基础会计-雷锋的读后感

3．三个正数的算术—几何平均不等式

对应学生用书P8
1．定理3
如果
a
，
b
，
c
∈R
＋
，那么
a
＋
b
＋
c
3
3
≥< br>abc
，当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，等号成立 ，用文字语
言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
(1)不等式
a
＋
b
＋
c
3
3
≥
abc
成立的 条件是：
a
，
b
，
c
均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当
a
＝
b
＝
c
.
(2)定理3可变形 为：①
abc
≤(
a
＋
b
＋
c
3
)；②
a
＋
b
＋
c
≥3
abc
.
3333
(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．
2．定理3的推广
对于
n个正数
a
1
，
a
2
，…，
a
n
，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
n
≥
a
1
a
2
…a
n
，当且仅当
a
1
＝
a
2
＝…＝< br>a
n
时，等号成立．

n

对应学生用书P8


用平均不等式证明不等式

[例1] 已知
a
，
b
，
c
∈R
＋
，求证：
b
＋
c
－
ac
＋
a
－
ba
＋< br>b
－
c
＋＋≥3.
abc
3
[思路点拨] 欲证不 等式的右边为常数3，联想到不等式
a
＋
b
＋
c
≥3
abc
(
a
，
b
，
c
∈R
＋
) ，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．
1 10

[证明]
b
＋
c
－
ac
＋
a
－
ba
＋b
－
c
＋＋
abc
cab

＝

＋＋

＋

＋＋

－3
abcab c

3
bca
3
cab
≥3··＋3··－3＝6－ 3＝3.
bca
abcabc
当且仅当
a
＝
b
＝
c
时取等号．


证明不等式的方法与技巧
(1)观察 式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，
可直接应用该定理．
若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．
(2)三个正数的算 术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因
此凡是利用该不等式证明的不等式， 一般可用比较法证明．


111
1．设
a
，
b
，
c
＞0，求证：
3
＋
3
＋
3
＋
abc
≥23.
abc
证明：因为
a
，
b
，
c
＞0，由算术—几何平均不等式可得
1
＋
3
＋3
≥3
11
3
111
·
3
·
3
，
a
3
bca
abc
3
bc
1113
即
3
＋
3
＋
3
≥(当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，等号成立)．
abc
1113
所以
3
＋
3
＋
3
＋
abc
≥＋
abc
.
abcabc
而
3
abc
＋
abc
≥2
3
abc
·
abc
＝23(当且仅当
abc
＝3时，等号成立 )，
222
111
6
所以
3
＋
3
＋3
＋
abc
≥23(当且仅当
a
＝
b
＝
c
＝3时，等号成立)．
abc
2．已知
a
1
，
a
2
，…，
a
n
都是正数，且
a
1
a< br>2
…
a
n
＝1，求证：
(2＋
a
1
)(2＋
a
2
)…(2＋
a
n
)≥3.
n
2 10

3
证明：因为
a
1
是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋
a
1
＝1＋1＋
a
1< br>≥3
a
1
.
3
同理2＋
a
j
≥3
a
j
(
j
＝2,3，…
n
)．
将上述各不等式的两边分别相乘即得
(2＋
a
1
)(2＋
a
2
)…(2＋
a
n
)
333
≥(3
a
1
)(3
a
2
)…(3
a
n
)
3
n
＝3·
a
1
a
2
…
a
n.
∵
a
1
a
2
…
a
n
＝1 ，∴(2＋
a
1
)(2＋
a
2
)…(2＋
a
n
)≥3.
当且仅当
a
1
＝
a
2
＝… ＝
a
n
＝1时，等号成立.


用平均不等式求最值

3

2
[例2] (1)求函数
y
＝(
x
－1)(3－2
x
)

1<
x
<
< br>的最大值．
2

(2)求函数
y
＝
x
＋
4
x
－1
2
n
(
x
>1)的最小值．
[思路点拨] 对于积的形式求最大值，应构造和为定值．
(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．
3
解：(1)∵1<
x< br><，∴3－2
x
>0，
x
－1>0.
2
y
＝(
x
－1)
2
(3－2
x
)
＝(
x< br>－1)(
x
－1)(3－2
x
)≤


x< br>－1＋
x
－1＋3－2
x

3


3


1

3
1
＝

＝，

3

27
当且仅当
x
－1＝
x
－1＝3－2
x
，
4

3

1
即
x
＝∈

1，

时，
y
max
＝. < br>3

2

27
(2)∵
x
＞1，∴
x
－1>0，
y
＝
x
＋
114
＝(
x－1)＋(
x
－1)＋
22
x
－1
4
x
－1
2
2

＋1
3 10

3
1
≥3
2
x
－1·
1
2
x
－1·
4
x
－1
2
2
＋1＝4，
11
当且仅当(x
－1)＝(
x
－1)＝
22
4
x
－1
，
即
x
＝3时等号成立．即
y
min
＝4.

(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定
积最大 ”．
(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取
得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配
系数、拆项、 分离常数、平方变形等．


3．设
x
>0，则
f
(
x
)＝4－
x
－
A．4－
2

2
1
2
的最大值为( )
2
x
B．4－2
5
D.
2
C．不存在
3
xx
1
x x
1

135

解析：∵
x
>0，∴
f< br>(
x
)＝4－
x
－
2
＝4－

＋＋
2

≤4－3··
2
＝4－＝.
2
x
2 22
x
22

222
x

答案：D
4． 若0＜
x
＜1，则函数
y
＝
x
(1－
x
) 的最大值是________，此时
x
＝________.
1
2
1

x
＋
x
＋2－2
x

3
4< br>22
解析：因为0＜
x
＜1，所以
y
＝
x
( 1－
x
)＝
x
·
x
(2－2
x
)≤

＝
27
，
3
22

42
222< br>42
当且仅当
x
＝
x
＝2－2
x
，即
x
＝
答案：
46

273
222
64
4 2
时，函数
y
＝
x
(1－
x
)取得最大值.
327

用平均不等式解应用题


4 10

[例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯
挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知
道， 桌子边缘一点处的照亮度
E
和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角
θ
的正弦 成正比，
sin
θ
而和这一点到光源的距离
r
的平方成反比，即< br>E
＝
k
.
2
r
这里
k
是一个和灯 光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度
h
，才能使桌子
边缘处最亮？
[思路点拨] 根据题设条件建立
r
与
θ
的关系式→
sin
θ
将它代入
E
＝
k
→得到以
θ< br>为自变量，
E
为因变量的函数关系式
2
r
→用平均不等式求函数的最值→获得问题的解
2
[解] ∵
r
＝，
cos
θ
2
π
sin
θ< br>cos
θ

0<
θ
<

∴
E
＝
k
·.

2

4

∴
E
2
2
＝
2
k
2
16
·sin
θ< br>·cos
θ
22
2
24
＝

2sin
θ
＋cos
θ
＋cos
θ

3
＝
k. ·(2sin
θ
)·cos
θ
·cos
θ
≤·
108
3
3232

2
k
2
k
2
2
当且仅当2sin
θ
＝cos
θ
时取等号，
12
2
即tan
θ
＝，tan
θ
＝.
22
∴
h
＝2tan
θ
＝2.即
h
＝2时，
E
最大．


sin
θ
cos
θ
本题获解的关键是在获得了
E
＝
k
·后，对
E
的表达式进行变形求得
E
的最
4< br>大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值
问题， 常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．



2
22
5 10

5．已知长方体的表面积为定 值
S
，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体
积最大，求出这个最大值．
解：设长方体的体积为
V
，长、宽、高分别是
a
，
b
，
c
，
则
V
＝
abc
，
S
＝ 2
ab
＋2
bc
＋2
ac
.

ab＋
bc
＋
ac

3
＝

S

3
＝
S
.
V
＝(
abc
)＝(
ab
)(
bc
)(
ac
)≤

6
< br>216
3

22
3
当且仅当
ab
＝< br>bc
＝
ac
，即
a
＝
b
＝
c
时，上式取“＝”号，
V
取最小值.
216


a＝
b
＝
c
，
由


2
ab< br>＋2
bc
＋2
ac
＝
S
，

2S
3

解得
a
＝
b
＝
c
＝< br>6
S
.
6
即当长方体的长宽高都等于

6
SS
6
S
时，体积最大，最大值为.
636


对应学生用书P10
1．已知
x
为正数，下列各题求得的最值正确的是( )
A．
y
＝
x
＋2
x
＋
3
≥3
2
4
3
x
x
2
·2
x
·
3
＝6，∴
y
min
＝6.
x
4
3
11
33
B．< br>y
＝2＋
x
＋≥32·
x
·＝32，∴
y
m in
＝32.
x
x
x
1
C．
y
＝2＋< br>x
＋≥4，∴
y
min
＝4.
1

3x
＋1－
x
＋1－2
x

3
88
D．
y
＝
x
(1－
x
)(1－2
x
)≤

＝，∴
y
max
＝.

3
3
81

81
3

a
＋
b
＋
c

3
(
a
，
b
，解析：A，B，D在使用不等式< br>a
＋
b
＋
c
≥3
abc
(
a
，
b
，
c
∈R
＋
)和
abc
≤


3

c
∈R
＋
)都不能保证等号成立，最值 取不到．C中，∵
x
>0，∴
y
＝2＋
x
＋＝2＋

x
＋

≥2＋2
x

x

1< br>＝4，当且仅当
x
＝，即
x
＝1时取等号．
1

1

x
答案：C
6 10

2．设
a
，
b
∈R
＋
，且
a
＋
b
＝3，则
ab
的最大值为( )
A．2
C．4
解析：∵
ab
＝4
a
××
22
2
2
B．3
D．6
bb

a
＋
b
＋
b

22

3
≤4



3

＝4


a
＋
b

3
＝4×1
3
＝4，

3

b
当且仅当
a
＝＝1时，等号成立．
2
即
ab
的最大值为4.
答案：C
3．若log
x
y
＝－2，则
x
＋
y
的最小值是( )
3
32
A.
2
C.
33

2
83
B.
3
22
D.
3
2
11
解析：由log
x
y
＝－2得
y
＝
2
.而
x
＋
y
＝
x
＋
2

xx
3
xx
1
3
13
3
2
x
1< br>3
＝＋＋
2
≥3··
2
＝3＝，当且仅当＝
2
即
x
＝2时取等号．
22
x
22
x
422x
xx
1
答案：A
4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为
V
，则下列总成立的是( )
A．
V
≥π
1
C．
V
≥π
8
B．
V
≤π
1
D．
V
≤π
8
6－ 4
r
2
，所以圆柱的体积为
V
＝π
r
·
h
＝
2
解析：设圆柱半径为
r
，则圆柱的高
h
＝6－4
r

r
＋
r
＋3－2
r
3
＝π.
22
π
r
·＝π
r
(3－2
r
)≤π

3
2

当且仅当
r
＝3 －2
r
，即
r
＝1时取等号．
答案：B
7 10 < /p>

5．设0<
x
<1，则
x
(1－
x
) 的最大值为 ________.
解析：∵0<
x
<1，∴1－
x
>0.
3
故2
x
≤
1－
x
1－
x

2
2
x
＋1－
x
＋1－
x
2
＝.
33
1
4

2
∴
x
(1－
x< br>)≤

当且仅当
x
＝时取等号

.
3
27

4
答案：
27
6．若
a>2，
b
>3，则
a
＋
b
＋
1
a－2
b
－3
的最小值为________．
解析：
a
>2，
b
>3，∴
a
－2>0，
b
－3>0.
则
a
＋
b
＋
3
≥3
1
a
－2
b
－3
＝(
a
－2)＋(
b
－3)＋
1
1
a
－2
b
－3
＋5
a
－2×
b
－3×
a
－2
1
b
－3
＋5＝8.
当且仅当
a
－2＝
b
－3＝
答案：8
a
－2
b
－3
即
a
＝3，
b
＝4时等号成立．
7．已知关于
x
的不等式2
x
＋
值为________．
解析：2
x
＋
∵
x
－
a
>0.
∴2
x
＋
1
x
－
a
3
2
1
x
－
a
2
≥7在
x
∈(
a
，＋∞)上恒 成立，则实数
a
的最小
1
x
－
a
2
＝(< br>x
－
a
)＋(
x
－
a
)＋
1
x
－
a
2
＋2
a
，
≥3
x
－
ax
－
a
1
x
－
a
2
＋2
a
，
＝3＋2
a
，
当且仅当
x
－
a
＝
∴2
x
＋
1
x
－
a
1
x
－
a
2
即
x
＝
a
＋1时，取等号．
2
的最小值为3＋2
a
.
由题意可得3＋2
a
≥7，得
a
≥2.
8 10

答案：2
8．设
a
，
b
，
c∈R
＋
，求证：
111

9

＋＋
(
a
＋
b
＋
c
)

≥.
< br>a
＋
bb
＋
ca
＋
c

2
证明：∵
a
，
b
，
c
∈R
＋
，
∴2(
a
＋
b
＋
c
)＝(
a
＋
b
)＋(
b
＋
c
)＋(
c
＋
a
)≥
3
3
a
＋
bb
＋
cc
＋
a
>0.
3
111111
＋＋≥3··>0，
a
＋
bb
＋
ca
＋
ca
＋
bb
＋
ca
＋< br>c
∴(
a
＋
b
＋
c
)


1
＋
1
＋
1

≥
9
.


a
＋
bb
＋
ca
＋
c
2
23
当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，等号 成立．
9．设
x
，
y
，
z
>0，且
x< br>＋3
y
＋4
z
＝6，求
xyz
的最大值．
xx
6
23
解：∵6＝
x
＋3
y
＋4
z< br>＝＋＋
y
＋
y
＋
y
＋4
z
≥6xyz
，
22
∴
xxz
≤1

当＝
y
＝4
z
时，取“＝”

.

2
1
23
∴
x
＝2，
y
＝1，
z
＝时，
xyz
取得最大值1.
4
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮， 从它的三个角上剪下三个全
等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪< br>下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？
解：剪下的三个全等的四边形如图所示， 设
A
1
F
1
＝
x
，则
AF
1＝3
x
，
∴
A
1
B
1
＝
F
1
F
2
＝36－23
x
.
∴
V
＝
＝
3
2
(36－23
x
)·
x

4
23

x

33
(63－
x
)(63 －
x
)·2
x
.
2
∵0＜
x
＜63，∴63－
x
＞0.
33
63－
x
＋63－
x
＋2
x

3< br>∴
V
≤

.
2

3

又(63－
x
)＋(63－
x
)＋2
x
＝123，
9 10

∴当63－
x
＝2
x
，即x
＝23时，
V
有最大值，
33
33
这时
V
最大
＝·(43)＝864(cm)． < br>2
∵
S
四边形
A
1
F
1
AE
2
＝
x
·3
x
＝3
x
＝123(cm)，
∴三个四边形面积之和等于363 cm.
2
22
10 10