〔真卷〕2019年北京市门头沟区高考数学一模试卷(理科)〖详解版〗
连云港教育局网-述职报告格式
2019年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8个小
题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．)
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝
A．（﹣1，3）
B．[0，3）
2
}，则A∩B等于（ ）
D．（﹣1，2]
C．（﹣1，0]
2．（5分）复数z满足z＝
A． B．2
，那么|z|是（
）
C．2 D．
3．（5分）一个体积为12
（ ）
正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为
A．6 B．8
C．8 D．12
4．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中最
大的数，那
么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
第1页（共24页）
A．c＞x B．x＞c C．c＞b
D．b＞c
|＞1”是“θ∈（]”5．（5分）已知向量，满足||＝||＝1，且其夹角为θ，则
“|
的（ ）
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）如图，在下列四个
正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的
中点，则在这四个正方体中，直线AB与
平面MNQ不垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）某学需要
从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，
其中甲社区需要选派2人，且至少
有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则
不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．42
8．（5分）若函数f（x）图象上存在两个点A
，B关于原点对称，则点对（A，B）称为函数
f（x）的“友好点对”且点对（A，B）与（B，A）
可看作同一个“友好点对”．若函数f
（x）＝（其中e为自然对数的底数，e≈2.718）恰好有两
个“友
好点对”则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤（e﹣1）
2
B．m＞（e﹣1）
2
C．m＜（e﹣1）
2
D．m≥（e﹣1）
2
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分．)
第2页（共24页）
9．（5分）若x，y满足条件，则z＝x+2y的最大值为
．
10．（5分）双曲线C：2x﹣y＝1的渐近线方程是 ．
11．（5分）等
比数列{a
n
}中，S
3
＝21，2a
2
＝a
3<
br>则数列{a
n
}的通项公式a
n
＝ ．
12．（5
分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半
2
22
轴
为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin
θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），
若直线l与曲线C相交于两点A，B，则|AB|＝ ．
13．（5分）已知x，y
∈R，求z＝（x+2y）（
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：
甲：z＝（x+2
y）（
乙：z＝（x+2y）（
）＝2+
）
++8≥18
＝16
+
）的最值．
①你认为甲、乙两人解法正确的是 ．
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．
14．（5分
）一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动（按逆时
针方向）3圈，当水轮
上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P
0
开始计算时间．
（Ⅰ）当t＝5秒时点P离水面的高度 ；
（Ⅱ）将点P距离水面的高度h（单位：
m）表示为时间t（单位：s）的函数，则此函数
表达式为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分)
15．（12分）在△ABC中，且满足已知（2a﹣c）cosB＝bcosC．
（1）求∠B的大小；
（l）若△ABC的面积为
，a+c＝6，求△ABC的周长．
第3页（共24页）
16．（12分）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所
高
中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：
学校
抽查人数
“创城”活动中
参与的人数
（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．
（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；
（Ⅱ）在随机抽
查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1
名学生，求恰有1人参与“创
城”活动的概率；
（Ⅲ）若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参
与
“创城”活动人数的分布列及数学期望．
17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面
ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC＝60°，PA
⊥平面ABCD，PA＝6，F是棱PA上的一
个动点，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥CF．
（Ⅱ）若AF＝2．
（i）求PC与平面BDF所成角的正弦值；
（ii）侧面PAD内是否存在过点E的一条直
线，使得该直线上任一点M与C的连线，都
满足CM∥平而BDF，若存在，求出此直线被直线PA、P
D所截线段的长度，若不存在，
请明理由．
A
50
40
B
15
10
C
10
9
D
25
15
18．（14分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F
1<
br>，F
2
分别为其左、右焦点，
第4页（共24页）
过F
1
的直线与此椭圆相交于D，E两点，且△F
2
DE的周长为8，椭圆C的离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
．
（Ⅱ）
在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）与点Q（0，2），过P的动直线l（不
与x轴平行）
与椭圆相交于A，B两点，点B
1
是点B关于y轴的对称点．
（i）Q，A，B
1
三点共线．
（ii）＝．
19．（14分）已知f（x）＝axe在点（0，0）处的切线与直线y＝x﹣2平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣b（+x）
x
（i）若函数g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值；
（ii）当b≤0时，判断函数g（x）有几个零点，并给出证明．
20．（14分）给定数
列{a
n
}，若满足a
1
＝a（a＞0且a≠1），对于任意的n，m∈N，
都有a
n+m
＝a
n
•a
m
，则称数列{a
n}为“指数型数列”．
（Ⅰ）已知数列{a
n
}，{b
n
}的
通项公式分别为a
n
＝5×3
是不是“指数型数列”；
（Ⅱ）若数列{a<
br>n
}满足：a
1
＝，a
n
＝2a
n
a
n+1
+3a
n+1
（n∈N*），判断数列{
“指数型数列”，若是给出
证明，若不是说明理由；
（Ⅲ）若数列{a
n
}是“指数型数列”，且a
1
＝
都不能构成等差数列．
（a∈N*），证明：数列{a
n
}中任
意三项
+1}是否为
n
﹣
1
*
，b
n
＝4
，试判断{a
n
}，{b
n
}
n
第5页（共24页）
2019年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一
项是符合题目要求的．)
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|y＝
A．（﹣1，3）
B．[0，3）
2
2
}，则A∩B等于（ ）
D．（﹣1，2]
C．（﹣1，0]
【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
B＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x＜3}＝[0，3）．
故选：B．
2．（5分）复数z满足z＝
A．
B．2
＝
，那么|z|是（ ）
C．2
，
D．
【解答】解：∵z＝
∴|z|＝．
故选：A．
3．（5分）一个体积为12
（ ）
正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为
A．6 B．8
C．8 D．12
【解答】解：设棱柱的高为h，
由左视图知，底面正三角形的高是
故底面三角形的面积是
，由正三角形的性质知，其边长是4，
＝4
第6页（共24页）
由于其体积为
，故有h×＝，得h＝3
由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×
＝
故选：A．
4．（5分）如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中
最大的数，那
么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A．c＞x B．x＞c C．c＞b D．b＞c
【解答】解：由流程图可知：
第一个选择框作用是比较x与b的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，
∵条件成立时，保存最大值的变量X＝C
故选：A．
5．（5分）已知向量，满足||＝||＝1，且其夹角为θ，则“|
的（ ）
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
【解答】解：∵
∴①由得：
；
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
，且其夹角为θ；
|＞1”是“θ∈（]”
第7页（共24页）
∴；
又0≤θ≤π；
∴
即
∴
②由
；
∴1﹣2cosθ+1＞1；
∴
∴
∴
综上得，“|
故选：C．
6．（5分）如图，在下
列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的
中点，则在这四个正方体中，直线
AB与平面MNQ不垂直的是（ ）
；
是
|＞1”是“θ∈（
的必要条件；
]”的充分必要条件．
；
是
得：
；
；
的充分条件；
A． B．
C． D．
【解答】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中
位线定理
可得它们平行于面对角线，
连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN
，MQ，NQ，可得AB垂直于平
面MNQ；
第8页（共24页）
对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面
的面对角线平
行，且与直线NQ
垂直，可得AB垂直于平面MNQ；
对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，
此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；
对于D，AB
为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角
为60°，
则AB不垂直于平面MNQ．
故选：D．
7．（5分）某学需要从3名男生和2名
女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，
其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙
社区和丙社区各需要选派1人．则
不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．24
C．36 D．42
【解答】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，
若甲地分派2名女生，有C
2
＝1种情况，
若甲地分配1名女生，有C
2
•C
3
＝6种情况，
则甲地的分派方法有1+6＝7种，
甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙
两地，有A
3
＝6种安排方法，
则不同的选派方法的种数是7×6＝42；
故选：D．
8．（5分）若函数f（x）图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对（A
，B）称为函数
f（x）的“友好点对”且点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“友好点对”．若
函数f
2
11
2
（x）＝（其中e为自然对数的底数，e≈2.718）恰好
有两个“友
好点对”则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤（e﹣1）
2
B．m＞（e﹣1）
2
2
C．m＜（e﹣1）
2
D．m≥（e﹣1）
2
2
【解答】解：当x≤0时，y＝x+2
ex+m﹣1关于原点对称的函数为﹣y＝x﹣2ex+m﹣1，
即y＝﹣x+2ex﹣m+1，x＞0，
设h（x）＝﹣x+2ex﹣m+1，x＞0，
条件等价为当x＞0时，h（x）与f（x）的图象恰好有两个不同的交点，
第9页（共24页）
2
2
则h（x）＝﹣x+2ex﹣m+1＝﹣（x﹣e）+e+1﹣m，x＞0，
当x＝e时，函数h（x）取得最大值h（e）＝e+1﹣m，
当x＞0时，f（x）＝x+，f′（x）＝1﹣＝．
2
222
由f′（x）＞0得x＞e，此时f（x）为增函数，
由f′（x）＜0得0＜x＜e，此时f（x）为减函数，
即当x＝e时，函数f（x）取得
极小值同时也是最小值f（e）＝e
作出当x＞0时，h（x）与f（x）的图象如图：
要使两个图象恰好有两个不同的交点，
则h（e）＞f（e），即e+1﹣m＞2e，
即e﹣2e+1＞m，
即m＜（e﹣1），
故选：C．
2
2
2
＝e+e＝2e，
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分．)
9．（5分）若x，y满足条件，则z＝x+2y的最大值为 2 ．
【解答】解：由x，y满足条件作出可行域如图，
第10页（共24页）
由z＝x+2y，得y＝
由图可知，当直线y＝
联立
x+z，
x+z过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．
，解得A（0，1）．
∴目标函数z＝x+2y的最大值为0+2×1＝2．
故答案为：2．
10．（5分）双曲线C：2x﹣y＝1的渐近线方程是
【解答】解：∵双曲线2x﹣y＝1的标准方程为：
22
22
．
∴，b＝1，可得a＝
2
，b＝1
又∵双曲线
22
的渐近线方程是y＝±x
x
∴双曲线2x﹣y＝1的渐近线方程是y＝±
故答案为：y＝±x
11．（5分）等比数列{
a
n
}中，S
3
＝21，2a
2
＝a
3
则
数列{a
n
}的通项公式a
n
＝ 3×2
【解答】解：设等比数列{
a
n
}的公比为q，∵S
3
＝21，2a
2
＝a
3
，
∴a
1
（1+q+q）＝21，2＝q，
解得a
1
＝3．
数列{a
n
}的通项公式a
n<
br>＝3×2
故答案为：3×2
n
﹣
1
n
﹣
1<
br>2
n
﹣
1
．
．
．
（t为参数），以
坐标原点为极点，x轴的正半
2
12．（5分）已知直线l的参数方程为
轴为极轴建立
极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin
θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），
第
11页（共24页）
若直线l与曲线C相交于两点A，B，则|AB|＝ 8 ．
【解答】解：由消去t可得y＝x﹣1，其参数方程的标准形式为：（t
为参数），
由ρsin
θ﹣4cosθ＝0得ρ
sin
θ﹣4ρcosθ＝0，得y
＝4
x，
2222
联立得t﹣4
2
t﹣8＝0，
设A，B对应的参数为t
1
，t
2
，
则t
1+t
2
＝4，t
1
t
2
＝﹣8，
═8． <
br>+
所以|AB|＝|t
1
﹣t
2
|＝
13．（5分）
已知x，y∈R，求z＝（x+2y）（）的最值．
甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： <
br>甲：z＝（x+2y）（
乙：z＝（x+2y）（
）＝2+
）
++8≥
18
＝16
①你认为甲、乙两人解法正确的是 甲 ．
②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．
【解答】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；
②已知x，y∈R
，求z＝（a+b）（+）的最小值．
甲：z＝（a+b）（+）＝1+++1≥4，
乙：z＝（a+b）（+）≥2
故填甲．
14．（5分）一半径为4m的水轮，水轮
圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动（按逆时
针方向）3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时
，即从图中点P
0
开始计算时间．
（Ⅰ）当t＝5秒时点P离水面的高度 2 ；
•2＝4．
+
（Ⅱ）将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s
）的函数，则此函数
第12页（共24页）
表达式为
h（t）＝4sin（）+2 ．
【解答】解：（Ⅰ）t＝5秒时，水轮转过角度为
在Rt△MOP
0
中，MP
0
＝1，∴∠MOP
0
＝在，Rt△AON中，∠AON＝
；
＝2，
×5＝，
，∴AN＝4×sin
+2；
，
此时点A（P）离开水面的高度为2（Ⅱ）由题意可知，ω＝
设角φ（﹣
＝
＜φ＜0）是以Ox为始边，OP
0
为终边的角，
t+φ）+2，其中（﹣＜φ＜0）；
由条件得h（t）＝4sin（
将t＝0，h（0）＝0代入，得4sinφ+2＝0，
∴φ＝﹣；
t﹣）+2．
t﹣）+2．
∴所求函数的解析式为h（t）
＝4sin（
故答案为：（Ⅰ）2+2，（Ⅱ）h（t）＝4sin（
三、解答题（本大题共6小题，满分80分)
15．（12分）在△ABC中，且满足已知（2a﹣c）cosB＝bcosC．
第13页（共24页）
（1）求∠B的大小；
（l）若△ABC的面积为，a+c＝6，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）△ABC中，（2a﹣c）cosB＝bcosC，
由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
整理可得2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，
又A为三角形内角，sinA＞0，
所以cosB＝，
由B为三角形内角，可得B＝60°；
（2）由△ABC的面积为
所以ac＝
又a+c＝6，
由余弦定理得b＝a+c﹣2accosB
＝（a+c）﹣2ac﹣2accos60°
＝36﹣3ac
＝36﹣3×4
＝24，
所以b＝2，
．
2
222
，即acsinB＝，
＝4，
∴△ABC的周长为a+
b+c＝6+2
16．（12分）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，
C，D四所
高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：
学校
抽查人数
“创城”活动中
参与的人数
（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．
（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；
（Ⅱ）在随机抽
查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1
名学生，求恰有1人参与“创
城”活动的概率；
第14页（共24页）
A
50
40
B
15
10
C
10
9
D
25
15
（Ⅲ）若将表中的参与率视为概率，从A学校
高中学生中随机抽取3人，求这3人参与
“创城”活动人数的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）该区共2000名高中学生，
由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：
2000×＝800．
（Ⅱ）设事件A表示“抽取A 校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，
事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，
则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，
恰有1人参与“创城”活动的概率：
P＝P（A+
＝
）＝P（A）P（）+P（）P（C）
＝．
（Ⅲ）将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，
这3人参与“创城”活动人数X～B（3，），
P（X＝0）＝
P（X＝1）＝P（X＝2）＝
P（X＝3）＝
∴X的分布列为：
X
P
0
．
1
2
3
＝
＝，
＝
＝
，
，
，
∵X～B（3，），∴E（X）＝3×＝
17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD
中，底面ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC＝60°，PA
⊥平面ABCD，PA＝6，F是棱P
A上的一个动点，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥CF．
（Ⅱ）若AF＝2．
（i）求PC与平面BDF所成角的正弦值；
（ii）侧面PAD内是否存在过点E的一条直
线，使得该直线上任一点M与C的连线，都
第15页（共24页）
满足CM∥平而BDF，若存在，求出此直线被直线PA、PD所截线段的长度，若不存在，
请
明理由．
【解答】（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
又CF⊂平面PAC，
∴BD⊥CF．
（II）解：（i）设AC，BD交于点O
，以O为坐标原点，以OB，OC，平面ABCD过点O
的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则B（3
6），
∴＝（0，﹣6，6），＝（6，0，0），＝（﹣3
，即
，﹣3，2），
，
，0，0），D（﹣3，0，0），F（0，﹣3，2），C（0，3，0），P（0，﹣
3，
设平面BDF的法向量为＝（x，y，z），则
令y＝2可得z＝3，即＝（0，2，3）
，
∴cos＜，＞＝＝＝．
∴PC与平面BDF所成角的正弦值为|cos＜，
（
ii）取PF的中点G，连接FG，CG，
∵E，G分别是PD，PF的中点，
＞|＝．
第16页（共24页）
∴EG∥DF，又EG⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，
∴EG∥平面BDF，
∵F，O分别是AG，AC的中点，
∴OF∥CG，又OF⊂平面BDF，CG⊄平面BDF，
∴CG∥平面BDF，
又EG⊂平面CEG，CG⊂平面CEG，EG∩CG＝G，
∴平面CEG∥平面BDF，
∴侧面PAD内存在过点E的一条直线EG，使得该直线上任一点M与C的连线，都满足
CM∥
平而BDF，
此直线被直线PA、PD所截线段为EG＝DF＝＝＝．
18．（
14分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F
1
，F
2
分别为其左、
右焦点，
过F
1
的直线与此椭圆相交于D，E两点，且△F
2
DE的
周长为8，椭圆C的离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
．
（Ⅱ）在平面直角坐标系
xOy中，已知点P（0，1）与点Q（0，2），过P的动直线l（不
与x轴平行）与椭圆相交于A，
B两点，点B
1
是点B关于y轴的对称点．
（i）Q，A，B
1
三点共线．
（ii）＝．
第17页（共24页）
【解答】解：（Ⅰ）∵△F
2
DE的周长为8，
∴4a＝8，即a＝2，
∵e＝＝
∴c＝
22
，
，
2
∴b＝a﹣c＝2，
故椭圆C的方程为+＝1
（Ⅱ）（i）证明：当直
线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，
B
1
三点共线．
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+1，
联立，得（1+2k）x+4kx﹣2＝0．
22
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则B
1
（﹣x
2
，y
2
），
x
1
+x
2
＝﹣
，x
1
x
2
＝﹣，
＝（x
1
，y
1﹣2），＝（﹣x
1
，y
2
﹣2），
∵x
1
（y
2
﹣2）+x
2
（y
1
﹣2）＝x
1
（kx
2
﹣1）+x
2
（kx
1
﹣1）＝2kx
1
x
2
﹣（x
1
+x
2
）
＝
∴与
+＝0．
共线，则Q，A，B
1
三点共线．
（ii）由（i）可知Q，A，B
1
三点共线，
∴＝＝＝
∴
＝
第18页（共24页）
19．（14分）已知f（x）＝axe在点（0，0）处的切线与直线y＝x﹣2平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣b（+x）
x
（i）若函数g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值；
（ii）当b≤0时，判断函数g（x）有几个零点，并给出证明．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝axe，则f′（x）＝ae（x+1），
由题意知x＝0时，f′（0）＝a＝1，即a的值为1；
（Ⅱ）（i）g（x）＝f（x）﹣b（
所以g′（x）＝（x+1）（e﹣b），
当x∈[0，+∞）时，若b≤1，则e﹣b≥0，g′（x）≥0，g（x）单调递增，所以g（x）
≥g（0）≥0；
当x∈[0，+∞）时，若b＞1，令g′（x）＝0，解得x
1
＝﹣1（舍去），x
2
＝lnb＞0，
所以g（x）在（0，lnb）内单调递减，g（lnb）＜g（0），所以g（x）≥0不恒成立，
所以b的最大值为1；
（ii）g（x）＝xeb（
x
x
x
x
xx
+x）＝xe﹣b（
x
+x），
+x）＝x[e﹣b（+1）]，显然g（x）有一个零点为0，
x
x
设h（x）＝e﹣b（+1），则h′（x）＝e﹣；
当b＝0时，h（x）无零点，所以g（x）只有一个零点0；
当b＜0时，h′（x）＞0，所以h（x）在R上单调递增，
又h（0）＝1﹣b＞0，h（﹣2）＝﹣1＜0，
由零点存在性定理可知，h（x）在（﹣∞，0）上有唯一一个零点x
0
，
所以g（x）有2个零点；
综上所述，b＝0时，g（x）只有一个零点，b＜0时，g（x）有2个零点．
20．（1
4分）给定数列{a
n
}，若满足a
1
＝a（a＞0且a≠1），对于任意的
n，m∈N，都有a
n+m
＝a
n
•a
m
，则称数列{a<
br>n
}为“指数型数列”．
（Ⅰ）已知数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式分别为a
n
＝5×3
是不是“指数型数列”；
（Ⅱ）
若数列{a
n
}满足：a
1
＝，a
n
＝2a
na
n+1
+3a
n+1
（n∈N*），判断数列{
“指数型数列
”，若是给出证明，若不是说明理由；
第19页（共24页）
n
﹣1
*
，b
n
＝4，试判断{a
n
}，{b
n<
br>}
n
+1}是否为
（Ⅲ）若数列{a
n}是“指数型数列”，且a
1
＝
都不能构成等差数列．
（a∈N*），
证明：数列{a
n
}中任意三项
【解答】（Ⅰ）解：对于数列{a
n
}，a
n+m
＝a
n
•a
m
＝×（5×3
指数型数
列．
对于数列{b
n
}，对任意n，m∈N，因为b
n+m
＝4<
br>所以{b
n
}是指数型数列．
（Ⅱ）证明：由题意，{
a
n
＝2a
n
a
n+1
+3a
n+1
，⇒
所以
数列{+1}是等比数列，
＝3
m+n
*n+m
n+m
﹣
1
）≠a
n
，所以{a
n
}不是
＝4•4＝b
n•b
m
，
nm
+1}，是“指数型数列”，
⇒，
＝3，
＝（+1），数列{+1}是“指数型数列”．
*
n
（Ⅲ
）证明：因为数列{a
n
}是指数数列，故对于任意的n，m∈N，
有a
n
+m
＝a
n
•a
m
，⇒a
n+1
＝a
n<
br>•a
1
⇒a
n
＝a
1
＝
n
， 假设数列{a
n
}中存在三项a
u
，a
v
，a
w
构成等差数列，不妨设u＜v＜w，
则由2a
v
＝a
u
+a
w
，得2（
所以2（a+2）
w
﹣
v
）v＝（
v
﹣
u
）u+（
w
﹣
u
）w，
w
﹣
u
（a+1）＝（a+2）+（a+1），
w
﹣
u
当t为偶数时，2（a+2）
数，
故2（a+2）
w
﹣
v
w
﹣
v
（a+1）
v
﹣<
br>u
是偶数，而（a+2）是偶数，（a+1）
w
﹣
u
是奇（a+1）
v
﹣
u
＝（a+2）
（a+1）
w
﹣
u
+（a+1）
w
﹣
u
不能成立；
w
﹣
u
当t为奇数时，2（a+2）
数，
故2（a+2）
w
﹣
v
w
﹣
vv
﹣
u
是偶数，而
（a+2）是奇数，（a+1）
w
﹣
u
是偶
（a+1）
*<
br>v
﹣
u
＝（a+2）
w
﹣
v
w
﹣<
br>u
+（a+1）
v
﹣
u
w
﹣
u
也不
能成立．
w
﹣
u
所以，对任意a∈N，2（a+2）（a+1）＝（a+2
）+（a+1）
w
﹣
u
不能成立，
即数列{a
n
}的任意三项都不成构成等差数列．
初中数学易错
题选择题专题
一、选择题（本卷带号的题目可以不做）
第20页（共24页）
、、是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（）
、互为
相反数、绝对值相等、是符号不同的数、都是负数
、有理数、在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b
|-|a+b|的结果是（）
、2a 、2b 、2a-2b 、2a+b
、轮船顺流航行时
m千米小时，逆流航行时(m-6)千米小时，则水流速度（）
、千米小时、千米小时、千米小时、不能
确定
、方程2x+3y=20的正整数解有（）
、个、个、个、无数个
、下列说法错误
的是（）
、两点确定一条直线、线段是直线的一部分
、一条直线不是平角、把线段向两边延长即
是直线
、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与轴的交点情况是
、当m≠时
，图像有一个交点、时，肯定有两个交点
、当时，只有一个交点、图像可能与轴没有交点
、如果
两圆的半径分别为和（R>r），圆心距为，且(d-r)2=R2，则两圆的位置关系是（）
、内切、
外切、内切或外切、不能确定
、在数轴上表示有理数、、的小点分别是、、且b
、-1 、1 、0
、不存在
10、的倒数的相反数是（）
、-2 、2 、、
11、若x|=x，则-x
一定是（）
、正数、非负数、负数、非正数
12、两个有理数的和除以这两个有理数的积，其商
为，则这两个有理数为（）
、互为相反数、互为倒数、互为相反数且不为0 、有一个为0
13、长方形的周长为，宽为，则这个长方形的面积为（）
、2x 、2(x-2) 、x-4
、(x-2)2
14、“比的相反数大的数”可表示为（）
、-x-3 、-(x+3)
、3-x 、x+3
15、如果0
16、数轴上，点表示-1，现在开始移动，先向左移动个单位
，再向右移动个单位，又向左移动个单位，这时，点表示的数是（）
、-1 、0 、1 、8
17、线段B=4cm，延长到，使BC=AB再延长BA到，使AD=AB，则线段CD的长为（）
、12cm 、10cm 、8cm 、4cm
18、的相反数是（）
、、、、
19
、方程x(x-1)(x-2)=x的根是（）
、x1=1, x2=2 、x1=0, x2=1,
x3=2
、x1= , x2= 、x1=0，x2= , x3=
20、解方程时，若设，则原方程可化为（）
、3y2+5y-4=0
、3y2+5y-10=0 、3y2+5y-2=0
、3y2+5y+2=
21、方程x2+1=2|x|有（）
第21页（共24页）
、两个相等的实数根、两个不相等的实数根、三个不相等的实数根、没有实数
根
22、一次函数y=2(x-4)在轴上的截距为（）
、-4 、4 、-8 、8
23、解关于的不等式，正确的结论是（）
、无解、解为全体实数、当a>时无解、当a<0时无解<
br>24、反比例函数，当≤时，的取值范围是（）
、≤、≥、≥或y<0
、0
、0.2 、±0.2 、、±
26、李
明骑车上学，一开始以某一速度行驶，途中车子发生故障，只好停车修理，车修好后，因怕耽误时间，于时就加快
了车速，在下列给出的四个S-t函数示意图象，符合以上情况的是（）
27、若一数组x1, x2,
x3, …xn的平均数为，方差为s2，则另一数组kx1, kx2, kx3, …,
kxn的平均数与方差分别是（）
、k , k2s2、, s2 、k , ks2、k2 ,
ks2
28、若关于的方程有解，则的取值范围是（）
、≠1 、≠-1 、≠2 、≠±1
29、下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
、线段、正三角形、平行四边形
、等腰梯形
30、已知，下列各式中不成立的是（）
、、、、ad=bc
31、一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不大于（）
、300 、450 、550
、600
32、已知三角形内的一个点到它的三边距离相等，那么这个点是（）
、三角形的外
心、三角形的重心、三角形的内心、三角形的垂心
33、下列三角形中是直角三角形的个数有（）
①三边长分别为:1:2的三角形②三边长之比为1:2:3的三角形
③三个内角的度数之比为3:4
:5的三角形④一边上的中线等于该边一半的三角形
、个、个、个、个
34、如图，设B=1，
△OAB= cm2，则弧AB长为（）
、cm 、cm 、cm 、cm
35、平行四边形的一边长为5cm，则它的两条对角线长可以是（）
、4cm, 6cm
、4cm, 3cm 、2cm, 12cm 、4cm, 8cm
36、如图，△ABC与△BDE
都是正三角形，且B
、AE=CD、AE>CD、AE>CD、无法确定
37、顺次连结四边形各边中点
得到一个菱形，则原四边形必是（）
、矩形、梯形、两条对角线互相垂直的四边形、两条对角线相等的四
边形
38、在圆中，两段弧满足AB=2CD，那么弦和弦CD的关系是（）
、AB=2CD、
AB>2CD、AB<2CD、AB与CD不可能相等
39、在等边三角形ABC外有一点，满足AD=
A，则∠BD的度数为（）
、300 、600 、1500 、300或1500
40、△ABC的三边、、满足≤≤，△ABC的周长为18，则（）
、≤6 、b<6
、c>6 、、、中有一个等于6
第22页（共24页）
41、如图，在△BC中，∠CB=Rt∠，AC=1，BC=2，则下列说法正确的是（）
、∠B
=300 、斜边上的中线长为1
、斜边上的高线长为、该三角形外接圆的半径为1
42、
如图，把直角三角形纸片沿过顶点的直线BE（BE交CA于）折叠，直角顶点落在斜边上，如果折叠后得到等腰
三角形EBA，那么下列结论中（）∠A=300
（）点与AB的中点重合（）点到AB的距离等于CE的长，正确的个数是（）
、0 、1 、2 、3
43、不等式的解是（）
、x> 、x>- 、x< 、x<
44、已知一元二次方程
(m-1)x2-4mx+4m-2=0没有实数根，则m的取值范围是（）
、m<13 、m≤3
、m≥3 、m≥且m≠1
45、函数y=kx+b(b>0)和y=
(k≠0)，在同一坐标系中的
图象可能是右图中的（）
注：从左到右依次为ABCD) 46、在一次函数y=2x-1的图象上，到两坐标轴距离相等的
点有（）
、个、个、个、
无数个
47、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（，y3）在反比例函数的图像上，则下列结论中
正确的是（）
、y1>y2>y3、y1
48、下列根式是最简二次根式的是（）
、、、、
49、下列计算哪个是正确的（）
、
、、、
50、把（不限定为正数）化简，结果为（）
、、、、
51、若a+|a|=0
，则等于（）
、2-2a、2a-2 、-2 、2
52、已知，则的值（）
、1
、±、、
53*、设、是方程x2-12x+9=0的两个根，则等于（）
、18 、、、±<
br>54、下列命题中，正确的个数是（）
①等边三角形都相似②直角三角形都相似③等腰三角形都相
似
④锐角三角形都相似⑤等腰三角形都全等⑥有一个角相等的等腰三角形相似
⑦有一个钝角相等
的两个等腰三角形相似⑧全等三角形相似
、个、个、个、个
初中数学易错题 参考答案
一、选择题
1 - 5 C A B B D 6-10 C B D C A
-15 D C C C B -20 B A B D B
21-25 B C C C
C 6-30 D A B A C -35 D C B A D -40 A D D
D A
41-45 C D D A B 6-50 B D B D B -55
A C C B
初中数学易错题 参考答案
一、选择题
1 - 5 C A
B B D 6-10 C B D C A -15 D C C C B -20
B A B D B
第23页（共24页）
21-25 B C C C C 6-30 D A B A C -35 D C
B A D -40 A D D D A
41-45 C D D A B 6-50
B D B D B -55 A C C B
第24页（共24页）