称谓礼仪-助人为乐的作文

.
2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）


本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分
钟. 第1卷1至2页，第II卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考考试顺利！
第Ⅰ卷
（
选择题 共50分
）

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定
位置粘贴考试用条形码.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，
用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷上的无效.
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分.
参考公式：
·如果事件A、B互斥，那么 ·如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那


P（A+B）=P（A）+P（B） 么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
·如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
k
P
n
(k)C
n
P
k
(1P)nk

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四 个选项中只
有一个正确答案）
1．
i
是虚数单位，
（A）
i


1i

11111111
i
（B）
i
（C）
i
（D）
i

22222222
2．如 果双曲线的两个焦点分别为
F
1
(3,0)
、
F
2
(3,0)
，一条渐近线方程为
y2x
，那么
它的两条准线间的距离是
（A）
63
（B）4

（C）2

（D）1


yx< br>
3．设变量
x
、
y
满足约束条件

xy 2
，则目标函数
z2xy
的最小值为

y3x6



'.
（A）2 （B）3 （C）4 （D）9
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
4．设集合
M{x|0x3}
，
N{x| 0x2}
，那么“
aM
”是“
aN
”的

.
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里
的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
（A）10种 （B）20种 （C）36种 （D）52种
（6）设
m
、
n
是两条不 同的直线，

、

是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命
题是



（A）
m

,n

,mn



（B）



,m

,n

mn

（C）< br>


,m

,n

mn
（D）



,



m,nmn 



（7）已知数列
{a
n
}
、{b
n
}
都是公差为1的等差数列，其首项分别为
a
1
、
b
1
，且
a
1
b
1
5
，
*
*

a
1
,b
1
N
． 设
c
n
a
b
n
（
nN
），则数列{c
n
}
的前10项和等于
（A）55 （B）70 （C）85 （D）100
（8）已知函数
f(x)asinxbcosx
（
a
、
b
为常数，
a0
，
xR
）在< br>x
最小值，则函数
yf(



4

处取得
3

x)
是
4

（A）偶函数且它的图象关于点
(

,0)
对称
（B）偶函数且它的图象关于点
(
3

,0)
对称
2
3

（C）奇函数且它的图象关于点
(,0)
对称
2
（D）奇函数且它的图象关于点
(

,0)
对称
（9）函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
，导函数
f
(x)
在
(a,b)
内的图象如图所示，则函数
y

f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点（ ）




（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个

yf
?
(x)
b

a
O


x

（10）已知函数
yf( x)
的图象与函数
ya
（
a0
且
a1
）的图 象关于直线
yx
对
x
称，记
g(x)f(x)[f(x)f( 2)1]
．若
yg(x)
在区间
[,2]
上是增函数，则实数
a
的取值范围是
1
2
'.

.
（A）
[2,)
（B）
(0,1)(1,2)
（C）
[,1)
（D）
(0,]


1
2
1
2
第Ⅱ卷
（
非选择题 共100分
）


二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
（11）
(2x
1
x
)
7
的二项展开式中
x
的系数是____ （用数学作答）．





（12）设向量
a
与
b
的夹角为

，且
a(3,3)
，
2ba(1,1)
，则
cos


__________．
（13）如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AB1
．
若二面角
CABC
1
的大小为
60
，则点
C

到平面
ABC
1
的距离为______________．
（14）设直线
axy30
与圆
(x1)(y2)4

相交于
A
、
B
两点，且弦
AB
的长为
23
，则
a
____________．

22

（15）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买
x
吨，运费为4万元次，一年的总存 储
费用为
4x
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x
吨．
（16）设函数
f

x

1
*
，点
A
0
表示坐标原点，点
A
n

n,f

n


nN

，若向量
x1

i

1,0

）
< br>i
，是与的夹角，（其中，设
a
n
A
0
A
1
A
1
A
2
A
n1
A
n
a
n
n
S
n
tan

1
tan

2
tan

n
，则
limS
n
= ．
n
三．解答题（本题共6道大题，满分76分）
（17）（本题满分12分）
如图，在
ABC
中，
AC2
，
BC1
，cosC
（Ⅰ）求
AB
的值；
（Ⅱ）求
sin

2AC

的值.


'.
3
．
4

.




（18）（本题满分12分）
某射手进行射击训练，假设每次射击击中 目标的概率为
3
，且各次射击的结果互不影响。
5
（Ⅰ）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
（Ⅲ）设随机变量< br>
表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求

的分布列．




























'.

（19）（本题满分12分）
如图，在五面体
ABCDEF
中，点
O
是矩形
ABCD的对角线的交点，面
CDE
是等边三角形，棱
EF

1

2
BC
．
（Ⅰ）证明
FO
平面
CDE
；
（Ⅱ）设
BC3CD
，
证明
EO
平面
CDF
．


'.
.

.





（20）（本题满分12分）
已知函数
f

x

4x3xcos


32
3
c os

，其中
xR,

为参数，且
0

2

．
16
（Ⅰ）当
cos

0< br>时，判断函数
f

x

是否有极值；
（Ⅱ） 要使函数
f

x

的极小值大于零，求参数

的取 值范围；
（Ⅲ）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数

，函数
f

x

在区间

2a1,a

内都 是
增函数，求实数
a
的取值范围．























'.

.







（21）（本题满分14分）
已知数列

x
n

,

y
n

满足
x
1
x2
1,y
1
y
2
2
，并且
x
n1
xyy


n
,
n1


n
（

为非零参数，
n
2，3，4，…）．
x
n
x
n1
y
n
y
n1
（Ⅰ）若
x
1
、
x
3
、
x
5
成等 比数列，求参数

的值；
（Ⅱ）当

0
时，证明
x
n1
x
n
nN
*
；
y
n1
y
n

（Ⅲ） 当

1
时，证明


















'.
xy
n
x
1
y
1
x
2
y
2




n
nN
*
.
x
2
y
2
x
3
y
3
x
n1
y
n1

1


22．（本题满分14分）
x
2
y
2
如图，以椭圆
a
2

b
2
1

ab0

的中心
O
为圆心，分别以
a
和
b
为半径作大圆和小圆。过 椭
圆右焦点
F

c,0

cb

作垂 直于
x
轴的直线交大圆
于第一象限内的点
A
．连结
OA交小圆于点
B
．设
直线
BF
是小圆的切线．
（ Ⅰ）证明
c
2
ab
，并求直线
BF
与
y
轴
的交点
M
的坐标；
（Ⅱ）设直线
BF
交椭圆于
P
、
Q
两点，证
明
OPOQ
1
2
b
2
．















'.
.

.








2006年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考答案


一．选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.
（1）A （2）C （3）B （4）B （5）A
（6）B （7）C （8）D （9）A （10）D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分24分.
（11）280 （12）
310
3
（13） （14）0 （15）20 （16）1
10
4
三．解答题
（17）本小题考查同角三角函数关系、两 角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础
知识，考查基本运算能力及分析和解决解决问题的能力 . 满分12分.
（I）解：由余弦定理，

ABACBC2ACBCcosC

=4+1－2×2×1×
那么，
AB
222
3
=2.
4
2
.

7
3
2
（II）解：由
cosC且0C

，得
sinC1cosC
，由正弦定理，
4
4
ABBC

，
sinCsinA
解得
sinA
BCsinC1452
.所以,cosA
，由倍角公式
AB88
'.

.

sin2A2sinAcosA
且
cos2A12sinA
2
57
，
16
9
，
16
317
.

8
故
sin(2AC)sin2AcosCcos2AsinC
18．本小题考查互斥事件 、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及
分析和解决实际问题的能力. 满分12分.
（I）解：记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击
中目标的概率
P
1
P(AAA)P(AAA)P(AAA)

33223333363

.
555555555125
2
（II）解：射手第3次击目标时，恰好射击了4次的概率

P
2< br>C
3
()
3
5
2
23162
.< br>
55625
（III）解：由题设，“
ξ
=k”的概率为 < br>3
2
2
k3
3
2
P(

k) C
K
()()
1
555

33
C
k
2
1
()
k3
()
3(kN
*
且k3).
55
所以，
ξ
的分布列为：


P

3 4 …
…
k

23
C
k
2
1
()< br>k3
()
3

55
…
…
27

125
162

625
（19）本小题考查直线与平面平行、直线与 平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理
论证能力. 满分12分.
（I）证明：取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，OM

BC，又EF
∥


BC，
∥
=
=
∥
则EF
=


OM，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
∴FO∥EM.
又
FO
平面CDE，且EM

平面CDE，
FO
∥平 面CDE.
（II）证明：连结FM. 由（I）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，
'.
1
2
1
2

.

EMCD且EM
31
CDBCEF.

22
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.

CDOM,CDEM,CD
平面EOM. 从而CD⊥EO.
而FM∩CD=M，所以EO⊥平面CDF.
20．本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值 、解不等式等基础知识，考查综合分
析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 满分12分.
（I）解：当
cos

0时,f(x)4x,则f (x)在(,)
内是增函数，故无极值.
2
（II）解：
f

(x)12x6xcos

,令f

(x)0,得 x
1
0,x
2

3
cos

.

2
由（I），只需分下面两种情况讨论.
①当
cos

> 0时，随x的变化，
f

(x)
的符号及
f(x)
的变化情 况如下表：
x
(,0)

+

0
0
极大值
（0，
cos

)

2
cos


2
0
极小值
（
cos

,)

2
+

f

(x)

f(x)

－

cos

cos

处取得极小值
f()
，且 22
cos

13
f()cos
3

c os


2416
cos

13
要使
f( )
>0，必有
cos

(cos
2

)0< br>，可得
244
因此，函数
f(x)
在
x
0co s


3
.
2
由于
0

2

，故

6




2
或
3

11



.

26< br>②当
cos

<0时，随x的变化，
f

(x)的符号及
f(x)
的变化情况如下表：
x
（－∞，
+
cos

）
2
cos


2
0
（
cos

,0)

2
－
0
0
（
0,)

+
f

(x)

'.

.
f(x)


极大值

极小值

因此 ，函数
f(x)
在
x0
处取得极小值
f(0)
，且
f(0)
3
cos

.

6
若
f(0)
>0，则
cos

>0. 矛盾，所以当
cos

<0时，
f(x)
的极小值不会大于零.
综上，要使函数
f(x)
在（－∞，+∞）内的极小值大于零，参数

的取值范围为

3

11

(,)(,).

62 26
（III）解：由（II）知，函数
f(x)
在区间（－∞，0）与（
c os

，+∞）内都是增函数.
2
由题设，函数
f(x)
在（
2a1,a)
内是增函数，则a须满足不等式组

2a1a

a0

2a1a


或

1
2a1cos


2

由（II），参数< br>(

3
3

11

.
要使不等式
,)(,)
时，
0cos


2
6 226
2a1
343
1
,即a.

cos

关于参数

恒成立，必有
2a1
48
2
4 343
a1.
所以a的取值范围是
(,0][,1)
.
88
综上，解得
a0或
（21）本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列 的等比中项项及前n项和公式、
不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推论证能力. 满分14分.
（I）解：由已知
x
1
x
2
1
，且

x
3
xx
xxx


2
x
3< br>

,
4


3
x
4


3
.
5


4
x
5


6
.

x
2
x
1
x
3
x
2
x
4
x
3
226
若x
1
、
x
3
、
x
5
成等比数列，则< br>x
3
x
1
x
5
,即



.而

0,解得

1.

'.

.
（II）证明：由已知，

0,x
1
x
2
1及y
1
y
2
2,可得x
n
0,y
n
0.

由不等式的性质，有
y
n 1
yy
y


n


2
n1< br>

n1
2


n1
.

y
n
y
n1
y
n2
y
1
另一方面，
x
n1
xx1
x


n


2
n


n1
2

< br>n1
.

x
n
x
n1
x
n2
x
1
y
n1
x
n1
x
n1
x
n
2*


(nN).(nN
*
).< br> 因此， 故
x
n
x
n
x
n
y
n
*
（III）证明：当

1
时，由（II）可知
y
n
x
n
1(nN).

又由（II）
x
n1
x
n
yx
n1
y
n
xn
(nN
*
),
则
n1
,

y
n1
y
n
x
n1
x
n
从而
y
n1
x
n1
x
n1


n 1
(nN
*
).
因此
y
n
x
n
x
n
1
1()
n
xy
n
x
1
y
1
x
2
y
2
11



n
1

()
n1

x
2
y
2
x
3
y
3
x
n1
y
n1


1
1



1
.


（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、 平面向量、曲线和方程的关
系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力. 满分14分.
（I）证明：由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

OFOBcb
,即.

OAOFac
2
因此，
cab.
①
解：在Rt△OFA中，

FAOA
2
OF
2
a
2
c
2
b.

b
,

c

于是，直线OA的斜率
k
OA

设直线BF的斜率为k，则
1c
.

k
k
OA
b
'.

.
这时，直线BF的方程为
y
c
(xc),令x0,
则
b
c
2
ab
a.

y
bb
所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）.
（II）证明：由（I），得直线BF的方程为
ykxa
，且
c
2
aba

k
2

2
.
②
b
bb
2
由已知，设
P(x
1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y
2
)
，则它们的坐 标满足方程组

x
2
y
2
1




a
2
b
2
③

ykxa.

由方程组③消去y，并整理得
(bak)x2akxaab0.
④
2 2223422
a
4
a
2
b
2
a
2(a
2
b
2
)a
3
b
2

33
.
由①、②和④，
x
1
x
2
< br>222
a
bakab
b
2
a
2

b
由方程组③消去x，并整理得

(bak)y2abyababk0.
⑤
2222222222< br>a
a
2
b
2
(1)
ab(1k)a
2< br>b
2
(ba)
b
.
由②和⑤，
y< br>1
y
2

22233
a
bakab
b< br>2
a
2

b
222
a
3
b
2
a
3
b
2
(ba)a
2
b
3

3
.
综上，得到
OPOQx
1
x2
y
1
y
2

33333
ababa b
注意到
aabbacb2b,
得
222222a
2
b
3
a
2
b
3
a
2b

OPOQ
3


ab
3
(ab)2b
2
2(ab)
'.

.
a
2
ba(a
2
b
2
)1
2
(aab)
2(ab)2(ab)2

11
(a
2
c
2
)b
2
.
22

'.