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湖北省大冶市一中2010年高三年级模拟考试

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共5页，满分150分，考试时间
1 20分钟. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：
1. 答题 前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填
写在答题卡和试卷 规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不 能答在试卷上.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；
如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸，修正
带，不按以上要求作答的答案 无效.
4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

参考公式：
锥体的体积公式：V=
Sh
，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.
如果事件
A，B
互斥，那么
P(AB)P(A)P(B)

如果事件
A，B
相互独立，那么
P(AgB)P(A)gP(B)



1
3
第Ⅰ卷
(选择题 共60分)

一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．若复数z满足

z
2i,
则z对应的点位于
1i
B．第二象限 C．第三象限


D．第四象限

（ ）
A．第一象限
2．给出下列四个命题: （ ）
①若集合
A、B
满足
ABA,
则
AB
；
②给定命题
p、q
， 若“
pq
”为真，则“
pq
”为真；
③设
a、b、mR
，若
ab,
则
ambm
；
④若直线
l
1
:axy10
与直线
l
2:xy10
垂直，则
a1
.
22

其中正确命题的个数是





3．设平面向量
a(1,2),b (2,y),若ab,则|3ab|
等于
A．
5

2
A．1 B．2 C．3 D．4
（ ）
B．
6
C．
17
D．
26


开始
输入m，n
i =1
a =m×i
（ ） 4．
(x)
的展开式中，常数项为15，则n=
A．3
C．5
B．4
D．6

1
x
n
5．阅读如图的程序框图．若输入
m4,n6
，
则输出的
a,i
分别等于 （ ）
A．12，2 B．12，3
C．24，2 D．24，3
6．根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：
威海为20%，淄博为15%，两地同时下雨为6%，
假设某一天威海下雨，则这一天淄博也下雨的概
率为 （ ）
A． 6% B．15%
C．30% D．40%
7．已知函数
f(x)(xa)(xb)
（其中
ab
）
的图象如下面右图所示，则函数
g(x)ab
的图象是








（ ）
x
i = i +1
否
n整除a ?
是
输出a，i
结束
（第5题图）

y
1
y
1
y
1
y
1
f(x)

y
o
1
o
x
o
x
o
x
o
x
x
A B C D
（第7题图）


8. 一个体积为
123
的正三棱柱的三视图如图
所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A．
63

B．8
C．
83

D．12


23

正视图
侧视图
俯视图
（第8题图）

9．不等式
x3x1a
2
3a
对任意实数
x

恒成立，则实数
a
的取值范围为 （ ）
A．
(,1]U[4,)

C．
[1,2]

B．

1,4


D．
(,1]U[2,)

10．已知函数
f(x)log
2
x (x0)
的反函数为< br>g(x)
，且有
g(a)g(b)8
，若
a0
，
b0
，



14

的最小值为
ab
A．
9

C．
3

则
B．
6

D．
2




（ ）
22
11．直线
2axby1
与圆
xy1
相交于A、B两点（其中
a,b
是实数），且
AOB< br>是
直角三角形(O是坐标原点)，则点P
(a,b)
与点
(0,1)< br>之间距离的最小值为
A
0
B.
（ ）
2
C.
21
D.
21

2
12．已知关于
x
的方程
x(1a)x1ab0(a ,bR)
的两根分别为
x
1
、
x
2
，且
0x
1
1x
2
，则
A．

1,


2
b
的取值范围是
a
B．

1,
（ ）


1




1



2

C．

2,


2


1


D．

2,


1



2

第Ⅱ卷
(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（注意：在试题卷上作答无效）
13．

2
0
(2xe
x
)dx
.
1


2a,0a
n

n
6
2
14．数列
{a
n
}
满足
a
n1

，若
a
1

，则
a
2010的值为
1
7
.

2a
n
1,

a
n
1

2

f(x) f(x)
15．设奇函数
f(x)
在（0，+∞）上为增函数，且
f(1) 0
，则不等式
0
的
x
x
2
y
2
16．过双曲线
2

2
1
的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若 垂足恰在线段OF（O为原
ab
解集是

．

点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.（注意：在试题卷上作答无效）
17．(本小题满分12分)
ur
r
已知
msin
< br>xcos

x,3cos

x
，
n
< br>cos

xsin

x,2sin

x

，其中

0
，

urr
若函数
f< br>
x

mn
，且函数
f

x

的图象与直线
y2
相邻两公共点间的距离为

.
（Ⅰ）求

的值；
（Ⅱ）在
ABC
中，a、b、c分别是 角A、B、C、的对边，且
a3,bc3
，

f

A

1
，
求
ABC
的面积.















18．（本小题满分12分）
为了让更多的人参与2010 年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外
发行一定数量的旅游优惠卡，其中向境外人士发 行的是世博金卡（简称金卡），向境内
人士发行的是世博银卡（简称银卡）.现有一个由36名游客组成 的旅游团到上海参观旅
游，其中27名境外游客，其余是境内游客.在境外游客中有
1
2
持金卡，在境内游客中有
3
3
持银卡..
（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率；
（Ⅱ）在该 团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量

，求

的
．．
分布列及数学期望
E

.

19. (本小题满分12分)
如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
ACB90,AA
1
BC2AC2
.
（Ⅰ）若
D
为
AA
1
中点，求证：平面
B
1
CD

平面
B
1
C
1
D
； < br>（Ⅱ）在
AA
1
上是否存在一点
D
，使得二面角
B< br>1
CDC
1
的大小为60°.









C
1
A
1
B
1
o
D

C

A

B


20.（本小题满分12分）
2
（第19题图）
已知二次函数
f

x

xaxa

a0,xR

有且只有一个零点，数列
< br>a
n

的前
n
项和
S
n
f

n

nN
*
.
（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设c
n
1

4
nN

，定义所有满足< br>c
m
c
m1
0
的正整数m的个数，称为这
a< br>n

个数列

c
n

的变号数，求数列< br>
c
n

的变号数.

21. (本小题满分12分)
已知直线< br>l
与函数
f(x)lnx
的图象相切于点
(1,0)
，且< br>l
与函数
g(x)

1
2
7
xmx
(m0)
的图象也相切.
22

（Ⅰ）求直线
l
的方程及
m
的值；
（Ⅱ）若
h( x)f(x1)g

(x)
（其中
g

(x)
是
g(x)
的导函数），求函数
h(x)
的最大值；
（Ⅲ）当< br>0a1
时，求证：
f(1a)f(2)
a1
.
2









22．(本小题满分14分)(理科)
x
2
y
2
如图，已 知直线
l:xmy1
过椭圆
C:
2

2
1< br>的右焦点
F
，抛物线：
ab
x
2
43y
的 焦点为椭圆
C
的上顶点，且直线
l
交椭圆
C
于
A< br>、
B
两点，点
A
、
F
、
B

在直线
g:x4
上的射影依次为点
D
、
K
、
E
.
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
uuuruuuruuuruuur
（Ⅱ）若直线l交y轴于点
M
，且
MA

1
AF,MB

2
BF
，当< br>m
变化时，探求

1


2

的值 是否为定值？若是，求出

1


2
的值，否则，说明理由 ；
（Ⅲ）连接
AE
、
BD
，试探索当
m
变 化时，直线
AE
与
BD
是否相交于定点？
若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

参考答案

1.B． 2. B．3. A．4. D．5. D 6.C．7. A 8.A． 9． B． 10．C 11． C
13．

5e
； 14．
2
3
15．
(1,0)U(0,1)

；16．

7
；
2
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.（注意：在试题卷上作答无效）
17.(本小题满分12分)
urr
解：（Ⅰ）
f

x< br>
mn
sin

xcos

x,3cos< br>
x


cos

xsin

x,2sin

x


cos
2

x sin
2

x23sin

xcos

xco s2

x3sin2

x



2 sin

2

x

…………………………………………… … 3分
6

Q

0


函数< br>f

x

的周期
T
2


2

Q
函数
f

x

的 图象与直线
y2
相邻两公共点间的距离为

.






1
…………………………………………………………… 6分


（Ⅱ）由（Ⅰ） 可知

1
，
f

x

2sin

2x






6
< br>



1

Qf

A

1

2sin

2A

1

sin

2A



6

6

2

Q0A


2A
6
2A

6

13


6
6

5

A
……………………………………… ………………8分
63
b
2
c
2
a
2
22
由余弦定理知
cosA

bcbc3
又
bc3

2bc

联立解得

b2

b1
或

……………………………………………… 10分

c1

c2
13
S
ABCbccosA
………………………………………………12分
22
（或用配方法
Qbcbc

bc

3bc3
，
bc3

22
2
13
）
bc2
S
ABC
bccosA
22
18. (本小题满分12分)
解：（I）由题意得，境外游客中有9人持金卡；境内游客共有9人，其中6 人持银卡；
旅游团中共有21人不持卡. ……………………1分
设“所采访的3人中，恰有1人持金卡，至多1人持银卡”为事件
A< br>，“所采访的3人
中，恰有1人持金卡，0人持银卡”为事件
B
1
，“ 所采访的3人中，恰有1人持金卡，1
人持银卡”为事件
B
2
.
1 2111
C
9
C
21
C
9
C
6
C
21
则
P

A

P

B1

P

B
2


………………… ……4分

33
C
36
C
36



92736


3417085

∴ 在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率是
36

85
………………………………………………………6分

（Ⅱ）

的可能取值为0，1，2，3
312
C
3
C
6
C
3
13

P(

0)
3

,
P(

1)
.

3
C
9
84C
9
14
213
C
6
C
3
15
C
6
5

P(

2)
， （每个1分） ………………10分
P

3

33
C
9
28C
9
21


的分布列为


P

0 1 2 3
1

84
3

14
15

28
5

21
…………………………………………………………11分
∴
E

0
13155
1232
.………………………………12分
84142821
C
1
o
19．(本小题满分12分)
解法一：（Ⅰ）证明：∵
A
1
C
1
B
1
ACB90

∴
B
1
C
1
A
1
C
1

又由直三棱柱性质知
D

A
1
B
1
B
1
C
1
CC
1

………………1分
A

C

B

∴< br>B
1
C
1

平面
ACC
1
A
1
.
∴
B
1
C
1
CD
………………2分
（第19题图）
由
AA
1
BC2AC2
，
D
为
AA
1
中点，可知
DCDC
1< br>2
，
222
∴
DCDC
1
CC
1< br>4
即
CDDC
1
………………4分
又
B
1
C
1
CD

∴
CD
平面
B
1
C
1
D

又
CD
平面
B
1
CD

故平面
A
1

C
1

B
1

B
1
CD

平面
E
D
C
A
（第19题图）
B
B
1
C
1
D
…………………………

…6分
（Ⅱ）解：当
AD
2
AA
1
时二面角
B
1
CDC
1
的
2
大小为60°. ……………7分
假设在
AA
1
上存在一点
D
满足题意，
由（Ⅰ） 可知
B
1
C
1

平面
ACC
1
A
1
.如图，在平面
ACC
1
A
1
内过
C
1
作
C
1
ECD
，交
CD
或延长线或
于
E
，连
EB
1
，则
EB
1
C D

所以
B
1
EC
1
为二面角
B
1
CDC
1
的平面角 ………………8分
o
∴
B
1
EC
1
60

由< br>B
1
C
1
2
知，
C
1
E
设
ADx
，则
DC
23
………………………10分
3
x
2
1

1
2
23
x11

23
∵
DCC
1
的面积为1 ∴
解得
x2
，即
AD2
2
AA
1

2
z

C
1
A
1
B
1 ∴在
AA
1
上存在一点
D
满足题意
……………………1 2分

解法二：
（Ⅰ）如图，以
C
为原点，
CA、CB、CC
1
所在直线为
D

C

A

x

B

y

x、y、z
轴建立空间直角坐标系.
则
C(0, 0,0),A(1,0,0),B
1
(0,2,2),C
1
(0,0,2), D(1,0,1)
.
即
C
1
B
1
(0,2,0 ),DC
1
(1,01),CD(1,0,1)
……2分
由
C
1
B
1
CD(0,2,0)(1,0,1)0000得
C
1
B
1
CD

（第19题图）
由
DC
1
CD(1,0,1)(1,0,1)0000
得
DC
1
CD
………………4分

又
DC
1
IC
1
BC
1

∴
CD
平面
B
1
C
1
D
又
CD
平面
B
1
CD

∴平面
B
1
CD

平面
B
1
C
1
D
………………………………6分
2
AA
1
时二面角
B
1< br>CDC
1
的大小为60°. ……………7分
2
uuur uuur
设
ADa
，则
D
点坐标为
(1,0,a)
，
CD(1,0,a),CB
1
(0,2,2)

（Ⅱ）当< br>AD
ur
设平面
B
1
CD
的法向量为
m (x,y,z)

uruuur


mCB
1
 0

2y2z0


则由


uruuur
令
z1

xaz0
< br>

mCD0
ur
得
m(a,1,1)
…………8分
uuur
又∵
CB(0,2,0)
为平面
C
1
CD
的法向量
uruuur
mCB11
o

则由
cos60
u
…………10分
ruuur

2
2
mCB
a2

解得
a2
，故
AD2
2
AA
1
.< br>
2
∴在
AA
1
上存在一点
D
满足题意………………………………
12分

20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，
a4a0a0或a4

又由a0
得
a4,f

x

x4x4

2
2

S
n
n
2
4n4

当
n1
时，
a
1
S
1
1441
；
当
n2
时，
a
n
S
n
S
n12n5



1

n1

a
n


…………………………………6分
2n5n2




3

n1
< br>
（Ⅱ）由题设
c
n



4
*
n2,nN


1

2n5
12n 9
0
可知，当
n5
时，恒有
a
n
0……………8分
2n52n5
1
又
c
1
3< br>，
c
2
5
，
c
3
3
，
c
4


3
由
1
即
c
1< br>c
2
0
，
c
2
c
3
0，
c
4
c
5
0

所以，数列

c
n

共有三个变号数，即变号数为3. …………………………12分
21. (本小题满分12分)
已知直线
l
与函数
f(x)lnx
的图象相切于点
(1,0)
，且
l
与函数
g(x)

1
2
7
xmx
(m0 )
的图象也相切.
22

（Ⅰ）求直线
l
的方程及
m
的值；
（Ⅱ）若
h( x)f(x1)g

(x)
（其中
g

(x)
是
g(x)
的导函数），求函数
h(x)
的最大值；
（Ⅲ）当< br>0a1
时，求证：
f(1a)f(2)
解：（Ⅰ）∵
f
(x)
a1
.
2
1
，直线
l
是函数
f(x)lnx
的图象在点
(1,0)
处的切线，
x
∴其斜率为
kf

(1)1

∴直线
l
的方程为
yx1
． ……………2分
又因为直线
l
与
g(x)
的图象相切

yx1
1
2
9

x(m1)x0
， ∴

1
2
7
22
yxmx

22

得
(m1)
2
90m2
（
m4
不合题意，舍去） ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
g(x)
1
2
7
x2x

22
∴
h(x)f(x1)g

(x)ln(x1)x2< br>（
x1
），
∴
h

(x)
1x
．（
x1
） ……………6分
1
x1x1

当
1x0
时，
h

(x)0
；当
x0
时，
h

(x)0
．
于是，
h(x)
在
(1,0)
上单调递增，在
(0,)
上单调递减． ……………8分
所以，当
x0
时，
h(x)
取得最大值
h(0)2
； ……………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当
1x0
时，
h(x)2，即
ln(1x)x
，…………10分
当
0a1
时，
1
∴
f(1a)f(2)ln
22.(本小题满分14分) 2
解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点
F(1,0),
∴
c1
，抛物线
x43y
的焦点坐标
0,3

a1
0

2
1a

a1

a1
ln
1
． ……………12分，


22

2



x
2
y
2
b3b3

abc4


椭圆
C
的方程
1
……………3分
43
2
222
（Ⅱ）易知
m0
，且
l与
y
轴交于
M

0,
设直线
l
交椭 圆于
A

x
1
,y
1

,B
< br>x
2
,y
2




1


m

，

xmy1

由

x
2
y
2


3m
2
4

y
2
6my90

1


43

22
∴

< br>6m

363m4144m10

2


∴
y
1
y
2


6m9
……………6分
,yy
12
22
3m43 m4
uuuruuur

1

又由
MA
1
AF

x
1
,y
1




1

1x
1
,y
1


m



1
1
1

my
1
1

my
2

同理

2
1

∴

1

2
2
1

11




m

y
1
y
2

< br>3m
2
4

2m
y
1
y
2116m

∵

2




y
1
y
2
y
1
y
2
9

3
3m4

1

11

12m8< br>
∴

1


2
2

……………9分


2
m

y
1
y
2

m33

8
；……………10分
3
（Ⅲ）先探索，当
m0
时，直线
lOX
轴，则
ABE D
为矩形，由对称性知，
AE
与
所以，当
m
变化时， 
1


2
的值为定值


5

BD
相交
FK
的中点
N
，且
N
,0

，

2


猜想：当
m
变化时，
AE
与
BD
相交于定点
N


5

,0

……………11分

2

证 明：由（Ⅱ）知
A

x
1
,y
1

,B< br>
x
2
,y
2

，∴
D(4,y
1
),E(4,y
2
)

当
m
变化时，首先证直线
AE
过定点
N


5

,0
< br>，

2

当
x

方法1）∵< br>l
AE
:yy
2

y
2
y
1< br>

x4

4x
1
5
时，
2
yy
2

y
2
y
1
4x
1

3

2

4x
1

y2
3

y
2
y
1







2

4x
1


2


2

4my
1
1

y
2
3

y
2
y
1
< br>3

y
2
y
1

2my
1y
2


2

4x
1

2

4x
1

3
6m9
2m
3 m
2
43m
2
4
0

2

4x
1


5

,0

在直线
l
AE
上，
2


∴点
N
