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数学（A卷）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项
符合题目要求.
1．在复平面内与复数
z
A．
1i

2i
所对 应的点关于实轴对称的点为
A
，则
A
对应的复数为（ ）
1i
B．
1i
C．
1i
D．
1i

2．
0x3
是
x12
成立的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
π，且
a2
，
b1
，则向量
a2b
与向量
a
的夹角为（ ）
3
π

6
3．若向量
a< br>，
b
的夹角为
A．
π

3
B．C．
2π

3
D．
5π

6
4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
1

2
B．
3

2
C．
3

4
D．
6

4
x1
5．函数
f

x

e2cos
x1

的部分图象可能是（ ）
A． B．C．D．
π
π

6．将函数
f

x

sin


x




0,


的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于
y
轴对称，
2

6

1

π

且
f
 

，则当

取最小值时，函数
f

x

的解析式为（ ）
2



π

π

π

π

A．
f

x

sin

2x

B．
f
x

sin

2x

C．
f
< br>x

sin

4x

D．
f

x

sin

4x


6

6

6

6

7．数学名著《九章算术 》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二
丈，无广；高一丈， 问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊
体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈， 问它的体积是多少？”．现
体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积（ ）

状的楔
将该楔
为

A．
5.5
立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．
6.5
立方丈

x2y10

8．已知直线< br>l
经过不等式组

x3y40
表示的平面区域，且与圆
O:x
2
y
2
16
相交于
A
、
B两点，

y20

则当
AB
最小时，直线
l
的方程为（ ）
A．
y20
B．
xy40
C．
xy20
D．
3x2y130

19

的最
mn
9． 已知正项等比数列

a
n

满足
a
7
a
6
2a
5
，若存在两项
a
m
，
a
n
，使得
a
m
a
n
16a
1
2，则
小值为（ ）
3
A．
2
B．
11

4
8
C．
3
D．
10

3
BC
»
的中点，则异面直 线
AE
与10．如图，圆柱的轴截面为正方形
ABCD
，
E
为弧
BC
所成角的余弦值为（ ）
A．
3

3
B．
5

5
C．
30

6
D．
6

6
11．已知
F
为抛物线y
2
4x
的焦点，
O
为原点，点
P
是抛物线 准线上一动点，若点
A
在抛物线上，
且
AF5
，则
PA PO
的最小值为（ ）
A．
5
B．
25
C．
13
D．
213

12．已知
f

x

是定义域为

,

的奇函数，满足
f

1x

f

1x

．
若
f

1

2
，则
f

1
f

2

f

3

 Lf

2018


（ ）
A．50 B．2 C．0 D．
2018

二、填空题（每小题5分，共20分）
13．曲 线
f

x

xe
x
2
在点

0,f

0


处的切线方程为_____．

sin
2
xtanx,

14．已知函数
f
< br>x



2x


e,
x0< br>
，则
f

x0


25π
< br>
f





_____．

4


15．在三角形
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
A30
，
C45
，
c3
，点
P
是
平面
ABC
内的一个动点，若
BPC60
，则< br>△PBC
面积的最大值是__________．
16．设函数
f

x

xax
2

三、解答题（共
70
分）

1
对于任意
x

1,1

，都 有
f

x

0
成立，则实数
a
___ ____．
2

17．（12分）在
△ABC< br>中，
3sinA2sinB
，
tanC35
．
（1）求
cos2C
；
（2）若
ACBC1
，求
△ABC
的周长．
18．（12分）已知某单位全体员工年龄频率分布表为：
年龄（岁）
人数（人）

25,30



30,35



35,40



40,45



45,50



50,55


6 18 50 31 19 16
合计
140
经统计，该单位35岁 以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方
图如图所示：

（1）求
a
；
（2）求该单位男女职工的比例；
（3）若从年龄 在

25,30

岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男 职工和一名女职
工的概率．


19．（12分）如图，正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的所有棱长都为2，
D为
CC
1
的中点．
（1）求证：
AB
1
< br>平面
A
1
BD
；
（2）求三棱锥
BA
1
B
1
D
的体积．
20．（12分）椭圆长轴右端点为
A
，上顶点为
M
，
O
为椭圆中心，
F
为椭圆的右焦点，且
uuuuruuur
2
MFF A21
，离心率为．
2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线
l
交椭圆于
P
、
Q
两点，判断是否存在直线
l
， 使点
F
恰为
△PQM
的垂心？若存在，求出
直线
l
的方程；若不存在，请说明理由．

1
21．（12分） 已知函数
f

x



xa1
e
x
x
2
ax
．
2
（1）讨论
f

x

的单调性．
（2 ）若
x
0


1,2

，
f

x

0
，求
a
的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）点
P
是曲线
C
1
:

x2

y
2
4
上的动点，以坐标原点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，以极点
O
为中心，将点
P
逆时针旋 转
90
得到点
Q
，设点
Q
的轨迹为曲线
C
2
．
（1）求曲线
C
1
，
C
2
的极坐标方程；
（2）射线


π


0

与曲线< br>C
1
，
C
2
分别交于
A
，
B
两点，设定点
M

2,0

，求
△MAB
的面积 ．
3
2
23．（10分）已知函数
f

x
ax1

a0

．
（1）若不等式
f

x

2
的解集为
A
，且
A

2,2

，求实数
a
的取值范围；
2

3< br>
1
（2）若不等式
f

x

f

x


对一切实数
x
恒成立，求实数
a
的取值范围.
a

2

a

文科（A）答案
一选择题 BABAA CBDCD DB
二填空题 13：
xy20
14：
93
1
．15： 16：1
8
e
3
2
17
1

1

17．（1 ）∵
tanC35
，∴
cosC
，∴
cos2C2

1
．
18
6

6

（2）设
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．
∵
3sinA2sinB
，∴
3a2b
，
∵
ACBCba1
，∴
a2
，
b3
．
由余弦定理可得
c
2
a
2
b
2
2a bcosC13211
，
则
c11
，
△ABC
的周长为
511
． 18．【答案】（1）
a0.02
；（2）
4:3
；（3）
1 9．【答案】（1）见解析；（2）
23
．
3
8
．
15
【解析】（1）证明：由正三棱柱
ABCA
1
B
1
C1
的所有棱长都相等可知，
AB
1
A
1
B
，
如图，取
BC
的中点
E
，连接
则
Rt△BCDRt△B
1
BE
，
BB
1
ECBD
，
CBDCDBBB
1
EBEB1
90
，
BDB
1
E
，
由平面ABC
平面
BCC
1
B
1
，平面
ABCI< br>平面
BCC
1
B
1
BC
，且
AEBC< br>得，
AE
平面
BCC
1
B
1
，
AEBD
，
QB
1
E
平面
AEB
1
，
AE
平面
AEB
1
，
AEIB
1
E E
，
BD
平面
AEB
1
，
BDAB1
，
QA
1
B
平面
A
1
BD，
BD
平面
A
1
BD
，
A
1
BIBDB
，
AB
1

平面
A
1
B D
，
（2）连接
B
1
D
，由
AA
1∥
平面
BCC
1
B
1
，
所以点
A< br>1
到平面
BCC
1
B
1
的距离，等于
AE AB
2
BE
2
2
2
1
2
3
，
11
S
△BDB
1
S
正方形BCC
1B
1
222
，
22
1123
，
 V
BA
1
B
1
D
V
A
1
B DB
1
S
△BDB
1
AE23
333
故三棱锥
BA
1
B
1
D
的体积为
23
．
3

x
2
y
2
20 ．（1）设椭圆的方程为
2

2
1

ab0

，半焦距为
c
．
ab
uuuuruuur
则
A

a,0

、
M

0,b

、< br>F

c,0

、
MF

c,b

、
FA

ac,0

，
uuuuruuu r
由
MFFA21
，即
acc
2
21
，
2

x
2
c2

a2
222
又

，
abc
解得

2
，∴椭圆的方程为< br>y
2
1
．
a2
2


b1
（2）∵
F
为
△MPQ
的垂心，∴
MFPQ
，
又
M

0,1

，
F

1,0< br>
，∴
K
MF
1
，
K
PQ
1
，
设直线
PQ
：
yxm
，
P
x
1
,y
1

，
Q

x
2< br>,y
2

，
x
2
将直线方程代入
y2
1
，得
3x
2
+4mx2m
2
20

2
2m
2
2
4m
，
x
1x
2

，
x
1
x
2

3
3



4m

12

2 m
2
2

0
，
3m3
且
m1
，
2
uuuruuuur
uuuruuuur
又
PFM Q
，
PF

1x
1
,y
1

，
MQ

x
2
,y
2
1

，
∴
x
2
x
1
x
2
y
1< br>y
2
y
1
0
，即

1m
< br>

x
1
x
2

2x
1
x
2
mm
2
0
，
4
由韦达定理得
3m
2
m40
，解得
m
或
m1
（舍 去）。
3
∴存在直线
l
：
yx
4
使
F
为
△MPQ
的垂心．
3
21．（1）
f'
< br>x



xa

e
x
xa

xa

e
x
1

当
a0
时，
x

,a

U

0,
，
f'

x

0
；
x

a,0

，
f'

x

0
．
∴
f

x

在

,a
上单调递增，在

a,0

上单调递减，在

0,

上单调递增．
当
a0
时，
f'

x

0
对
xR
恒成立，∴
f

x

在
R
上单调递增．
当
a0
时，
x

,0

U

a,

，
f'< br>
x

0
；
x

0,a
，
f'

x

0
．
∴
f

x

在

,0

上单调递增，在

0,a

上单调递减，在

a,

上单调递增 ．
（2）①当
a0
时，由（1）知
f

x
< br>在

0,

上单调递增，则
f

x
在

1,2

上单调递增，
∴
f

x

min
f

1

ae1
11
a0
，
a

1e

a0
，解得
21e
22



②当
a0
时，由（1）知
f

x

在

0,a

上单调递减，在

a, 

上单调递增．
当
0a1
时，
f
x

在

1,2

上单调递增．
∴
f

x

min
f

1

 ae
11
a

1e

a0
对
a

0,1

恒成立，则
0a1
符合题意；
22
当
1a2
时，
f

x

在
1,a

上单调递减，在

a,2

上单调 递增．
1
∴
f

x

min
f

a

e
a
a
2
．
2
1
设函数
g

x

e
x
x
2
，
x

1,2

，
2
1

1

易得知
x

1,2

时，
x
2


,2

，
e
x
e
2
,e
，∴
g

x

0
，
2

2


1
故
f

x

min
f

a

e
a
a
2
0
对
a

1,2

恒成立，即
1a2
符合题意．
2
当
a2
时，
f

x

在

1,2

上单调递减．
∴
f

x

min
f

2


1a

e
2
22a

1 a

e
2
20
对
a

2,< br>
恒成立，
则
a2
符合题意．

1

,
综上所述：
a
的取值范围为


2

1e


．


22．（1）曲线< br>C
1
的圆心为

2,0

，半径为2，把互化公式代 入可得：曲线
C
1
的极坐标方程为

4cos

．
π

π

设
Q


,< br>

，则
P


,



，则有

4cos




4sin

．
2

2

所以曲线
C
2
的极坐标方程为

4sin

．
（2）
M< br>到射线


ππ
的距离为
d2sin3
， 33
ππ

AB

B


A4

sincos

2
33

31
，则
S

1
ABd33
．
2
23．（1）
ax12
，
2ax12
，
13

13

x
，
A

,< br>
．
aa

aa


1
2

3

3


a
QA

2,2

，


，
a
，
a
的取值范围

,

．
2

2
< br>
3
2


a
（2）由题意
ax1x 1
3
恒成立，设
h

x

ax1x1
，
2




a1

x,


h

x




1a

x2,




a1

x,


x1

1

1x

，
a

1


x

a

①
0a1
时，由函数单调性< br>h

x

min
h

1
a1
，
a1
31
，
a1
，
2 2

1

a1
a13
②
a1
时，< br>h

x

min
h


，
，
1a2
，
a
a2

a


1

综上所述，
a
的取值范围

,2< br>
．

2
