2020年广东省汕头市高考数学一模试卷(文科)(A卷)
贵州商专-河北农业大学教务系统登录
高考数学一模试卷（文科）（
A
卷）
总分
题号
得分
一
二
三
一、选择题（本大题共
12
小题，共
63.0
分）
1.
已知集合
A={x|log
2
x
＞
0}
，
B={0
，
1
，
2
，
3
，
4}
，则
A∩B=
（ ）
A.
{0
，
1
，
2}
B.
{1
，
2
，
3}
C.
{2
，
3
，
4}
D.
{3
，
4}
2.
已知
a
∈<
br>R
，
i
是虚数单位，复数，若，则
a=
（ ）
A.
0
B.
2
C.
-2
D.
1
3.
若
x<
br>，
y
满足约束条件，则
z=2x+y
的最大值是（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4.
现有甲、乙、丙、丁
4
名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、
丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A.
B.
C.
D.
的短轴端点和
22
5.
已知圆
O:x
+ y = 4 (
O
为坐标原点
)
经过椭圆
C:
两个焦点，则椭圆
C
的标准方程为
A.
B.
C.
D.
6.
已知向量，满足•（
+
）
=5
，且
||=2
，
||=1
，则向量与的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
{b
n
}
是正项等比数列，
b
3
=b
2
+2
，
b
4
=a
3
+a
5
，
b
5
=a
4
+2a
6
，
7.
已知
{a
n
}
是等差数列，且
b
1
=1
，则
a
2018
+b
9
=
（ ）
A.
2026
B.
2027
C.
2274
D.
2530
8.
将函
数
则
g
（
x
）在
的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g
（
x
）的图象，
上的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
1
9.
在正方体
ABCD-A
1
B
1
C<
br>1
D
1
中，点
O
是四边形
ABCD
的中心，
关于直线
A
1
O
，下列
说法正确的是（ ）
A.
A
1
O
∥
D
1
C
B.
A
1
O
∥平面
B
1
CD
1
C.
A
1
O
⊥
BC
D.
A
1
O
⊥平面
AB
1
D
1
x
fx
）
=e
（
cosx-a
）
10.
若函数（
在区间上单调递减，则实数
a
的取值范围是（ ）
B.
（
1
，
+∞
）
C.
[1
，
+∞
）
D.
PA
⊥平面
ABC
，∠
ABC=30°
11.
<
br>三棱锥
P-ABC
中，，△
APC
的面积为
2
，则三
棱锥
P-ABC
的外接球体积的最小值为（ ）
A.
A.
B.
C.
64π
第1页，共16页
D.
4π
12.
已知函数
f
（x
）是定义在（
-∞
，
0
）∪（
0
，
+∞
）上的偶函数，当
x
＞
0
时
f
（
x<
br>）
=
，则函数
g
（
x
）
=2f
（<
br>x
）
-1
的零点个数为（ ）个．
A.
6
B.
2
C.
4
D.
8
二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
x
13.
已知函数
f
（
x
）
=
（
bx-1
）
e
+a
（
a
，
b<
br>∈
R
）．若曲线
y=f
（
x
）在点
（
0
，
f
（
0
））处
的切线方程为y=x
，则
a+b=______
．
14.
有一种
工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，已知正三棱柱
ABC-A
1
B
1C
1
的所有
棱长都是
2
，圆锥的顶点为△
ABC
的中心，底面为△
A
1
B
1
C
1
的内切圆，则该
工艺品
的体积为
______
．
15.
设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
=1
，
a
2
=2
，且
a
n
+2
=3S
n
-S
n
+1
+3
（
n
∈
N*
），则
S
10
=______
．
16.
设双曲线的左右焦点分别为
F
1
，
F2
，过
F
1
的直线
l
交双曲线左支于
A
，
B
两点，则
|AF
2
|+|BF
2
|
的最小值等于
______
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.
在△
ABC
中，内角
A
，
B，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
．若
bsinA=a
（
2-cosB
）．
（
1
）求角
B
的大小；
（
2
）
D
为
AB
上一点，且满足
CD=2
，
AC=4
，锐
角三角形△
ACD
的面积为，求
BC
的长．
PA
⊥菱形
ABCD
所在的平面
，
E
是
BC
中点，18.
如图，四棱锥
P-AB
CD
中，∠
ABC=60°
，
M
是
PD
的中点．
（
1
）求证：平面
AEM
⊥平面
PAD
；
（
2
）若
F
是
PC
上的中点，且
AB=AP=2
，求三棱锥
P-AMF
的体积．
第2页，共16页
19.
我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有
得天
独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营
养好，素
有“海洋牛奶精品”的美誉．
2019
年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工
投入，现有
以往的人工投入增量
x
（人）与年收益增量
y
（万元）的数据如下：
人工投入增量
x
（人）
2
年收益增量
y
（万元）
13
3
22
4
31
6
42
8
50
10
56
13
58
该基地为了预测人工投入增量
为
16
人时的年收益增量，建立了
y
与
x
的两个回归
模型：
模型①：由最小二乘公式可求得
y
与
x
的线性回归方程：
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：
对人工投入增量
x做变换，令，则
y=b
•
t+a
，且有
．
；
的附近，
（
1
）根据所给的统计量，求模型②中
y
关于
x
的回归方程（精确到
0.1
）；
（
2
）
分别利用这两个回归模型，预测人工投入增量为
16
人时的年收益增量；
2
（
3
）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数
R
，并说明（
2
）中哪个
模型得到的预测值精度更高、更可靠？
回归模型
回归方程
模型①
模型②
182.4
79.2
第3页，共16页
附：若随机变量
Z
～
N
（
μ
，
σ），则
P
（
μ-3σ
＜
Z
＜
μ+3σ
）
=0.9974
，
0.9987
10
≈0.9871
；
样本（
t
i
，
y
i
）（
i=1
，
2
，…，
n
）的最小二乘估计公式为：
2
，
另，刻画回归效果的相关指数
2
20.
已知抛物线
C
的标准方程为
y=2px
（
p
＞
0
），
M
为抛物线
C< br>上一动点，
A
（
a
，
0
）
（
a≠0
）为其对称轴上一点，直线
MA
与抛物线
C
的另一个交点为
N
．当
A
为抛物
线
C
的焦点且直线
MA
与 其对称轴垂直时，△
MON
的面积为
18
．
（
1
）求抛物线
C
的标准方程；
（
2
） 记
t=
，若
t
值与
M
点位置无关，则称此时的点
A
为“稳定点”，试
求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．
x
2
21.
已知
f
（
x
）
=x+ae-lnx
．
（
1
）设
x=
是
f
（
x
）的极值点，求实数
a
的值，并求
f
（
x
）的单调区间；
（
2
）当
a
＞
0
时，求证：
f
（
x
）＞．
22.
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为（
α
为参数，
a
＞
0
）．以
坐标原点为极点，
x
轴正半 轴为极轴建立极坐标系，已知直线
l
的极坐标方程为
．
（
1
）设
P
是曲线
C
上的一个动点，若点
P
到直线
l
的距离的最大值为
第4页，共16页
，求
a
的值；
（
2
）若曲线
C
上任意一点（
x
，
y）都满足
y≥|x|+2
，求
a
的取值范围．
23.
已知函数
f
（
x
）
=|2x+k|+|x-2|
（
k
∈
R
）．
2
（
1
）若
k=4
，求不等式
f
（
x
）
≥x-2x-4
的解集；
2
（
2
）设
k
＜
-4
，当
x
∈
[-1
，
2]
时都有
f
（
x
）
≥x-2x+4
，
求
k
的取值范围．
第5页，共16页
答案和解析
1.
【答案】
C
【解析】解：∵集合
A={x|log
2
x
＞
0}={x|x
＞
1}
，
B={
0
，
1
，
2
，
3
，
4}
，
∴
A∩B={2
，
3
，
4}
．
故选：
C
．
先分别求出集合
A
，
B
，由此能求出
A∩B
．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.
【答案】
A
【解析】【分析】
利用商的模等于模的商列式求解
a
的值．
本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
【解答】
解：∵复数
∴，即
，且，
，则
a=0
．
故选：
A
．
3.
【答案】
B
【解析】【解答】
解：先根据约束条件画出可行域，
当直线
z=2x+y
过点
A
（
2
，
-1
）时，
z
最大是
3
，
故选：
B
．
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义
求最值，
z=2x+y
表示直线
在
y
轴上的截距，只
需求出可行域直线在
y
轴上的截距最大值即可．
本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何
意义求最值，属于基础题．
4.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题主要考查了古
典概型及其概率的计算问题，基本事件，考查了运算求解能力，属于
基础题
.
先求得
基本事件的总数为
6
，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为
2
，
利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解
.
【解析】
解：由题意，
甲、乙、丙、丁
4
名学生平均分成两个小组共有
3
种情形：
{(甲、乙
)
，
(
丙、
丁
)}
，
{(甲、丙
)
，
(
乙、丁
)}
，
{(
甲、
丁
)
，
(
乙、丙
)}
，
所以分别参加两项活动有
6
种情况；
因为乙、丙两人恰好在一起的情形只有
1
种：
{(
甲、丁
)
，
(
乙、丙
)}
，
第6页，共16页
所以乙、丙两人参加同一项活动有
2
种情况；
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为
故选：
B
．
5.
【答案】
B
22
【解析】解：∵圆
O：
x+y=4
（
O
为坐标原点）经过椭圆
C
：
+=1
（
a
＞
b
＞
0
）的短轴
，
端点和两个焦点，
222
∴
b=2
，
c=2
，则
a
=b+c=8
．
∴椭圆
C
的标准方程为：
故选：
B
．
22
根据圆
O
：
x+y=4
（
O
为坐标原点）经过椭圆
C
：
+=1
（
a
＞
b
＞
0
）的
短轴端点和两
，
个焦点，可得
b
，
c
，
a
，
本题考查了椭圆的方程，属于基础题．
6.
【答案】
C
【解析】解：因为•（
+
）
=5
，
所以
2
=5
，
又因为
||=2
，
||=1
，
设向量与的夹角为
θ
，
所以
cosθ=
，
又
θ
∈
[0
，
π]
，
所以
θ=
，
故选：
C
．
由向量的数量积的运算
及向量的夹角公式得：
cosθ=
，又
θ
∈
[0
，
π]
，所以
θ=
，得解．
本题考查了向量的数量积的运算及向量的夹角，属中档题．
7.
【答案】
C
【解析】解：
{a
n
}
是公差为
d
的等
差数列，
{b
n
}
是正项等比数列，公比设为
q
，
q
＞
0
，
由
b
1
=1
，
b3
=b
2
+2
，
b
4
=a
3
+a
5
，
b
5
=a
4
+2a
6
，
234
可得
q=q+2
，
q=a
1
+2d+a1
+4d
，
q=a
1
+3d+2
（
a
1
+5d
），
即有
q=2
，
a
1
=d=1
，
n
-1
则
a
n
=1+n-1=n
，
b
n
=
2
，
8
则
a
2018
+b
9
=2018
+2=2274
．
故选：
C
．
{a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
{b
n
}
是正项等比数列，公比
设为
q
，
q
＞
0
，运用等差数列
和等比数列的通项
公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运
用，考查方程思想和运算能力，属于基础
第7页，共16页
题．
8.
【答案】
C
【解析】解：将函数
的图象，
则
g
（
x
）
=sin[2
（
x-
）+]=sin
（
2x-
），
∵
x
∈，∴
2x
∈
[-
，
]
，
的图象向右平移个单位长度，得到函数
y=g
（
x
）
则2x-
∈
[-
，
]
，
∴当
2x-=
，时，
g
（
x
）取得最大值，
最大值为
sin=
，
故选：
C
．
根据平移关系
求出
g
（
x
）的解析式，然后求出角的等价范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，以及角的范围，结合
三角函
数的最值性质是解决本题的关键．
9.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识，考
查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
OD
∥
B<
br>1
D
1
，推导出
A
1
D
∥
B
1
C
，从而平面
A
1
DO
∥平面
B
1<
br>CD
1
，由此能得到
A
1
O
∥平面
B
1
CD
1
．
【解答】
解：∵在正方体
ABCD-A<
br>1
B
1
C
1
D
1
中，点
O
是四边形
ABCD
的中心，
∴
A
1
D
∥
B
1
C
，
OD
∥
B
1
D
1
，
∵
A
1
D∩DO=D
，
B
1
D1
∩B
1
C=B
1
，
∴平面
A
1<
br>DO
∥平面
B
1
CD
1
，
∵
A
1
O
⊂平面
A
1
DO
， <
br>∴
A
1
O
∥平面
B
1
CD
1
．
故选：
B
．
10.
【答案】
D
第8页，共16页
【解析】【分析】
x
∈求出函数的导数，问题转化为
a≥cosx-
sinx
，
x
∈
=cosx-sinx=
，令
h
（
x
）
sin
（
-x
），
，根据三角函数的性质求出
a
的范围即可．
本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．
【解答】
x
解：
f
′（
x
）
=e
（
cosx-sinx-a
），
若
f
（
x
）在区间
则
cosx-
sinx-a≤0
区间
即
a≥cosx-sinx
，
x
∈<
br>令
h
（
x
）
=cosx-
sinx=
故
-x
∈（
-
，），
故
sin
（
-x
）的最大值是
1
，此时
-x=
，即
x=-
，
故
h
（
x
）的最大值是，
故
a≥
，
故选：
D
．
11.
【答案】
A
【解析】【分析】
本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．
由题意画出图形，设<
br>AC=x
，由△
APC
的面积为
2
，得
PA=
，再由∠
ABC=30°
，得三角形
ABC
外接圆的半径
r=x<
br>，求出球心到平面
ABC
的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，
利用基本不
等式求得最小值，代入球的体积公式求解．
【解答】
解：如图，设
AC=x
，由△
APC
的面积为
2
，得
PA=
，
∵∠
ABC=30°
，∴三角形
ABC
外接圆的半径
r=x
，
∵
PA
⊥平面
ABC
，
PA=
，
∴
O
到平面
ABC
的距离为
d=PA=
，
设球
O
的半径为
R
，则
R=
当且仅当时“
=”成立．
．
，
上单调递减，
上恒成立，
，
sin
（
-x
），
x
∈，
∴三棱锥
P-ABC
的外接球体积的最小值为
故选：
A
．
12.
【答案】
C
第9页，共16页
【解析】【分析】
本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数奇偶性的性质，属于中档题．
作出
f<
br>（
x
）的函数图象，根据
f
（
x
）与
y=<
br>的交点个数得出答案．
【解答】
解：令
g
（
x
）
=0
可得
f
（
x
）
=
，
作出<
br>f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上的函数图象，如
图所示：
由图象可知
f
（
x
）
=
在（
0
，
+∞
）上有
2
解，
又
f
（
x
）是偶函数，∴
f
（
x
）
=
在（
-∞
，
0
）上有
2
解，
∴
f
（
x
）
=
有
4
解．
故选：
C
．
13.
【答案】
3
xx
【解析】解：
f
（
x
）
=
（
bx-1）
e+a
得
f
′（
x
）
=e
（
bx+b-1
），
曲线
y=f
（
x
）在点（
0
，
f
（
0
））处的切线方程为
y=x
．
f
′（
0
）
=1
，
f
（
0
）=0
，
即
b-1=1
，
-1+a=0
，
解得
a=1
，
b=2
，则
a+b=3
，
故答案为：
3
．
求导函数，利用曲线
y=f
（
x
）在点（
0
，
f
（
0
））处的切线方程为
y=x
，建立方程，可求
a
、
b
的值，进而得到所求和．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础
题．
14.
【答案】
2
【解析】解：有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，
正三棱柱
ABC-A<
br>1
B
1
C
1
的所有棱长都是
2
，圆锥的顶点
为△
ABC
的中心，底面为△
A
1
B
1
C
1
的内切圆，
=
，
∴△
A
1
B
1C
1
的高
h=
设底面为△
A
1
B
1<
br>C
1
的内切圆半径为
r
，
第10页，共16页
则（
r
）
2
=r
2
+1
，解得
r=
，
∴该工艺品的体积为：
V=
=S
△
ABC×AA
1
-
=
=2-
．
-
．
=< br>，设底面为△
A
1
B
1
C
1
的内切圆半径为
r
，则（
22
r
）
=r+1
，
-V
圆锥
-
故答案为：
2
求出△
A
1
B
1
C
1
的高
h=
求出
r=
，从 而该工艺品的体积为：
V=-V
圆锥
，由此能求出结果．
本题考查几何体的 体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，考查数形结合 思想，是中档题．
15.
【答案】
363
【解析】解：数列< br>{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
=1
，
a
2
=2
，
且a
n
+2
=3S
n
-S
n
+1
+3< br>（
n
∈
N*
），
所以：
S
n
+2
-S
n
+1
=3S
n
-S
n
+1
+3
，
整理得：
S
n
+2
=3S
n
+3
当
n=2
时，
S
4
=3S
2
+3=9+3 =12
．
当
n=4
时，
S
6
=3S
4< br>+3=36+3=39
，
当
n=6
时，
S
8
=3S
6
+3=117+3=120
，
当
n=8
时，< br>S
10
=3S
8
+3=360+3=363
，
故答案为：
363
．
直接利用数列的关系式的应用求出结果．
本 题考查的知识要点：数列的关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属
于基础题型．
16.
【答案】
16
【解析】解：根据双曲线，得：
a=3
，
b=
，
由双曲线 的定义可得：
|AF
2
|-|AF
1
|=2a=6
…①，
|BF
2
|-|BF
1
|=2a=6
…②，
①< br>+
②可得：
|AF
2
|+|BF
2
|-
（< br>|AF
1
|+|BF
1
|
）
=12
， ∵过双曲线的左焦点
F
1
的直线交双曲线的左支于
A
，
B
两点，
∴
|AF
1
|+|BF
1
|=|AB|
，当
|AB|
是双曲线的通径时
|AB|
最小．
∴
|AF
2
|+|BF
2
|-
（
|AF
1
|+|BF
1
|
）
=|AF
2
|+|BF
2
|-|AB|=12
．
|BF
2
|+|AF
2
|=|A B|+12≥+12=+12=16
．
故答案为：
16
．
根据双 曲线的标准方程可得：
a=3
，
b=
，再由双曲线的定义可得：
|A F
2
|-|AF
1
|=2a=6
，
|BF
2
|-|BF
1
|=2a=6
，所以得到
|AF
2
|+|B F
2
|-
（
|AF
1
|+|BF
1
|）
=12
，再根据
A
、
B
两点的位置特
征得到 答案．
第11页，共16页
本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题
，解题时要注意双曲线的简单性质的合
理运用．
17.
【答案】解：（
1<
br>）由正弦定理得
sinBsinA=sinA
（
2-cosB
）．
∵
sinA≠0
，
∴
sinB=2-cosB
．
即
sinB+cosB=2
，
即
2sin
（
B+
）
=2
，
即
sin
（
B+
）
=1
．
∵
0
＜
B
＜
π
，∴
B+=
，
即
B=
，即角
B
的大小为
2×4sin
∠
ACD=
（
2
）△
ACD
的面积为
S=×
即
sin
∠
ACD=
，
，
∵△
ACD
是锐角三角形，
∴
cos
∠
ACD==
，
222
2×4×=4+16-4=16
，
由余弦定理得
AD=2+4-2×
则
AD=4
，
在△
ACD
中，
∴
sinA=
，
=
，得
BC=
，
，
，
则△
ABC<
br>中，
AD×BCsinB=
法
2
，∵△
ACD
的面积
为
S=×
∴
BC×=
，故
BC=
．
【解析】（
1
）根据正弦定理结合辅助角公式进行化简求解即可；
（
2
）根据三角形的面积公式结合正弦定理进行求解即可．
本题主要考查解
三角形的应用，利用正弦定理以及辅助角公式，余弦定理以及辅助角公
式进行转化是解决本题的关键．
18.
【答案】证明：（
1
）连结
AC
，
∵底面
ABCD
为菱形，∠
ABC=60°
，∴△
ABC
是正三<
br>角形，
∵
E
是
BC
中点，∴
AE
⊥
BC
，又
AD
∥
BC
，∴
AE
⊥
AD<
br>，
∵
PA
⊥平面
ABCD
，
AE
⊂平面<
br>ABCD
，∴
PA
⊥
AE
，
∵
PA∩AD=A
，∴
AE
⊥平面
PAD
， 又
AE
⊂平面
AEM
，∴平面
AEM
⊥平面
P
AD
．
解：（
2
）∵
F
是
PC
上的中点
，且
AB=AP=2
，
∴
AD=2
，
AE=
，
第12页，共16页
∴三棱锥
P-AMF
的体积：
V
P
-
AMF
=V
M
-
APF
=
=
=
==
．
【解析】（1
）连结
AC
，推导出
AE
⊥
BC
，
AE
⊥
AD
，
PA
⊥
AE
，从而
AE⊥平面
PAD
，由此
能证明平面
AEM
⊥平面
PAD<
br>．
（
2
）三棱锥
P-AMF
的体积：
V
P
-
AMF
=V
M
-
APF
=
，由此能求出
结果．
本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间
的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
【答案】解：（
1
）由
19.
得
=≈21.3
，
2.5=-14.4
， ∴
=-i=38.9-21.3×
∴模型②中
y
关于
x
的回归方程为
=2.13-14.4
．
16+11.8=77.4
万元， （
2
）当
x=16
时，
模型①年收益增量预测值为
=4.1×
模型②年收益增量预测值为
=21.3×-14
.4=70.8
万元，
＞， （
3
）由表格中的数据，有
182.
4
＞
79.2
，即
22
由
R
的公式可知，模型①的
R
的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，
在（
2
）中，用
模型②预测当人工投入量
x=16
时，年收益增量为
70.8
万元，这一个预
报
值比模型①的
77.4
万精确度更高，更可靠
【解析】（1
）根据题意列方程组求出回归系数，模型②中
y
关于
x
的回归
方程，
（
2
）代值计算即可预测人工投入增量为
16
人时的年收益增量，
22
（
3
）由
R
的公式可知，模型①的
R
的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，故
可得答案
本题考查了线性回归方程与相关指数的应用问题，是中档题．
20.
【答案】解：（
1
）由题意，
∴
p=6
，
2
抛物线
C
的标准方程为
y=12x
．…（
5分）
（
2
）设
M
（
x
1
，
y
1
），
N
（
x
2
，
y
2
），设直线
MN
的方程为
x=my+a
，
联立
2
得
y-12my-12a=0
，
，
2<
br>△
=144m
+48a
＞
0
，
y
1
+y
2
=12m
，
y
1
y
2
=-12a<
br>，
第13页，共16页
由对称性，不妨设
m
＞
0
，
（ⅰ）
a
＜
0
时，∵
y
1
y
2
=-12a＞
0
，∴
y
1
，
y
2
同号，
又
∴
，
，
不论
a
取何值，
t
均与
m
有关，即
a
＜
0
时，
A
不是“稳定
点”；
（ⅱ）
a
＞
0
时，∵
y
1
y2
=-12a
＜
0
，∴
y
1
，
y2
异号，
又
∴
=
=
=
∴仅当
，
，
，即
a=3
时，
t
与
m
无关，
∴所求的“稳定点”为（
3
，
0
）…（
12
分）
【解析】（
1
）根据三角形的面积公式求出
p
的值即可；
（
2
）设出直线
MN
的方程，联立方程组，得到关于
y的一元二次方程，通过讨论
a
的
符号结合二次函数的性质解出即可．
本题考查了抛物线的性质，考查新定义“稳定点”问题，考查二次函数的性质，是一道
中档题．
21.
【答案】解：（
1
）函数
f
（
x
）
的定义域为（
0
，
+∞
）．
又，
=-2=0
．
∵
x=
是
f
（
x
）的极值点，∴
f
∴a=
．
∵
f
′（
x
）在（
0
，+∞
）上单调递增，且
f
∴
f
′（
x
）＞0
时，
x
，
f
′（
x
）＜
0
时，
．
．
∴
f
（
x
）的递减区间为（
0
，），递增区间为（，
+∞
）．
x
（
2
）证法
1
，由（
1
）可得
a
＞
0
时，
f
′（
x
）
=x+ae-
在（
0
，
+∞）上单调递增．
又因为
f
′（
1
）
=1+ae-1=
ae
＞
0
，当
x
趋近于
0
时，
f
′（
x
）趋近于
-∞
．
∴∃
x
0
∈（<
br>0
，
1
）使得
f
′（
x
0
）
=0
，即．
当
x
∈（
0
，
x
0
）时，
f
′（
x
0
）＜
0
，
x
∈（
x
0
，
+∞
）时，
f
′（
x
0
）＞
0
．
∴
f
（
x
）在（
0
，
x
0
）递减，在（
x
0
，
+∞
）递增．
第14页，共16页
∴
f
（
x
）
min
=f
（
x
0
）
=
令．
，在（
0
，
1
）上
g
′（
x
）＜
0
，
∴
g
′（
x
）单调递减，∴
∴当
a
＞
0
时，
f
（
x
）＞．
方法
2
，令
g
（
x
）
=
，
，（
x
＞
0
）
．
，（
0
＜
x
0
＜
1
）
当
x
∈（
0
，
1
）时，
g
′（
x
）＜
0
，当
x
∈（
1
，
+∞
）时，
g
′（
x
）＞
0
．
∴
g
（
x
）在（
0
，
1
）递减，在（
1
，
+∞）递增．
∴，∴．
x
∵
a
＞
0
，∴
ae
＞
0
．
∴
．
【解析】（
1
）求得
的单调区间．
，利用
f=-2=0<
br>．求得
a=
．再求
f
（
x
）
1
）使
得
f
′（
x
0
）
=0
，（
2
）证
法
1
，由（
1
）可得
a
＞
0
时，∃
x
0
∈（
0
，
即
（
x
）
min
=f
（
x
0
）
=
令
=
方法
2
，令
g
（
x
）
，（
0
＜
x<
br>0
＜
1
）
．利用导数可得
f
（
x
）＞．
，（
x
＞
0
），利用导数可得．即可得
．
f
．
本题考查了函数的单
调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查转化
思想，是一道综合题．
22
.
【答案】解：（
1
）依题意得曲
2
x
2
+
线
C
的普通方程为：（
y-a
）
=4
，
因为<
br>ρsin
（
θ-
）
=2
，所以
ρsinθ-
ρcosθ=4
，因为
x=ρcosθ
，
y=ρsinθ
，
所以直线
l
的直角坐标方程为：
x-y-4=0
，
所以圆心
C
（
0
，
a
）到直线的距离
为，
+2=2+2
，
第15页，共16页
依题意得
因
为
a
＞
0
，解得
a=8
．
（
2
）因为曲线
C
上任意一点（
x
，
y
）都满足
y≥|
x|+2
，所以
所以
|a-2|
，解得
a≤2-2
或
a≥2+2
，
又
a
＞
0
，所以
a
的取
值范围为
[2+2
，
+∞
）
【解析】（
1）圆
C
上动点
P
到直线
l
的距离的最大值为圆心（0
，
a
）到直线的距离加
上半径；
（
2
）利
用圆心（
0
，
a
）到直线
y=x+2
的距离大于等于圆C
的半径
2
，解不等式可得．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.
【答案】解：（
1<
br>）
k=4
时，函数
f
（
x
）
=|2x+4|
+|x-2|
，
所以
f
（
x
）
=
，
≥2
，
22
当
x
＜
-2
时，由
f
（
x
）
≥x-2x-4
化为
-3x-2≥x-2x-4<
br>，
解得
-1≤x≤2
，所以此时不等式无解；
22
当-2≤x≤2
时，由
f
（
x
）
≥x-2x-4
化为
x+6≥x-2x-4
，
解得
-2≤x≤5
，所以是
-2≤x≤2
；
22
当
x
＞
2
时，由
f
（
x
）
≥x-
2x-4
化为
3x+2≥x-2x-4
，
解得
-1≤x≤6
，所以是
2
＜
x≤6
；
2
综上所述，不等式
f
（
x
）
≥x-2x-4
的
解集为
{x|-2≤x≤6}
；
（
2
）设
k
＜<
br>-4
，则
-
＞
2
，
当
x
∈
[-1
，
2]
时，
f
（
x
）
=-3x+
2-k
，
22
不等式
f
（
x
）
≥x-2
x+4
化为
-3x+2-k≥x-2x+4
，
2
即
x+x+k+2≤0
；
2
设
g
（
x
）
=x+x+k+2
， 则
g
（
x
）
≤0
在
x
∈
[-
1
，
2]
恒成立，
即
g
（
2
）
=4+2+k+2≤0
，
解得
k≤-8
，
∴
k
的取值范围是（
-∞
，
-8]
．
【解析】（
1
）
k=4
时，函数
f
（
x<
br>）
=|2x+4|+|x-2|
，
2
分类讨论去掉绝对值，求不等式
f
（
x
）
≥x-2x-4
的解集；
2
（
2
）由
k
＜
-4
，
x
∈
[-1<
br>，
2]
，化简
f
（
x
），把不等式
f
（
x
）
≥x-2x+4
转化为
关于
k
的不等式恒成立问题，从而求出
k
的取值范围．
本题考查了不等式恒成立问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档
题．
第16页，共16页