高二数学立体几何试题与答案
辽宁工程技术大学教务处-竞选班委演讲稿
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【模拟试题】
一. 选择题（每小题 5 分，共 60
分）
1. 给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；
③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（
A. 0
2. 下列四个命题：
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；
②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
③棱锥的所有面可能都是直角三角形；
④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有 ________个
A. 1
的对角线长为（
A.
12
B. 2
）
B. 24 C. 2 14 D. 4 14
24cm，
C. 3 D. 4
1：2：3，它的表面积为 88，则它 3.
长方体的一个顶点处的三条棱长之比为
B. 1
）
C. 2 D. 3
4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为
深为 8cm
的空穴，则该球的半径是（
A. 8cm B. 12cm
）
D. 8 2cm
C. 13cm
5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是
（ ）
1 2 1 4 1 2 1 4
A.
2
B.
4
C. D.
2
6. 已知直线 l 平面 ，直线m
①
l m
；②
平面 ，有下面四个命题：
；④
l m
。
l m
；③
l m
其中正确的两个命题是（
A. ①② B. ③④
）
C. ②④ D. ①③
）
7.
若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中， 量得水面的高度为 6cm，
若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（
2 3
D. 3 12 A. 6 3cm B. 6cm C. 2 18
1
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2
8.
设正方体的全面积为 24cm ，一个球内切于该正方体， 那么这个球的体积是
（
A.
）
3
6
cm
32
3
B.
3
cm
8
3
C.
3
cm
4
3
D.
3
cm
9. 对于直线 m、n 和平面
、 能得出
A. m n，m ，n
C. m n，n ，m
的一个条件是（
m，n
，n
，l ，m
）
B. m n，
D. m n，m
10. 如果直线 l、m 与平面 、 、
满足： l
么必有（
A.
）
和l m B.
D.
，m ，那
，和m
且 C. m ，且l m
11.
已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面
体的体积与正方体的体积之比为（
A.
1： 3
B. 1：2
）
C. 2：3 D. 1：3
V 与水深 h 的函数关系 12. 向高为
H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量
的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
二.
填空题（每小题 4 分，共 16 分）
，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是
13. 正方体的全面积是 a
2
__________。
3
14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为
台的高为
____________。
5：2：8，体积为 14cm ，则棱
15.
正三棱柱的底面边长为 a，过它的一条侧棱上相距为 b 的两点作两个互相
平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为 ____________。
2
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16. 已知 、
是两个不同的平面， m、n 是平面 及 之外的两条不同的直线，
给出四个论断：
①m⊥n，② ，③
n
，④ m 。
以其中三个论断作为条件，
余下一个论断作为结论， 写出你认为正确的一个
命题______________。
三. 解答题（共 74分）
17. （12 分）正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G
分别是棱 DA、DC、
DD
1
的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面 EFG 平行的平面，并证明之。
18.
（12 分）球内有相距 1cm 的两个平行截面，截面的面积分别是
2 2
5 8
cm 和 cm
，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12
分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
3
2
，这个梯形 20. （12 分）直角梯形的一个内角为 45° ，下底长为上底长的
绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（
的体积。
5 2 ）
，求这个旋转体
21. （12 分）有一块扇形铁皮 OAB，∠AOB=60°
，OA=72cm，要剪下来一
个扇形 ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形
（1）AD 应取多长？
（2）容器的容积。
OCD 内剪下一块与其相
切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求
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3
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20. （14 分）如图，正四棱柱
ABCD A B C D
21.
1 1 1
1
中，底面边长为 2
为 4，E、F 分别为 AB、BC
的中点， EF BD G 。
（1）求证：平面 B EF BDD B
1
平面
1
；
（2）求点
D
1
到平面
B EF
1
的距离 d；
（3）求三棱锥
B EFD
1
1
的体积 V。
【试题答案】
一.
22.
B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D
7. B 8. D 9. C 10.
A 11. D 12. B
二.
2
a
13.
2
14. 2cm 15. 3ab
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2 ，侧棱长
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16.
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m n，，m ，n
4
n）m n （或，m
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三.
17. 证明：过 A、C、D
1
的平面与平面 EFG 平行，由 E、F、G
是棱 DA、DC、
平面 EFG，GF 平面 EFG
DD
1
的中点可得 GE
AD
1
，GF
CD
1
，GE
∴
AD
1
平面 AEG，
CD
1
平面 EFG
又
AD
1
CD
1
D
1
∴平面 EFG平面
ACD
1
18.
解：如图，设两平行截面半径分别为 r r r
1
和
2
，且
2
r
1
2 2
依题意，
r
5 ，
2
2 2
r
8
1
r
1
5
r
，
2
8
OA OA R
和 都是球的半径
1
2
2 2 2
OO
1
2
R
2
r
1
2
R
2
5
OO R
2
r
2
R
2
8
R
2
解得
R
S
球
5
9
2
R 8 1
R 3
2
4 R
4
2
36 (cm )
3
V
球
R
3
36 (cm )
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19.
解：由三视图知正三棱锥的高为 2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为 2 3mm
3
设底面边长为 a，则
2
a 2
3
∴正三棱柱的表面积
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a 4
5
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1
2
S
S
侧
2S
底
3 4 2 2
2
4 2 3 24 8 3(mm )
22. 解：如图，梯形 ABCD，ABCD
，∠A=90° ，∠B=45° ，绕 AB 边旋转
一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
3
设
CD x，AB x
2
AD
AB CD
x
，
2
2
BC x
2
S
全面积
S
圆柱底
S
圆柱侧
S
圆锥侧
2
AD 2
AD CD AD BC
2
x
2
x
4
x x
2
x
2 2
2
5 2
2
4
x
5 2
2
根据题设
4
x (5 2) ，则x
2
所以旋转体体积
2 2
V AD CD AD ( AB CD)
3
2
2
( )
1 2 1 3 2
3
7
3
23. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为 r、
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R、AD=x ，则OD 72 x
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6
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由题意得
⌒
AB
⌒
60
CD
OD
2
r
180
72 x 3R
(72 x)
2 R
60
180
72
R 12，r
AD 36cm
6，x 36
2
( )
2
36
2
(12
6)
2
6 35
（2）又圆台的高h=
x
1
2
2
R r
V
3
1
3
h(R Rr r )
2 2
6 35 (12 12 6 6 )
3
504 35
(cm )
24. 证明：（
1）如图，连结AC
∵正四棱柱
ABCD
∴AC⊥BD
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A
1
B
1
C
1
D
1
的底面呈正方形
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7
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又 AC⊥
D D
1
∴AC⊥平面
BDD
1
B
1
∵E、F 分别为
AB 、BC 的中点
∴EFAC
∴EF⊥平面
BDD
1
B
∴平面 B EF
1
BDD B
平面
1 1
解（2）在对角面
BDD
1
B
1
中，作
D
H B G
1 1
，垂足为 H
B G
1
∵平面
B
1
EF 平面BDD
1
B
1
，且平面
B
1
EF
平面
BDD B
1 1
∴D
H B EF H
1
平面
1
，且垂足为
∴
D
1
H
为点
D
1
到平面
B
1
EF
的距离
在
Rt△
D
1
HB
1
中，
D H
1
D B
1
D B H
sin
1 1
D B
1 1
2 A B
1 1
2 2 2
1
4
sin D B H
1 1
sin B GB
1
B B
GB
1
4
17
D H
1
4
4
17
16 17
17
1
V
D
1
V
V
B
1
EFD
1
B EF
1
D H
S
B EF
1
1
（2）
1
16
1
2
3
17
2
16
3
17
3
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