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高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面
体是球的内 接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接
球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考 查的一个热点. 考查
学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要
运用 多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的
有关几何元素与球的半径之间的关系，而 多面体外接球半径的求法在
解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的 表面
积为______________ .
27

.
例2 一 个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为
24
，则该球的体积为 ______________.
43

.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的 三条
棱长分别为
1,2,3
，则此球的表面积为 .
14

.
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为1 6，

则这个球的表面积为（ ）.
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32


C.
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其 侧棱垂直于底面，已知
9
该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
8< br>，底面周
长为３，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长 为
x
，高为
h
，则有
6x3,
1

< br>x,

2

93
2


xh,

6
4

h3．

8

∴正六棱柱的底面圆的半径
22
Rrd1
.外接球的半径
r
3
1
d
2
.∴
2
，球心到底面的距离
V球

4

3
.
222
Rrd
小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3
，则 其外

接球的表面积是_______________.
9

.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外
接球的表面积是 .
2
故其外接球的表面积
S4

R9

.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
别为
a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的
体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为
R
，
222
则有
2Rabc
.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为
体对角线长为
即
练习 ：在四面体
别为
中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分
，几何体的外接球直径为，则
体对角线长
，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表
面积。球的表面积为
例 6一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，
则此球的表面积为（ ）

A.
3

B.
4

C.
33

D.
6


A. (如图2)
例7）在等腰梯形
ABCD中，
AB=2DC=2
，
DAB=60
，
E
为
AB
的
中点，将
ADE
与
BEC
分布沿
ED
、
EC
向上折起，使
A、B
重合于点
P
，
则三棱锥
P-DCE
的外接球的体积为（ ）.
43666


A.
27
B.
2
C.
8
D.
24

0
解析：（如图3） 因为
AE=EB=DC=1
，
DAB=C BE=DEA=60
，
所以
ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥
P-DCE
为正四面体，至此，
0
这与例6就完全相同了，故 选C.




D
C
P
A


E
B
图3
D
E
C
DA平面ABC
，
ABBC
，例8 （ 2已知球
O
的面上四点A、B、C、D，
DA=AB=BC=3
，则球
O
的体积等于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半 径.
而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于
DA平面ABC
，
AB BC
，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，
又因为
DA=AB =BC=3
，则此长方体为正方体，所以
CD
长即为外接球

9

O
CD=3
2
的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（ 如图4）








B
A
O
D
图4
C
2、例9（2008年安徽高考 题）已知点A、B、C、D在同一个球
面上，
AB平面BCD
，
BCDC
，若
AB6,AC=213,AD=8
，则球的体
积是 . < br>解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是
AD
为球的
直径，O为球心 ，
OB=OC=4
为半径，要求B、C两点间的球面距离，
只要求出
BOC
即可，在
RtABC
中，求出
BC=4
，所以
BOC= 60
，故
4

B、C两点间的球面距离是
3
.（如图5）
0





A
O
B
C
D
图5

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积
为16，则这个球的表面积是
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32

.选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直
径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥
SABCD
的底面 边长和各侧棱长都为
2
，点
S、A、B、C、D
都在同一球面上，则此球的体 积为
S
.
D
C
O
1
图3
B
解 设正四棱锥的底面中心为< br>O
1
，外接球的球心
为
O
，如图1所示.∴由球的截面的性质 ，可得
OO
1
平面ABCD
.
A
又
SO
1
平面ABCD
，∴球心
O
必在
SO
1
所在的 直线上.
∴
ASC
的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就
是外接球的半径.
222
SASC2，AC2
SASCAC
A SC
在中，由，得.

∴
ASC是以AC为斜边的Rt
.
AC4

1V
球

3
. ∴
2
是外接圆的半径，也是外接球的半径.故
小结 根据题意，我们可以选择最佳角 度找出含有正棱锥特征元
素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半
径 .本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方
法的实质就是通过寻找外接球的一个轴 截面圆，从而把立体几何问题
转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们
学习.
五 .确定球心位置法
例5 在矩形
ABCD
中，
A B4,BC3
，沿
AC
将矩形
ABCD
折成一
个直二面 角
BACD
，则四面体
ABCD
的外接球的体积为
125125125


1296
A. B. C.
125

D.
3

A
D
C
B
O
图4
解 设矩形对角线的交点为O
，则由矩形对角线互
相平分，可知
OAOBOCOD
.∴点O
到四面体的四个顶点
A、B、C、D
的距离相等，即点
O
为四 面体的外接球的球心，如图2所
ROA
54125
V
球


R
3


2
.故
36
.选C. 示.∴外接球的半径
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角

形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，
，
解：
因为
所以
在
，
且
，
，
所以知
所以可得图形为：
中斜边为
,求球的体积。
，，

,
且
在中斜边为
取斜边的中点，
在
在
中
中


，即为该四面体的外接球的球所以在几何体中
心

所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，
其中底 面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积
是（ ）
A．
33
4
B．
3
3
C．
3
4
D．
3
12

答案 B
2. 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C< br>1
的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
1
2
,
BAC120
，则此球的表面积等于 。
解:在
ABC
中
ABAC2
,
BAC120
,可得
B C23
,由正弦定理,可
得
ABC

外接圆半径r=2,设此圆 圆心为
O

，球心为
O
，在
RTOBO

中，易得
球半径
R5
，故此球的表面积为
4

R
2
20

.
3．正三棱柱
ABCA
1
B< br>1
C
1
内接于半径为
2
的球，若
A,B
两点 的球面距离
为

，则正三棱
柱的体积为 ．
答案 8
4.表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球
的体积为
A．
222
12

B．

C．

D．


33
33
答案 A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为
a< br>的正三角形，所以由
3a
2
823
知，
4
a1
，则此球的直径为
2
，故选A。

5.已知正方体外接球的体积是
2
B.
43

3
32

，那么正方体的棱长等于（ ）
3
2342
C.
33
D.
答案 D
6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶
3
B. 1∶3 C. 1∶3
3

D. 1∶9
答案 C
7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且
该六棱柱的体积为
．
答案
4


3
9
，底面周长为3，则这个球的体积为
8
8. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且
一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案
14π

9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm
的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm
2
.

答案
242

10.（2 006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
PABCDEF
，则此正六棱
锥的侧面积是________．
P

答案
67


C
B


A
F
D
E
11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
2


12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体
外接球的表面积为 （ ）


A．
3


C．
16


3
B．
2


D．以上都不对
答案C
23
13.设正方体的棱长为
3
，则它的外接球的表面积为（ ）
A．

B．2π C．4π D．


答案C
1 ．（2012新课标理）已知三棱锥
SABC
的所有顶点都在 球
O
的求面
上,
ABC
是边长为
1
的正三角形,
SC
为球
O
的直径,且
SC2
;则
8
3
4
3

此棱锥的体积为 （ ）
A．
2

6
B．
3

6
C．
2

3
D．
2

2
25．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面
ABCD,四边 形ABCD是边长为2
3
正方形.若PA=2
6
,则△OAB的
面积 为______________.