莫言诺贝尔奖作品-出纳职责

第一章 1.3 1.3.2

一、选择题
1．如果三个球的半径之比是
( )
5
D．倍
9
C．2倍
[答案] B
36π
9
[解析] 设小球半 径为1，则大球的表面积S
大
＝36π，S
小
＋S
中
＝20 π，＝.
20π
5
2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和 为6π，则两球的半径之差为
( )
A．1
C．3
[答案] A < br>4π
4π



3
R
3
＋
3
r
3
＝12π

R＝2
[解析] 设两球的半径分别为R 、r(R>r)，则由题意得

，解得

.

r＝1



2πR＋2πr＝6π
B．2
D．4
9
B．倍
5
D．3倍
，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的


故R－r＝1.
3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
D．
C．
6π

6
2π

2
B．
π

2
3π
D．
2π
[答案] A
a
[解析] 由6a＝4πR得＝
R
2 2
2π
V
1
a
3
3
，∴＝＝

3 V
2
4
3
4π

πR
3
6π
2π

3
＝.
6
3

4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )
π
D．
3
π
C．
2
[答案] C
4
[解析] 设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a
2
＝4R
2
，∴a
2
＝R
2
，
3

π
B．
4
D．π

4
π
球的表面积S
1
＝4πR
2
，正方体的表面积 S
2
＝6a
2
＝6×R
2
＝8R
2
，∴S
1
S
2
＝.
32
5．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A．
C．
3
3
B．
D．


[答案] C
13
[解析] 设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的 外接球的半径为a，
22
故所求体积之比为3.
6．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)
2

C．4πRr
[答案] C
[解析] 解法一：如图，设球的半径为r
1
，则在Rt△CDE中，DE＝2r1
，CE＝R－r，
222
DC＝R＋r.由勾股定理得4r
2
1
＝(R＋r)－(R－r)，解得r
1
＝Rr.故球的表面积为D
球
＝4πr
1
＝
B．4πr
2
R
2

D．π(R＋r)
2

4πRr.

解法二：如图，设球 心为O，球的半径为r
1
，连接OA、OB，则在Rt△AOB中，OF是
斜边AB上 的高．由相似三角形的性质得OF
2
＝BF·AF＝Rr，即r
2
1
＝Rr，故r
1
＝Rr，故球
的表面积为S
球
＝4πRr.
二、填空题
9π
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正 方体的棱长为________.
2
[答案] 3
[解析] 设正方体棱长为a，球半径为R，
4
9π
3
则
πR
3＝，∴R＝，∴3a＝3，∴a＝3.
322
8．已知棱长为2的正方体的体积与球O的 体积相等，则球O的半径为________.
[答案]
3
6

π
4
[解析] 设球O的半径为r，则
πr
3
＝2
3
，
3

3
6
解得r＝.
π
三、解答题 9．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S
1
、S
2
、S
3
，试比较
它们的大小.
[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S
1
＝6a
2
，
S< br>2
＝4πR
2
，S
3
＝6πr
2
.
4
由题意知，
πR
3
＝a
3
＝πr
2
· 2r，
3
3
3
3
1
∴R＝a，r＝a，
4π2 π
3
9
2
3

3
3

22
∴S
2
＝4π

a

＝4π·
16π
2
a＝
36πa
，

4π

3
1
2
3

3
1

22
S
3
＝6π< br>
a

＝6π·
4π
2
a＝54πa，

2π

∴S
2
3
.
33
又6a
2
>32πa
2
＝54πa
2
，即S
1
>S
3
.
∴S
1
、S
2
、S
3
的大小关系是S
2
3
1
.
10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，
l＝3， 试求该组合体的表面积和体积.

[解析] 该组合体的表面积S＝4πr
2
＋2πrl＝4π×1
2
＋2π×1×3＝10π.
44
13π
该组合体的体积V＝
πr
3
＋πr
2
l＝
π×1
3
＋π×1
2
×3＝.
333

一、选择题
1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )

[答案] B
[解析] 选项D为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是
虚线，故选B．
2．若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm
2
，则此球的体积为( )
π
D． cm
3

6
4π
C． cm
3

3
[答案] A
[解析] 设球的半径为R，正方体的棱长为a，
1
∴6a
2
＝6，∴a＝1.∴2R＝1，∴R＝.
2
4 41
π
∴球的体积V＝
πR
3
＝
π×(
)
3
＝.
3326
3．一个球与一个上、下底为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧 面和两个底面都相切，
32π
已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是( )
3
A．963
C．243
[答案] D
[解析] 由题意可知 正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三
4
角形，正三角形与棱柱底的 三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V
球
＝×πr
3
3
32π
1
＝解r＝2.S
底
＝×a×
32
a
21
a－＝a·r×3，得a＝23r＝43，所以V
柱
＝S
底
· 2r＝483.
42
2
B．
D．
6π
cm
3

8
6π
cm
3

6
B．163
D．483
4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视 图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视
图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体 积为( )

D．
C．
2π1
＋
32
2π1
＋
66
4π
1
B．＋
36
2π
1
D．＋
32
[答案] C
11
[解析] 由已知的三视图可知原几何体的上方是三 棱锥，下方是半球，∴V＝×(
32
4π
2112π
×1×1)×1＋[()
3
]×＝＋，故选C．
32266
二、填空题
5．一个半径为2 的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
面积为________.

[答案] 16π
1
[解析] 该几何体是从一个球体中挖去个球体后剩 余的部分，所以该几何体的表面积
4
π×2
2
3
2
为×(4 π×2)＋2×＝16π.
42
6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同 的球(球的半径与圆柱的底面半径
相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是___ _____cm.

[答案] 4
[解析] 设球的半径为r，则圆柱形容器的高 为6r，容积为πr
2
×6r＝6πr
3
，高度为8 cm
4
的水的体积为8πr
2,
3个球的体积和为3×
πr
3
＝4πr< br>3
，由题意得6πr
3
－8πr
2
＝4πr
3
，解得r＝
3
4(cm)．
三、解答题
7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水

中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
[解析] 设取出小球后，容器中水面下降h cm，
4π
5
125π
两个小球的体积为V
球
＝2[×( )
3
]＝(cm
3
)，
323
此体积即等于它们的容器中排开水的体积
V＝π×5
2
×h，
125π
所以＝π×5
2
×h，
3
55
所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.
33
8．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径.
[解析] 如图，设SO
1
是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO
1
上．

设外接球半径为R.
∵四面体的棱长为a，O
1
为正△ABC中心，
233
∴AO
1
＝×a＝a，
323
SO
1＝SA
2
－AO
2
1

＝
16
a
2
－a
2
＝a，
33
222
在Rt△OO
1
A中，R
2
＝AO
2
1＋OO
1
＝AO
1
＋(SO
1
－R)，
即R
2
＝(
解得R＝
3
2
6
a)＋(a－R)
2
，
33
6
a，
4
46
∴所求外接球体积V< br>球
＝
πR
3
＝
πa
3
.
38∴OO
1
即为内切球的半径，OO
1
＝
∴内切球的半径为
6
a.
12
666
a－a＝a，
3412