广东志愿者-赵楚然

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三5月模拟
数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
，xZ
，B＝
x0x2
，则A
I
B＝ ． 1．已知集合A＝
xx1
答案：{0，1}
考点：集合的运算


，xZ
解析：∵A＝
xx1
∴A＝{﹣1，0，1}
∵B＝
x0x2

∴A
I
B＝{0，1}
2．已知复数
z
＝(1＋2i)(
a
＋i)，其中i是虚数单位．若
z
的实部与虛部相等，则实数
a
的
值为 ．
答案：﹣3
考点：复数的运算
解析：
z
＝(1＋2i)(
a
＋i)＝
a
﹣2＋(2
a
＋1 )i
由
z
的实部与虛部相等得：
a
﹣2＝2
a
＋1，解得
a
的值为﹣3．
3．某班有学生52人，现将所有学生随机编 号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，
已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还 有一个学生的编号是 ．
答案：18
考点：系统抽样方法
解析：根 据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知其中三个个
体的编号为5，31， 44，故还有一个抽取的个体的编号为18．
4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙 两人同时各抽取1张奖券，两人都
未抽得特等奖的概率是 ．
答案：


1

3
考点：古典概型
解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得特等奖有2
种情况，所以 P＝
5．函数
f(x)
21
＝．
63
xlog
2
(1x)
的定义域为 ．
答案：[0，1)
考点：函数的定义域
解析：由题意得：

< br>x0
，解得0≤
x
＜1，所以函数的定义域为[0，1)．

1x0
1

6．下图是一个算法流程图，则输出的
k
的值为 ．

答案：3
考点：算法初步
解析：
n
取值由13 →6→3→1，与之对应的
k
为0→1→2→3，所以当
n
取1时，
k
是3．
7．若正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的所有棱长均为2，点P为侧棱AA
1
上任意一点，则四棱锥P—BCC
1< br>B
1
的体积为 ．

答案：

43

3
考点：棱锥的体积
解析：由于AA
1
∥ 平面BCC
1
B
1
，所以点P到平面BCC
1
B
1
的距离就是点A
1
到平面BCC
1
B
1
的距离2
为
3
，所以V
P—BCC1B1
＝
23
＝
1
3
43
．
3
3
8．在平面直角坐标系
xOy
中，点P在曲线C：
yx10x3
上，且在第四象限内．已知
曲线C在点P处的切线为
y2xb
，则实数
b
的值为 ．
答案：﹣13
考点：函数的切线
解析：∵
yx10x3

2

3

∴
y

3x10

∵曲线C在点P处的切线为
y2xb

∴
3x102

∵P在第四象限
∴
x
＝2，求得
y
＝﹣9
∴
b
＝﹣9﹣2×2＝﹣13
9．已知函数
f(x)3sin(2x< br>
)cos(2x

)
(0＜

＜
< br>)是定义在R上的奇函数，则
2
2
f()
的值为 ．
8
答案：
2

考点：三角函数的图像与性质
解析：f(x)3sin(2x

)cos(2x

)=2sin(2 x


∵
f(x)
是定义在R上的奇函数
∴




6
)


6
k

，
k
Z，由0＜

＜

求得


6

∴
f(x)2sin2x< br>，则
f(
2

)2sin()2

84< br>1
，2]上
2

10．如果函数
f(x)(m2)x2 (n8)x1
(
m
，
n

R且
m
≥2 ，
n
≥0)在区间[
单调递减，那么
mn
的最大值为 ．
答案：18
考点：二次函数的性质
解析：当
m
＝2时，f(x)2(n8)x1
，要使
f(x)
在区间[
此时
m n
＝2
n
无最大值，不符题意，舍去
1
，2]上单调递减，则n
＜8，
2
当
m
＞2时，
f(x)(m2)x2 (n8)x1
是开口向上的抛物线，对称轴为
x
＝
2
8n18 n
，要使
f(x)
在区间[，2]上单调递减，则2≤，即0≤
n
≤12﹣2
m
，
m22m2
6
2
所以
mn≤
m
(12﹣2
m
)＝2
m
(6﹣
m
)≤
2()
＝18，当且仅当
m
＝3取“＝”，所以
mn
2
的最大值为18．
x
2
x
2
y
2
2< br>y1
与双曲线
2

2
1
(
a
＞0，
b
＞0)有相同的焦点，其左、右焦点11．已知椭圆
2ab
分别为F
1
、F
2
，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F
1
P＝F
1
F
2
，则双曲线的离
心率为 ．
3

答案：
2+2

2
考点：圆锥曲线的定义、性质
解析：由题意得：F
1
P＝F1
F
2
＝2，则PF
2
＝
222
，所以2< br>a
＝2﹣(
222
)＝4﹣
22
，
则
a< br>＝2﹣
2
，所以
e
＝
2+2
c1

＝．
2
a
22
12．在平面直角坐标系
xOy
中，点A 的坐标为(0，5)，点B是直线
l
：
y
1
x
上位于第一
2
象限内的一点，已知以AB为直径的圆被直线
l
所截得的弦长为
2 5
，则点B的坐标
为 ．
答案：(6，3)
考点：直线与圆
解析：设点B(
x
0
，
1
1
2
(x0
5)
2
，求得点A到直线
l
的距离为
25
，
x
0
)，则AB
x
0
2
2
1
2
2
22
又因为弦长为
25
，所以AB＝
210
， 由
x
0
(x
0
5)
＝
210
求得x
0
4x
0


，故点B的坐标为(6，
1 20
，因为点B位于第一象限，所以
x
0
＝6（负值已舍去）
3) ．
13．已知数列

a
n

的前
n
项和 为
S
n
，
a
1
1
，
a
2
2
，
a
n2



a
n
 2，n2k1，kN


，



2an
，n2k，kN
则满足2019≤
S
m
≤3000的正整 数
m
的所有取值为 ．
答案：20，21
考点：等差数列、等比数列前
n
项和
(1m)
解析：当
m
为奇数时，
S
m

m1
m1
m1
2
2(21)m1
2
2
()2
2
2
， 显然
S
m
是
2212
单调递增的，又
S
192019
，
2019S
21
3000
，
S
23
3000
，所以
m
取21符合
m1
m
2
2
2
2
，又
S
18
2019
，2019S
20
3000
，题意；当
m
为偶数时，
S
m

4
S
22
3000
，所以
m取20符合题意．综上所述，正整数
m
的所有取值为20，21．
uuuuru uur
14．已知等边三角形ABC的边长为2，
AM2MB
，点N、T分别为线段 BC、CA上的动点，
4

uuuruuuruuuruuuruu uruuuur
则
ABNTBCTMCAMN
取值的集合为 ．
答案：{﹣6}
考点：平面向量的坐标运算
解析：建立如图所示的平面直角坐标系

则A(0，
3
)，B(﹣1，0)，C(1，0)
uuuuruuur
3
2
由
AM2MB
得M (

，)，设N(
n
，0)，直线AC为：
y3x3
，设T(
t
，
3
3
3t3
)
uuuruuur
所以
ABNT(1,3)(tn,3t3)2tn3
，
uuuruuur
224
3)2t
，
BCTM(2,0)(t,3t
333
uuuruuuur
235
)n

CAMN(1,3)(n,
333
uuuruuuruuuruuuruuuruuuur
45
则
ABNTBCTMCAMN=2tn32tn6
．
3 3
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字 说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy
中，以
x
轴正半轴为始边的锐角

的终边与单位圆O交< br>于点A，且点A的纵坐标是
（1）求cos(

﹣
10
．
10
3

)的值；
4
（2）若以
x
轴正 半轴为始边的钝角

的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为

5，求

＋

的值．
5
5

解析：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是
所 以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝
310
2
从而cos α＝1－sinα＝.(3分)
10
3π3π3π3102102
(1) cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(－)＋×＝－
444102102
5
.(6分)
5
(2) 因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－
所以cos β＝－
525
2
，从而sin β＝1－cosβ＝.(8分)
55
10531025
×(－)＋×＝
105105
5
，
5
10
.
10
10
，
10
于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝
2
.(10分)
2
π3π
因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(，)，(12分)
22
3π
从而α＋β＝.(14分)
4
16．（本小题满分14分）
如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平 面互相垂直，AB＝
2
，AF＝l，M是线
段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF．
6

解析：证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE，
∵ 四边形ACEF是矩形，∴ EF∥AC，EF＝AC.
∵ O是正方形ABCD对角线的交点，
∴ O是AC的中点．
又点M是EF的中点，∴ EM∥AO，EM＝AO.
∴ 四边形AOEM是平行四边形，
∴ AM∥OE.(4分)
[来源:学。科。网]
∵ OE平面BDE，AM平面BDE，
∴ AM∥平面BDE.(7分)
(2) ∵ 正方形ABCD，∴ BD⊥AC.
∵ 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD
∴ BD⊥平面ACEF.(9分)
∵ AM平面ACEF，∴ BD⊥AM.(10分)
平面ABCD，
∵ 正方形ABCD，AD＝2，∴ OA＝1.
由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形．
∵ AF＝1，∴ 四边形AOMF是正方形，(11分)
∴ AM⊥OF.(12分)
又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF平面BDF，BD平面BDF，
∴ AM⊥平面BDF.(14分)
17．（本小题满分14分）
某广告商租用了一块如图所示 的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆
心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个 以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该
广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区C OPQ，其中P、Q分別在半圆O与
半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q．己知AB长为40米 ，设∠BOP为2

．（上述
图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形C OPQ的周长为
f(

)
，求
f(

)
的 表达式；
（2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin

的值．
7

π
解析：解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，)．
2
在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得
222
PC＝OC＋OP－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分)
因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，
所以PQ＝PC－CQ＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝202cos θ.(4分)
所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋202cos θ，
π
即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，)．(7分)
2
(没写定义域，扣2分)
(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则
π
S(θ)＝S
△OCP
＋S
△QCP
＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，)．(10分)
2
所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cosθ－2sinθ)＝100(－4sinθ－2sin θ＋
π
2)，θ∈(0，)．(12分)
2
令S′(t)＝0，得sin θ＝
列表：

sin θ
S′(θ)
S(θ)
(0，
34－2
)
8
＋
增
34－2

8
0
最大值
(
34－2
，1)
8
－
减
34－2
.(14分)
8
34－2
.
8
222
222
答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为
18．（本小题满分16分）
x
2
y
2
在平面直 角坐标系
xOy
中，已知椭圆C：
2

2
1
(< br>a
＞
b
＞0)的左、右焦点分别为F
1
，
ab
F
2
，且点F
1
，F
2
与椭圆C的上顶点构成边长为2的 等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线
l
与椭圆C相切于 点P，且分别与直线
x
＝﹣4和直线
x
＝﹣1相交于点M、
N．试判 断
NF
1
是否为定值，并说明理由．
MF
1
8

解析：解：(1) 依题意，2c＝a＝2，所以c＝1，b＝3，
22
xy
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
43
(2) ① 因为直线l分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交，
所以直线l一定存在斜率．(6分)
② 设直线l：y＝kx＋m，


y＝kx＋m，
222
由

2
得(4k＋3)x＋8kmx＋4(m－3)＝0.
2

3x＋4y＝12，

由Δ＝(8km)－4×(4k＋3)×4(m－3)＝0，
22
得4k＋3－m＝0 ①.(8分)
把x＝－4代入y＝kx＋m，得M(－4，－4k＋m)，
把x＝－1代入y＝kx＋m，得N(－1，－k＋m)，(10分)
所以NF
1
＝|－k＋m|，
MF
1
＝（－4＋1）＋（－4k＋m）＝9＋（－4k＋m） ②，(12分)
22
由①式，得3＝m－4k ③，
把③式代入②式，得MF
1
＝4（k－m）＝2|－k＋m|，
NF
1
|k－m|1NF
1
1
∴ ＝＝，即为定值.(16分)
MF
1
2|k－m|2MF
1
219．（本小题满分16分）
已知数列

a
n

满足
a
1
a
2
La
n
2
n(n1)2
2
222
222
(
nN
)，数列

b
n

的前
n
项和

S
n
< br>n(b
1
b
n
)

(
nN
)， 且
b
1
1
，
b
2
2
．
2
（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）求数列

b
n

的通项公式；
（3）设< br>c
n


11

，记
T
n
是数列

c
n

的前
n
项和，求正整数
m
，使得对于任意
a
n
b
n
b
n1
的< br>nN
均有
T
m
≥
T
n
．
解析：解：(1) ① a
1
＝2

1×2
2
＝2；(2分)
9

a
1
a
2
·…·a
n－1
a
n
2
n
② 当n≥2时，a
n
＝＝
（n－1）n
＝2.
a
1
a
2
·…·a
n－1
2
2
所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2(n∈N)．(4分)
n（b
1
＋b
n
）
(2) 由S
n
＝，得2S
n
＝n(b
1
＋b
n
) ①，
2
所以2S
n－1
＝(n－1)(b
1
＋b
n－1
)(n≥2) ②.
由②－①，得2b
n
＝b
1
＋ nb
n
－(n－1)b
n－1
，n≥2，
即b
1
＋(n－2)b
n
－(n－1)b
n－1
＝0(n≥2) ③，
所 以b
1
＋(n－3)b
n
－(n－2)b
n－1
＝0(n≥ 3) ④.
由④－③，得(n－2)b
n
－2(n－2)b
n－1
＋(n－2)b
n－2
＝0，n≥3，(6分)
因为n≥3，所以n－2>0，上式同除以(n－2)，得
b
n
－2b
n－1
＋b
n－2
＝0，n≥3， < br>即b
n＋1
－b
n
＝b
n
－b
n－1
＝…＝b
2
－b
1
＝1，
所以数列{b
n
}是首项为1，公差为1的等差数列，
*
故b
n
＝n，n∈N.(8分)
11111n（n＋1）
(3) 因为c
n
＝－＝
n
－＝[－1]，(10分)
n
a
n
b
n
·b
n＋1
2n（n＋1）n（n＋1）2
所以c
1
＝0，c
2
>0，c
3
>0，c
4
>0 ，c
5
<0.
n（n＋1）
记f(n)＝，
n
2
当n≥5时，f(n＋1)－f(n)＝
（n＋1）（n＋2）n（n＋1）（n＋1）（n－2）< br>－＝－<0，
n＋1nn＋1
222
n*
n（n＋1）
2< br>5×6
所以当n≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n≥5时，f(n)5
<1.
2
1n（n＋1）
从而，当n≥5时，c
n＝[－1]<0.(14分)
n
n（n＋1）2
因此T
1
2
3
4
，T
4
>T
5< br>>T
6
>…
*
所以对任意的n∈N，T
4
≥T
n
.
综上，m＝4.(16分)
(注：其他解法酌情给分)
20．（本小题满分16分）
设
a
为实数，已知函数
f(x)a xe
，
g(x)xlnx
．
（1）当
a
＜0时，求函数
f(x)
的单调区间；
（2） 设
b
为实数，若不等式
f(x)2xbx
对任意的
a
≥ 1及任意的
x
＞0恒成立，求
2
x
b
的取值范围；
（3）若函数
h(x)f(x)g(x)
(
x
＞0，
xR)有两个相异的零点，求
a
的取值范围．
解析：解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x＋1)e，当x<－1时，f′(x)>0；
当x>－1时，f ′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，
＋∞)．(2分 )
10

x

(2) 由f(x)≥2x＋bx，得axe≥2x＋bx，由于x>0，
x
所以ae≥2x＋b对任意的a≥1及任意的x>0恒成立．
xxxx
由于e>0，所以ae≥e，所以e－2x≥b对任意的x>0恒成立．(4分)
xx
设φ(x)＝e－2x，x>0，则φ′(x)＝e－2，
所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)
min
＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，
所以b≤2－2ln 2.(6分)
1（x＋1）（axe＋1）
(3) 由h(x)＝axe＋x＋ln x，得h′(x)＝a(x＋1)e＋1＋＝，
xx
xxx
2x2
其中x>0.
① 若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x) 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)
至多有一个零零点，不合题意；(8分)
1
x
② 若a<0时，令h′(x)＝0，得xe＝－>0.
a
由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝e－2x≥2－2ln 2>0，所以e>2x ，所以xe>2x，
x
所以当x>0时，函数xe的值域为(0，＋∞)．
所以存在 x
0
>0，使得ax
0
ex
0
＋1＝0，即ax
0
ex
0
＝－1 ①，
且当x0
时，h′(x)>0， 所以函数h(x)在(0，x
0
)上单调递增，在(x
0
，＋∞)上单调递< br>减．
因为函数有两个零点x
1
，x
2
，
所以h( x)
max
＝h(x
0
)＝ax
0
ex
0
＋x
0
＋ln x
0
＝－1＋x
0
＋ln x
0
>0 ②.
1
设φ(x)＝－1＋x＋ln x，x>0，则φ′(x)＝1＋>0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上
x
单调递增．
由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x
0
>1.
1
又由①式，得x
0
ex
0
＝－.
a
1
由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－>e，
a
1
即a∈(－，0)．(11分)
e
1
当a∈(－，0)时，
e
1ae11
(i) 由于h()＝＋(－1)<0，所以h()·h(x
0
)<0.
eeee
1
因为<10
，且函数h(x)在(0，x
0
)上单调递减，函数 h(x)的图象在(0，x
0
)上不间断，
e
所以函数h(x)在(0，x
0
)上恰有一个零点；(13分)
11111
(ii) 由于h(－)＝－e－－＋ln(－)，令t＝－>e，
aaaaa
设F(t)＝－e＋t＋ln t，t>e，
1
t
由于t>e时，ln t2t，所以设F(t)<0，即h(－)<0.
a
11

t
xxx2
1
e

11
由①式，得当x
0
>1时，－＝x
0
ex
0
>x
0
，且h(－)·h(x< br>0
)<0，
aa
同理可得函数h(x)在(x
0
，＋∞)上也恰有一个零点．
1
综上，a∈(－，0)．(16分)
e









数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，
则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵
A
＝


1 1
0－1

10
，二阶矩阵
B
满足
AB＝


01


.

(1) 求矩阵
B
；
(2) 求矩阵
B
的特征值．

1 1

解析：解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得
B
＝
A
＝

.(5分)

0－1

－1
(2) 矩阵
B
的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分)
令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分)
所以矩阵
B
的特征值为1或－1.(10分)

B. (选修44：坐标系与参数方程)
π
设a为实数，在极坐标系中，已知圆ρ＝2asin θ(a>0)与直线ρcos(θ＋)＝1相
4
切，求a的值．
22222
解析：解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x＋y＝2ay，整理得x＋(y－a)＝a.(3
分)
π
将直线ρcos(θ＋)＝1化成普通方程为x－y－2＝0.(6分)
4
|a＋2|
因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝a，(9分)
2
解得a＝2＋2.(10分)

C. (选修45：不等式选讲)
12

求函数y＝1－x＋3x＋2的最大值．
解析：解 ：因为(1－x＋3x＋2)＝(3－3x·
120
≤(3－3x＋3x＋2)(＋1)＝，( 3分)
33
215
所以y＝1－x＋3x＋2≤.(5分)
3
3－3x3x＋272
当且仅当＝，即x＝∈[－，1]时等号成立．(8分)
11123
3
215
所以y的最大值为.(10分)
3

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤．
22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝A P＝4，AB
＝BC＝2，点M为PC的中点．
(1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
4
(2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ
5
的值．
2
1
2
＋3x＋2·1)
3

解析：解：(1) 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由AD＝2AB＝ 2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，
0)，P(0，0，4)．
因为点M为PC的中点，所以M(1，1，2)．
→→
所以BM＝(－1，1，2)，AP＝(0，0，4)，(2分)
→→
AP·BM0×（－1）＋0×1＋4×26
→→
所以cos〈AP，BM〉＝＝＝，(4分)
→→3
4×6
|AP||BM|
所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为< br>6
.(5分)
3
→
(2) 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN＝(－1，λ－1，－2)，
→→
BC＝(0，2，0)，PB＝(2，0，－4)．
13