江苏省南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学学科参考答案)
关于朋友的作文-药剂科工作总结
南通市 2020 届高三第一次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1． 已知集合
【答案】
2． 已知复数 满足
【答案】
3． 某校高三数学组有 5
名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为
，则这 5
名党员教师学习积分的平均值为 ▲ .
【答案】40
4．
根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为 ▲ ．
【答案】11
5． 已知等差数列
则
的公差 不为 0，且 成等比数列，
a←1
i ←1
While i≤4
a
←a+i
i ←i+1
End While
Print a
的值为 ▲ ．
（第 4 题）
， ，则 ▲ .
，其中 是虚数单位，则 的模为 ▲ .
【答案】1
6． 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2
次正面向上的概率为 ▲ .
【答案】
7． 在正三棱柱
【答案】
8． 已知函数
为 ▲ .
【答案】5
9． 已知函数
式
是奇函数．若对于任意的
恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ ．
，关于 的不等
．若当 时，函数 取得最大值，则 的最小值
中， ，则三棱锥 的体积为 ▲ .
数学参考答案与评分细则 第 1页（共 16页）
【答案】
10．在平面直角坐标系 中，已知点 A，B 分别在双曲线 的两条渐近线上，且
双曲线
经过线段 AB 的中点．若点 的横坐标为 2，则点 的横坐标为 ▲ ．
【答案】
11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，
地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为
2008 年
5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生
里氏 6.0 级地震释放出来能量的 ▲ 倍．
【答案】1000
12．已知△ABC 的面积为 3，且
【答案】
13．在平面直角坐标系
A，B 两点．若圆
的集合为 ▲ .
【答案】
中，已知圆 与圆
相交于
．若 ，则 的最小值为 ▲ ．
．
上存在点 ，使得△ABP
为等腰直角三角形，则实数 的值组成
14．已知函数 若关于 的方程 有五个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是 ▲ .
【答案】
二、解答题：本大题共 6
小题，共计 90 分．
15．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥
分别为
中，
的中点．
数学参考答案与评分细则 第 2页（共
16页）
（第 15 题）
平面 ， ，
求证：（1）AB∥平面 ；
（2）平面 平面 ．
【证】（1）在 中，因为 分别为 的中点，
所以 AB∥DE．
又因为 平面
， 平面 ，
所以 AB∥平面 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ．
又因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，
所以平面
平面 ．
16．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，已知 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【解】（1）在△ABC 中，因为 ， ，
由 ，
得 ．
又 ， ，
由正弦定理，得 ，
所以 ．
（2）（方法一）由余弦定理，得 ，
数学参考答案与评分细则 第 3页（共
16页）
…… 3 分
…… 6 分
…… 8 分
…… 11 分
…… 14 分
…… 2 分
…… 4 分
…… 6 分
…… 8 分
即
解得
所以
或
，
（舍去）．
．
， 所以
．
，所以
…… 11 分
…… 14 分
．
…… 8 分
（方法二）在△ABC 中，由条件得
所以
所以
．
由正弦定理，得 ，
…… 10 分
所以 ． …… 12 分
所以
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系
距离为 ，
中，椭圆
． …… 14 分
的焦距为 ，两条准线间的
分别为椭圆
的左、右顶点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知图中四边形 是矩形，且 ，点
分别在边 上， 与
相交于第一象限内的点 ．
① 若 分别是 的中点，证明：点
在椭圆 上；
为定值，并求出该定值． ② 若点 在椭圆 上，证明：
【解】（1）设椭圆 的焦距为 ，
数学参考答案与评分细则 第 4页（共
16页）
则由题意，得 解得
所以 ．
所以椭圆 的标准方程为
． …… 3 分
）①由已知，得 ， ， ， ．
直线 的方程为 ，直线 的方程为
联立 解得 即 ．
因为 ，
所以点 在椭圆 上．
②（解法一）设
， ，
则 ， ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ．
直线 的方程为
，
令 ，得 ．
所以
．
数学参考答案与评分细则 第 5页（共
16页）
．
…… 6 分
…… 8 分
…… 10 分
……
12 分
…… 14 分
（2
（解法二）设直线
令
设直线
令
，得
的方程为
，得
的方程为
．
，
．
，
…… 10 分
而
． …… 12 分
设 ， ，则 ，
所以
所以
18．（本小题满分
16 分）
．
，
…… 14 分
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，
小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 的
正三角形
且
六边形徽标
（1）当
绕其中心 逆时针旋转 到三角形
．顺次连结
．
时，求六边形徽标的面积；
（第 18 题）
，
，得到
O
（2）求六边形徽标的周长的最大值．
【解】连结
，
当正三角形
有
．在正三角形
，
中，
．
位置时，
，
，
…… 2 分
绕中心 逆时针旋转到正三角形
，
数学参考答案与评分细则 第 6页（共 16页）
，
所以 ≌ ≌ ， ≌ ≌ ，
所以 ， ．
（1）当
时，设六边形徽标的面积为 ，则
．
答：当 时，六边形徽标的面积为 ．
（2）设六边形徽标的周长为 ，则
， ．
所以当 ，即 时， 取最大值 ．
答：六边形徽标的周长的最大值为 ．
19．（本小题满分 16 分）
已知数列
满足： ，且当 时， ．
（1）若 ，证明：数列 是等差数列；
（2）若 ．
① 设 ，求数列 的通项公式；
数学参考答案与评分细则 第 7页（共
16页）
…… 4 分
…… 6 分
9 分
…… 11 分
…… 13 分
…… 16 分
……
② 设
，证明：对于任意的 ，当 时，都有 ．
】（1） 时，由 ，得
所以 ，即
（常数），
所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列．
（2） 时， ， 时，
．
① 时， 所以 ．
所以 ．
又 ，所以 ．
又 ，所以
（常数）．
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 ．
②由①知， ， ．
所以 ，
所以 ．
所以
．
当
时， ，所以 ；
数学参考答案与评分细则 第 8页（共 16页）
…… 2 分
…… 4 分
…… 6 分
…… 8 分
…… 10 分
…… 12 分
…… 14 分
【解
当
当
所以若
时，
时，
，所以
，所以
，则
；
．
． …… 16 分
20．（本小题满分 16 分）
设函数
（1）当 时，求函数
的导函数
，其中 为自然对数的底数．
的单调减区间；
有三个零点 ， ， ． （2）已知函数
① 求 的取值范围；
② 若 ，
【解】（1）
令
所以函数
（2）①
则导函数
又
所以
所以
令
在
．
， ．
时，
，得
是函数 的两个零点，证明：
，
．
． ，其定义域为
，
．
，
的单调减区间为
，设
…… 3 分
有三个零点，即函数
，若 ，则
有三个非零的零点．
，
至多有 1 个零点，不符合题意，
…… 5
分
上是减函数，
列表如下：
数学参考答案与评分细则 第 9页（共
16页）
极大值 极小值
所以 即 解得 ． …… 8 分
又
所以
因为当
在
，
上有且只有 1 个非零的零点．
时， ，
，且
，
，
又函数
所以
的图象是连续不间断的，
在 和
．
上各有且只有 1 个非零的零点．
…… 10 分 所以实数 的取值范围是
②（证法一）由 ，得
设
又因为
所以
由①知
因为
所以
或
，
，所以
，所以
时，
，且
．
；
．
，
，
，所以 ．
时， ．
，
数学参考答案与评分细则 第 10页（共 16页）
．
所以
成立．
知：
，
，
得：
，又 ，故
在
，即
， ．
，
…… 14 分
…… 16 分
（证法二）依题设
由①知
由①知
又由
所以
于是
（Ⅰ）
即
（Ⅱ）
即
又
又
所以
， ，故
，所以
，得证．
，
，
，又 ，
，设
，所以
，
上单调递减． …… 12 分
，
，
，所以 ；
，
…… 14 分
，即 ．
……
16 分
21．【选做题】本题包括 A、B、C
三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修
4
-
2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知 ，向量 是矩阵
的属于特征值 3 的一个特征向量．
（1）求矩阵 ；
数学参考答案与评分细则 第
11页（共 16页）
（2）若点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点
的坐标．
【解】（1）因为向量 是矩阵 的属于特征值 3 的一个特征向量，
所以
，即 ，
所以 解得
所以 ． …… 5 分
（2）设 ，则 ，
所以 解得
所以点 的坐标为 ． …… 10 分
B．[选修
4
-
4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
中，已知直线 的参数方程 （t 为参数），椭圆 C 的
参数方程为 ( 为参数)．求椭圆 C
上的点 到直线 的距离的最大值．
【解】（方法一）直线 的普通方程为
设 ，
． …… 2 分
则点 到直线 的距离
当 ，即 （ ）时，
．
．
． …… 8 分
…… 10 分
（方法二）直线 的普通方程为
数学参考答案与评分细则 第 12页（共 16页）
椭圆 C 的普通方程为
设与直线 平行的直线方程为
．
，
…… 4 分
由 消
，得 ．
令
所以直线
当
，得 ． …… 8 分
与椭圆
相切．
时，点 到直线 的距离 最大，
． …… 10 分
C．[选修
4
-
5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知 都是正实数，且
；（2）
都是正实数，所以
，所以
都是正实数，
，①
，②
．③
由①+②+③，得
所以
又因为 ，所以
，
，得证． …… 10 分
，
…… 6 分
，即
．
．
．
，得证． …… 4 分
证明：（1）
【证】（1）因为
又因为
（2）因为
所以
【必做题】第
22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
数学参考答案与评分细则 第 13页（共
16页）
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分 10 分)
如图，在直四棱柱
（1）求二面角
（2）若点 为棱
与平面
【解】在直四棱柱
因为
所以
又
平面
，
，以
，
中，
的余弦值；
的中点，点 在棱
所成角的正弦值为
中，
（第 22 题）
， ， ．
上，且直线
，求 的长．
，
．
平面 ，
为正交基底，
． 建立如图所示的空间直角坐标系
由
，
．
（1）
设平面
，
的一个法向量
，得
…… 2 分
，
，
则 即
不妨取
因为
设二面角
，则
平面
， ，所以 ．
．
…… 4 分
，所以平面
的一个法向量为
的平面角的大小为 ，根据图形可知，
数学参考答案与评分细则 第
14页（共 16页）
．
所以二面角
（2）设
又 为
设平面
的余弦值为 ．
，则 ．
，
，
，
…… 6 分
的中点，则
的一个法向量
．
由 得
取
设直线
，则
与平面
， ，所以
所成角的大小为
，
． …… 8 分
则 ，
所以
所以
或
.
（舍去）.
…… 10 分
23．(本小题满分 10 分)
一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只.
现从口袋中先后有放回地取球
（1）当
次 ，且每次取 1 只球.
时，求恰好取到 3 次红球的概率；
次取球中取到红球的次数，随机变量 （2）随机变量
表示
求 的数学期望（用 表示）.
【解】（1）当 时，从装有 5
只小球的口袋中有放回的取球 6 次，共有 个基本事件.
个. 记“恰好取到 3
次红球”为事件 ，事件 包含基本事件有
因为上述 个基本事件发生的可能性相同，
故
.
数学参考答案与评分细则 第 15页（共 16页）
答：当
时，恰好取到 3 次红球的概率为 . …… 3 分
. （2）由题意知，随机变量
的所有可能取值为
则 .
.
.
所以
.
令 ，
，
则
，
…… 5 分
…… 7 分
.
，
所以
所以
答： 的数学期望为 .
.
.
…… 10 分
数学参考答案与评分细则 第 16页（共 16页）