应届生面试技巧-四川理工大学分数线

梅花香自苦寒来 宝剑锋从磨砺出
★谨以此案赠送给有梦想的学子
特别讲座 多面体外接球半径常见求法

◆
知识精要
⑴定义1 ：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个
球的内接多面体，这个球是这个多 面体的外接球。

⑵定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这
个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
重要总结：
①内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的
距离均相等。
②正多面体的内切球和外接球的球心重合。
③正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
④基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
⑤体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、公式法
例1 一个六棱柱 的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点
9
都在同一个球面上，且该六棱柱 的体积为，底面周长为３，则这个球的
8
体积为 .





222
小结 本题是运用公式
Rrd
求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球
的表面积是（ ）
A.
16

B.
20

C.
24

D.
32


小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.




坚持吧，因为美好的生活将要实现了！

1

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三、补形法
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外接球的表面积
是 .





小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱 两两垂直，且其长度分别为
a、b、c
，则就可以
将这个三棱锥补成一个长方体，于是 长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的
直径.设其外接球的半径为
R
，则有< br>2Ra
2
b
2
c
2
.
变式1：(2 012潍坊模拟)，如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，
AB⊥BC ，DA＝AB＝BC＝
2
，则球O的体积等于 ．

变式2：三 棱锥
OABC
中，
OA,OB,OC
两两垂直，且
OAOB2 OC2a
，则
三棱锥
OABC
外接球的表面积为（ ）
A．
6

a
2
B．
9

a
2
C．
12

a
2
D．
24

a
2







四、寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥
SABCD
的底面边长和各侧棱长都为
2
，
则此球的体积为 .
S、A、B、C、D
都在同一球面上，






S
D
A
O
1
图3
B
C
坚持吧，因为美好的生活将要实现了！

2

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小结 根据题意，我 们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面
圆，于是该圆的半径就是所求的外接 球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外
接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球 的一个轴截面圆，从而把立
体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我 们学
习.

变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积





变式2：正三棱锥的高为 1，底面边长为
26
。求棱锥的内切球的表面积。

变式1：底面边长为
3
的正三棱柱外接球的体积为





五、确定球心位置法
32

，则该三棱柱的体积为
3
例5 在矩形
ABCD
中，
AB4,BC3
，沿< br>AC
将矩形
ABCD
折成一个直二面角
BACD
，则四面 体
ABCD
的外接球的体积为（ ）
5
A.

B.

C.

D.


12963









D
C
B
A
O
图4
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3

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变式1：三棱锥
PABC
中，底面
ABC
是边 长为2的正三角形，
PA
⊥底面
ABC

且
PA2
，则此三棱锥外接球的半径为（ ）
A．
2
B．
5
C．
2
D．
21

3











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