广州中医药大学录取分数线-小学老师寄语

课时规范练
A组 基础对点练
1．(2019·益阳市、湘谭市 调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两0底面为正三
角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点 ，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有
( )

A．①③
C．②④
B．②③
D．②③④
解析：由题意，可知题图①中，GH∥ MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连
接GN，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直 线GH与MN异面；题图③
中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接G N，G，M，
N三点共面，但H
答案：C
2．如图所示，在下列四个正方体中，A， B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的
中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平 行的是( )
平面GMN，所以直线GH与MN异面．故选C.

解析：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(图略)，连接OQ， 则OQ∥AB，
因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不< br>平行，故选A.
3．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同 的平面，若m⊥α，n
⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )
A．m⊥n
C．m与n相交
B．m∥n
D．m与n异面
β或m∥β. 解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m
当m
选A.
答案：A
4．(2019·济宁模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，
侧棱AA
1
⊥底面A
1
B
1
C
1
，底面三角形A
1
B
1
C
1
是正三角
形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC
1
与B
1
E是异面直线
B．AC⊥平面ABB
1
A
1

C．AE⊥B
1
C
1

D．A
1
C
1
∥平面AB
1
E
解析：对 于A，CC
1
与B
1
E均在侧面BCC
1
B
1内，又
两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平
面ABB
1
A
1
所成的角为，所以AC不垂直于平面
β时 ，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n，故m⊥n，故
ABB
1
A
1
，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B
1
C
1
，
所以AE⊥B
1
C
1
，故C正确；对于D，AC与平面AB1
E
公共点A，AC∥A
1
C
1
，
所以A
1
C
1
与平面AB
1
E相交，故D错误．
答案：C
5．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满
m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l
C．n⊥l
B．m∥n
D．m⊥n

有
足

解析：因为α∩β＝l，所以l
答案：C
β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.
6．(2019·重庆六校联考(一))设a，b是两 条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α
∥β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，aα，a∥β
α，bβ，a∥β，b∥C．存在两条平行直线a，b，a
α
D．存在两条异面直线a，b，a
α
α，bβ，a∥β，b∥
解析：对于选 项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则
α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使 得a∥α，a∥β，所以选项A的
内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的 一个必要条件而
不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.
答案：D
7．(2019·宜昌调研)如图所示，在棱长均相等的四棱锥P
－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为
侧棱PA，PB的中点，有下列结论：
①PC∥平面OMN；
②平面PCD∥平面OMN；
③OM⊥PA；
④直线PD与MN所成角的大小为．
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序
号)
解析：如图所示，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥
平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平
PCD
∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均

面
相

等，
所以AB
2
＋BC< br>2
＝PA
2
＋PC
2
＝AC
2
，所以PC⊥ PA，又PC
∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为
侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB
∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60，所以直线PD与
MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.
答案：①②③
8． 如图所示，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝
DC＝2，点 E，F分别为AD，PC的中点．

(1)证明：DF∥平面PBE；
(2)求点F到平面PBE的距离．
1
解析：(1)证明：取PB的中点G，连接E G，FG，则FG∥BC，且FG＝
2
BC，
1
∵DE∥BC且DE＝
2
BC，∴DE∥FG且DE＝FG，
∴四边形DEGF为平行四边形，∴DF∥EG，又DF
∴DF∥平面PBE.
(2 )由(1)知DF∥平面PBE，∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等
的，故转化 为求点D到平面PBE的距离，设为d.
连接BD.∵V
DPBE
＝V
PBDE
，
平面PBE，E G平面PBE，
11
∴
3
S
△
PBE
·d＝
3
S
△
BDE
·PD，
由题意可求得PE＝BE＝5，PB＝23，
1
∴S
△
PBE
＝
2
×23×
11
23

2

＝6，又S
△
BDE
＝ DE·5
2
－

AB＝
22
×1×2＝1，

2


6
∴d＝
3
.

9．(2019·昆明七校模拟)一个正 方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，
在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为 N.

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)证明：直线MN∥平面BDH；
(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．
解析：(1)点F，G，H的位置如图所示．

(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN.
∵M，N分别是BC，GH的中点，
1
∴OM∥CD，且OM＝
2
CD，

1
NH∥CD，且NH＝
2
CD，
∴OM∥NH，OM＝NH，
则四边形MNHO是平行四边形，
∴MN∥OH，
又MN平面BDH，OH平面BDH，
∴MN∥平面BDH.
(3)由(2)知O M∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，
它将正方体分割为两 个同高的棱柱，高都是正方体的棱长，∴体积比等于底面积之比，
即3∶1.
B组 能力提升练
10．(2019·荆州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F， H，K分别为
AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′ 中
取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为( )

A．K
C．G
B．H
D．B′
解析：取A′C′的中点 M，连接EM，MK，KF，EF，则EM，
得四边形EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥B B′∥CC′∥KF，故与平面
PEF平行的棱超过2条；HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H或P ＝B′，则平面PEF
与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足 条件；
连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若P＝G，则AB，A′B′与平面PEF平行．故选C.
答案：C
11．(2019·洛阳统考(一))正方形ABCD和等腰直角三角 形DCE组成如图所示的梯形，M，

N分别是AC，DE的中点， 将△DCE沿CD折起(点E始终不在平面ABCD内)，则
下列说法一定正确的是( )

A．MN∥平面BCE
B．在折起过程中，一定存在某个位置，使MN⊥AC
C．MN⊥AE
D．在折起过程中，不存在某个位置，使DE⊥AD
解析：折起后的图形如图所示，取CD的中点O，连接
MO，NO，则在△ACD中，M，O分别是AC，CD的
中点，∴MO∥AD∥BC，同理NO∥CE，又BC∩CE
＝C，∴平面MON∥平面BCE，∴MN∥平面BCE，故
A正确；易知MO⊥CD，NO⊥CD，又MO∩NO＝O，
∴CD⊥平面MNO，∴MN⊥CD，若MN⊥AC，又AC∩CD＝C，∴MN⊥平
11
面ABCD，∴MN⊥MO，又MO＝
2
AD＝
2

EC＝NO，∴MN不可能垂直于MO，故MN⊥AC不成立，故B错误；取CE
的中点Q，连接MQ，则在△ACE中，M，Q分别是AC，CE的中点，∴MQ
∥AE，由图知MQ与MN不可能始终垂直，故C错误，当平面CDE⊥平面
ABCD时，又平面CDE∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，
AD平面ABCD，∴AD⊥平面CDE，∴AD⊥DE，故
D错误．
答案：A
12．下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B．若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行
C．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
解析：A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；
对于B选项，如图所示，在正方 体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，平 面ABB
1
A
1
和平面BCC
1
B
1
与B
1
D
1
所成的角相等，
但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交．C正
确．
答案：C
13．(2019·杭州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，AB＝2，E为AD的中点，
点F在CD上，若EF∥平面 AB
1
C，则EF＝________.

解析：根据题意，因为EF∥平面AB
1
C，所以EF∥AC.
又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt
△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝2.
答案：2
14．(2019·唐山统 一考试)在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过
点G作三棱锥的一个截面 ，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为________．
解析：过点G作EF∥AC，分 别交PA、PC于点E、
E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于
点N、M ，连接MN(图略)，则四边形EFMN是平行四
EF2FMFM1
边形，所以
3＝
3
，即EF＝MN＝2，
PB
＝
6
＝
3，
即FM＝EN＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
答案：8
15.如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方
F，过
形，四条侧棱长均为217 .点G，E，F，H 分别是
棱 PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥ 平

面ABCD，BC∥ 平面GEFH .
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH 的面积．
解析：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC平面
∥ PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH
BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)如图所示，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以
PO⊥底面ABCD.
又平面GEFH⊥平面ABCD，且PO
GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，
从而GK⊥EF，
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
11
从而KB＝
4
DB＝
2
OB，即K为OB的中点．
1
由PO∥GK得GK＝
2
PO，
1
即G是PB的中点，且GH＝
2
BC＝4.
由已知可得OB＝42，
PO＝PB
2
－OB
2
＝68－32＝6，
所以GK＝3.
GH＋EF4＋8
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝
2
×3＝18.
2

平面