
­
B EFC
的体积是.
2333