七年之痒什么意思-大学生村官调研报告

高中数学《立体几何》大题及答案解析(理)
1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
（I）证明：是侧棱的中点；
求二面角的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A
1
B
1C
1
中，AB⊥AC,D、E分别为AA
1
、B
1
C的 中点，DE⊥
平面BCC
1
（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD- C为60°,求B
1
C与平面BCD所成的角的大小






B
1

A
1

C
1

D

A
E

C
3.（2009浙江卷）如图，平面，，，，分别为的中点．（（II）求与平面所成角的
B
I）证明：平面；
正弦值．












4.（2009北京卷）如图，四棱 锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）

当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥中 ，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面
交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．




6.（2009四川 卷）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角
形，（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，求证： ∥
（III）求二面角的大小。










7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝A D＝a,点E是
SD上的点，且DE＝a(0<≦1).

(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE- D的大小为60C，求的值。
0

8.（2009湖南卷）如图3，在正三棱柱中，
AB
=4
,
,点
D
是
BC
的中点，点
E
在
AC
上，且DE E.（Ⅰ）
证明：平面平面;（Ⅱ）求直线
AD
和平面所成角的正弦值。





9.（2009四川卷）如图，正方形所在平面与平面四边 形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角
形，
（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，
求证： ∥
（III）求二面角的大小。






10.（2009重庆卷文）如题（ 18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：
（Ⅰ）直线到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．

11．如图，四棱锥
P
­
ABCD
中，底面
ABCD
为平行四边形，∠
DAB
＝60 °，
AB
＝2
AD
，
PD
⊥底面
ABCD．

(1)证明：
PA
⊥
BD
；
(2)设
PD
＝
AD
，求二面角
A
－
PB
－
C
的余弦值．










12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P- ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，
PH是四棱锥的高 ，E为AD中点
（1） 证明：PEBC
（2） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值


参考答案
1、【解析】（I）解法一：作∥交于N，作交于E，
连ME、NB，则面，,
设，则,
在中，。
在中由

解得，从而 M为侧棱的中点M.
解法二:过作的平行线.


（II）分析一:利 用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面
角也基本上不用三垂线定理的方 法求作二面角。
过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点
G，连G F，易证，则即为所求二面角.
解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。
z
S
M
C
D
A
B
x
（Ⅰ）设，则
，
，由题得
，即
解之个方程组得即
所以是侧棱的中点。

y

法2：设，则
又

故，即
，解得，
所以是侧棱的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，
设分别是平面、的法向量，则
且，即且
分别令得，即
，
∴

二面角的大小。
2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF

设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。
由得2AD=，解得AD=。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。
.
因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，
所以∠ECH=30，即与平面BCD所成的角为30.
解法二：
（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.
00
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。

（Ⅱ）设平面BCD的法向量则
又=（-1，1， 0），
=（-1，0，c）,故

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故 °，求得

于是 ，
，
°
所以与平面所成的角为30°
3、（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD，
所以平面ACD
（Ⅱ）在中，，所以
而DC平面ABC，，所以平面ABC
而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中， ，
所以
4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设
则，
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
多面体ABCDEF的体积为V
E
—ABCD＋V
E
—BCF=
5、解：方法（一）：
（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢ
Ｍ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于 点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以Ａ
Ｂ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射
影，

所以 就是与平面所成的角，
且

所求角为
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）
知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。

方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，
设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，
所求角的大小为.

（3）设所求距离为，由，得：
6、【解析】解法一：
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=A B，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以
…………………………………………6分
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC

∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F- BD-A的平面角.
∵ FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,


在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角的大小为
…………………………………………12分
解法二: 因等腰直角三角形，，所以
又因为平面，所以⊥平面，
所以
即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,
(I) 设，则，
∵，∴，
从而
，
于是，
∴⊥,⊥

∵平面，平面，
∴
（II），从而
于是
∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，
故∥平面
（III）设平面的一个法向量为，并设＝（

即
取，则，，从而＝（1，1，3）
取平面D的一个法向量为

故二面角的大小为
7、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。
SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得ACBE.
(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。
过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，
故CFD是二面角C- AE-D 的平面角，即CFD=60°
在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由cot60°=

得， 即=3

， 解得=

8、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.
又
DE
平面
ABC
，所以
DE.
而DEE
，
,

所以
DE
⊥平面.又
DE
平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ）解法 1: 过点
A
作
AF
垂直于点,
连接
DF
.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以
AF
平面,故是直线
AD
和
平面所成的角。因为
DE
，

所以
DEAC.
而
ABC
是边长为4的正三角形，
于是< br>AD
=，
AE=
4
-CE
=4
-
=3.
又因为，所以
E
= =
4,


, .
即直线
AD
和平面所成角的正弦值为
.
解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).
易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.
设是平面的一个法向量，则

解得.
故可取.于是

=
.
由此即知，直线
AD
和平面所成角的正弦值为
.
所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 ……..12分
9、【解析】解法一：
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABC D，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以 ………………6分
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F- BD-A的平面角.
∵ FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,


在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角的大小为………………12分
解法二: 因等腰直角三角形，，所以
又因为平面，所以⊥平面，所以

即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,
(I) 设，则，








∵，∴，
从而
，
于是，
∴⊥,⊥
∵平面，平面，
∴
（II），从而
于是
∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，
故∥平面
（III）设平面的一个法向量为，并设＝（

即
取，则，，从而＝（1，1，3）
取平面D的一个法向量为





故二面角的大小为
10、解法一:（Ⅰ）平面, AB到面的距离等于 点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平

面，由三垂线定理可知，，故，知，所 以AG为所求直线AB到面的距离。
在中，
由平面，得AD，从而在中，
。即直线到平面的距离为。
（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE
，所以，为二面角的平面角，记为.
在中, ,由得,,从而
在中, ,故
所以二面角的平面角的正切值为.
解法二:
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则


A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ∥，
面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而
,此即 解得 ① ,知G点在面上,故G点在FD上.
,故有 ② 联立①,②解得,
.
为直线AB到面的距离. 而 所以
（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设, .由
得,解得.即.故
由,因,,故为 二面角的平面角，又,,,所以
1111
11.解：(1)因为∠
DAB
＝6 0°，
AB
＝2
AD
，由余弦定理得
BD3AD
.
从而
BD
＋
AD
＝
AB
，故
BD
⊥AD．

又
PD
⊥底面
ABCD
，可得
BD< br>⊥
PD．

所以
BD
⊥平面
PAD．
故PA
⊥
BD．

222
(2)如图，以
D
为坐 标原点，
AD
的长为单位长，射线
DA
为
x
轴的正半轴建立 空间直角坐标

系
Dxyz
.则
A
(1，0，0)，< br>B
(0，
3
，0)，
C
(－1，
3
，0)，
P
(0，0，1)．


u
AB
uur
＝(－1，
3
，0)，
u
PB
uur
＝(0，
3< br>，－1)，
uuu
BC
r
＝(－1，0，0)．
uuur< br>设平面
PAB
的法向量为
n
＝(
x
，
y，
z
)，则



nAB0

n 
u
PB
uur
0


即



x3y0
z0
< br>

3y
因此可取
n
＝(
3
，1，
3
)．
设平面
PBC
的法向量为
m
，则



m
u
PB
uur
0

mu
BC
uur
0


可取
m
＝(0 ，－1，－
3
)，
cosm,n
427
27

7
.
故二面角
A
­
PB
­
C
的余弦值 为

27
7
.
12.解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图，
（Ⅰ）设
则
可得
因为
所以
（Ⅱ）由已知条件可得

设 为平面的法向量
则 即
因此可以取，
由，
则

可得
所以直线与平面所成角的正弦值为
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